第六节边界层动量积分关系式
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2 2 v 0.323 v 0.323 v 3 v 3 1 0 x v 2 2 4.64 x Re x v x
平板表面局部切应力系数为：
0.646 0.646 Cf 1 2 Re x v x v 2
第二补充关系式为：
对上式求导
3
(A)
将（A）（B）与式（7-45）联立求解，即可求出 , vx , 0
15
dvx 0 dy
y 0
3 v 2
(B)
先计算
0
vx vx 1 dy v v 3 y 1 y 3 3 y 1 y 3 39 dy 1 280 2 2 2 2
0
0
2 vx dy vx v y 0 x 2 vx dy v v y x, x
3
式（7-42a）的右端两项分别为：
0
dv dv v dy dx dx
2
0
v dy
vx vx vx dy 0 y 2 dy 0 y y y
0
0
式中：
0
平板表面处的切应力。
所以式（7-42a）可写成：
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
0
0 v dy
(7-42b)
4
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
3
ao , a1 , a2 , a3 为待定常数，由边界层内、外边界条件确定。
13
确定ao , a1 , a2 , a3 : 在y=0处：
vx v y 0
(1)
由边界层方程：
vx vx 2 vx vx vy x y y2
2 vx 0 2ห้องสมุดไป่ตู้y
(3) (4) (2)
v y vx dy dy 0 0 y x
0
0 v dy
(7-42b)
根据连续方程应有下列关系：
0
即
0
vx dy v y 0 0 x
v y x,
将上式代入式（7-42b）得：
0
vx dy x
0
v dv 2 x vx dy v dy 0 x x dx
0
v y vx vx vx 2 vy vy vx dy 0 vx vx dy y y y x x 2 vx v y dy vx 0 y x
展开整理后得：
0 d 1 dv 2 2 dx v dx v
(7-44)
式（7-44）即为边界层动量积分关系式。任何一个能满足此 方程的速度分布 vx x, y 都是在物理上的一个真实流动所应 有的近似速度分布。该方程既适用于层流也适用于紊流。
v
0 v dy 0
(7-42c)
将以上两个式子代入式(7-42c)中，并整理得：
6
d 2 d dv d 2 d vx dy v v vx dy v dx 0 dx dx dx dx 0
dv d 2 d vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
0 d 1 dv 2 2 dx v dx v
(7-44)
10
第七节 平板边界层计算
前面我们介绍了边界层的基本概念，并建立了边界层内 流动参数的微分、积分关系式。下面应用这些基本理论，讨 论顺流放置的平板上面的边界层流动。 当来流流过平板时，起始层段总维持有一段层流边界 层，然后随着离开板起始端距离X的增加，雷诺数 Re x 逐渐 增大，当 Re x 达到一定临界值 Rec 时，层流就会转变为紊 流。
1
本节建立边界层的动量积分关系式，首先将边界层方程 在边界层厚度 的区间上积分，得： vx vx 2 vx dv vx vy v x y dx y2
0
vx vx 2 vx dv dy dy vy vx dy 0 v 2 0 y y dx x
:
0
dvx 0 dy
y 0
3 2
v
0 d 2 dx v
将上两式代入卡门动量积分关系式得：
v 3 1 39 d 3 2 2v 280 dx 2 v
16
v 3 1 39 d 3 2 2v 280 dx 2 v
Re x
v x
Rec
v xc
xc
边界层流态转变点的坐标
5 一般可取： Rec 5 10
11
5 6 对于平板： 3 10 Rec 3 10
如果整个平板边界层流动全处于层流状态，则叫平板 层流边界层。如果平板边界层内既含有层流段有含有紊流 段，但层流段所占比重很小，可不单独处理，而把它一并 按紊流处理，则此边界层称为平板紊流边界层。 平板边界层外的势流速度为一常数 v ，于是边界层 动量积分关系式可简化为： d 1 dv 2 02 dx v dx v
vx y y y a0 a1 a2 an v
2
2
n
y y y 现取n=3，则有： vx a0 a1 a2 a3 v
将上式分离变量得：
140 d dx 13 v
由边界条件：
2
140 x C 2 13 v
x 0, 0
C 0
x 4.64 Re x
280 x x 4.64 13 v v
可见， x
1 2
17
平板表面的切应力为：
(7-42a)
将上式左端的被积函数的第一项改为： vx 2 vx vx vx vx x x x v y v y vx v 2 x 根据连续方程： vx vx vx x y x x y
2
所以式（7-42a）的左端可写成：
v y vx 2 vx vx vx x x y
14
3 1 a0 0, a1 , a2 0, a3 2 2
vx y y y a0 a1 a2 a3 v
得第一补充关系式为：
2
3
vx 3 y 1 y v 2 2
(7-43)
当 y 时，vx与 v 基本相等，故上式中的各积分上限 可改写成 ，于是有：
d 2 vx v 0 dx v
vx dv vx 0 v 1 dy 1 dy 0 v dx v
0
0 v dy
0
0 v dy 0 v dy
利用 d uv udv vdu
dv d 2 d vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
0
dv vx dy dx
0
dv d d v vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
第六节
边界层动量积分关系式
----求解边界层流动的一个近似方法
边界层方程虽然比N-S方程简单，但仍然是非线性的二 阶偏微分方程，由于方程的非线性性质依然保留，故数学上 对其求解的困难原则上并未消除，只有在少数几种情况下 （如平板、锲形物体等）才能求出准确解，一般情况下，直 接积分Prantle边界层方程仍然相当困难。因此，人们不得不 采用近似方法，求解边界层流动。 在近似方法中，计算量较小、并在工程实际中被广泛采 用的是动量积分关系式。这个方法解题是从动量积分方程出 发，而不是从Prantle边界层微分方程出发，这意味着该方法 不要求每个流体质点细致地满足边界层微分方程，而只要求 在边界层各断面上平均地、总体地满足边界层的动量积分方 程，因此，这是求解边界层流动的一个近似方法。
0
0 v dy
(7-42c)
5
0
v dv 2 x vx dy v dy 0 x x dx
0
根据莱布尼兹公式，则有：
2 d 2 d 2 d 2 v x x, dx v x x, 0 dx 0 0 x vx dy dx 0 vx dy d 2 2 d v dy v x dx 0 dx v d d d x , , 0 0 dy v dy v x v x x x x 0 x dx 0 dx dx d d vx dy v 0 dx dx
0 d 2 v dx
(7-45)
上式中仍包含三个未知数： , vx , 0 尚需补充两个方程。
12
一、不可压缩流体平板层流边界层的近似计算 当 Rel
vl
Rec
v xc
时， l xc
流态转变点位置超出平板的长度以外，此时整个平板边 界层流动处于层流状态。 第一补充关系式： 由于在边界层中不同X处都有相似的速度剖面，故可设：
0
vx dy
7
dv d 2 d vx dy v vx dy dx 0 dx 0 dx
0
0 vx v dy
0 dy
最后整理得： vx d 2 vx vx dv v 1 v 0 1 dy 0 dx v v dx v
根据边界层排挤厚度及动量损失厚度的定义，上式可写成：
8
d 2 vx v 0 dx v
vx dv vx 0 v 1 dy 1 dy 0 v dx v
0 dv d 2 v v dx dx
在平板表面y=0处： vx v y 0 在y
处： vx x, v
vx 0 在 y 处： y
vx x, 0 y 由上述四个边界条件定出 ao , a1 , a2 , a3为：
3 1 a0 0, a1 , a2 0, a3 2 2
9
尚需补充两个方程。根据经验，补充关于 vx , 0 的两个假定 关系式，假定接近实际分布至关重要。 上面是采用比较数学的方法从Prantle边界层方程导出 动量积分方程，还可以用物理概念十分清楚的动量定理来推 导有限厚度理论中的卡门动量积分方程。
外流为已知时，方程（7-44）中包含三个未知数： , vx , 0
平板表面局部切应力系数为：
0.646 0.646 Cf 1 2 Re x v x v 2
第二补充关系式为：
对上式求导
3
(A)
将（A）（B）与式（7-45）联立求解，即可求出 , vx , 0
15
dvx 0 dy
y 0
3 v 2
(B)
先计算
0
vx vx 1 dy v v 3 y 1 y 3 3 y 1 y 3 39 dy 1 280 2 2 2 2
0
0
2 vx dy vx v y 0 x 2 vx dy v v y x, x
3
式（7-42a）的右端两项分别为：
0
dv dv v dy dx dx
2
0
v dy
vx vx vx dy 0 y 2 dy 0 y y y
0
0
式中：
0
平板表面处的切应力。
所以式（7-42a）可写成：
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
0
0 v dy
(7-42b)
4
0
dv 2 vx dy v v y x, dx x
3
ao , a1 , a2 , a3 为待定常数，由边界层内、外边界条件确定。
13
确定ao , a1 , a2 , a3 : 在y=0处：
vx v y 0
(1)
由边界层方程：
vx vx 2 vx vx vy x y y2
2 vx 0 2ห้องสมุดไป่ตู้y
(3) (4) (2)
v y vx dy dy 0 0 y x
0
0 v dy
(7-42b)
根据连续方程应有下列关系：
0
即
0
vx dy v y 0 0 x
v y x,
将上式代入式（7-42b）得：
0
vx dy x
0
v dv 2 x vx dy v dy 0 x x dx
0
v y vx vx vx 2 vy vy vx dy 0 vx vx dy y y y x x 2 vx v y dy vx 0 y x
展开整理后得：
0 d 1 dv 2 2 dx v dx v
(7-44)
式（7-44）即为边界层动量积分关系式。任何一个能满足此 方程的速度分布 vx x, y 都是在物理上的一个真实流动所应 有的近似速度分布。该方程既适用于层流也适用于紊流。
v
0 v dy 0
(7-42c)
将以上两个式子代入式(7-42c)中，并整理得：
6
d 2 d dv d 2 d vx dy v v vx dy v dx 0 dx dx dx dx 0
dv d 2 d vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
0 d 1 dv 2 2 dx v dx v
(7-44)
10
第七节 平板边界层计算
前面我们介绍了边界层的基本概念，并建立了边界层内 流动参数的微分、积分关系式。下面应用这些基本理论，讨 论顺流放置的平板上面的边界层流动。 当来流流过平板时，起始层段总维持有一段层流边界 层，然后随着离开板起始端距离X的增加，雷诺数 Re x 逐渐 增大，当 Re x 达到一定临界值 Rec 时，层流就会转变为紊 流。
1
本节建立边界层的动量积分关系式，首先将边界层方程 在边界层厚度 的区间上积分，得： vx vx 2 vx dv vx vy v x y dx y2
0
vx vx 2 vx dv dy dy vy vx dy 0 v 2 0 y y dx x
:
0
dvx 0 dy
y 0
3 2
v
0 d 2 dx v
将上两式代入卡门动量积分关系式得：
v 3 1 39 d 3 2 2v 280 dx 2 v
16
v 3 1 39 d 3 2 2v 280 dx 2 v
Re x
v x
Rec
v xc
xc
边界层流态转变点的坐标
5 一般可取： Rec 5 10
11
5 6 对于平板： 3 10 Rec 3 10
如果整个平板边界层流动全处于层流状态，则叫平板 层流边界层。如果平板边界层内既含有层流段有含有紊流 段，但层流段所占比重很小，可不单独处理，而把它一并 按紊流处理，则此边界层称为平板紊流边界层。 平板边界层外的势流速度为一常数 v ，于是边界层 动量积分关系式可简化为： d 1 dv 2 02 dx v dx v
vx y y y a0 a1 a2 an v
2
2
n
y y y 现取n=3，则有： vx a0 a1 a2 a3 v
将上式分离变量得：
140 d dx 13 v
由边界条件：
2
140 x C 2 13 v
x 0, 0
C 0
x 4.64 Re x
280 x x 4.64 13 v v
可见， x
1 2
17
平板表面的切应力为：
(7-42a)
将上式左端的被积函数的第一项改为： vx 2 vx vx vx vx x x x v y v y vx v 2 x 根据连续方程： vx vx vx x y x x y
2
所以式（7-42a）的左端可写成：
v y vx 2 vx vx vx x x y
14
3 1 a0 0, a1 , a2 0, a3 2 2
vx y y y a0 a1 a2 a3 v
得第一补充关系式为：
2
3
vx 3 y 1 y v 2 2
(7-43)
当 y 时，vx与 v 基本相等，故上式中的各积分上限 可改写成 ，于是有：
d 2 vx v 0 dx v
vx dv vx 0 v 1 dy 1 dy 0 v dx v
0
0 v dy
0
0 v dy 0 v dy
利用 d uv udv vdu
dv d 2 d vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
0
dv vx dy dx
0
dv d d v vx dy v vx dy 0 0 dx dx dx
第六节
边界层动量积分关系式
----求解边界层流动的一个近似方法
边界层方程虽然比N-S方程简单，但仍然是非线性的二 阶偏微分方程，由于方程的非线性性质依然保留，故数学上 对其求解的困难原则上并未消除，只有在少数几种情况下 （如平板、锲形物体等）才能求出准确解，一般情况下，直 接积分Prantle边界层方程仍然相当困难。因此，人们不得不 采用近似方法，求解边界层流动。 在近似方法中，计算量较小、并在工程实际中被广泛采 用的是动量积分关系式。这个方法解题是从动量积分方程出 发，而不是从Prantle边界层微分方程出发，这意味着该方法 不要求每个流体质点细致地满足边界层微分方程，而只要求 在边界层各断面上平均地、总体地满足边界层的动量积分方 程，因此，这是求解边界层流动的一个近似方法。
0
0 v dy
(7-42c)
5
0
v dv 2 x vx dy v dy 0 x x dx
0
根据莱布尼兹公式，则有：
2 d 2 d 2 d 2 v x x, dx v x x, 0 dx 0 0 x vx dy dx 0 vx dy d 2 2 d v dy v x dx 0 dx v d d d x , , 0 0 dy v dy v x v x x x x 0 x dx 0 dx dx d d vx dy v 0 dx dx
0 d 2 v dx
(7-45)
上式中仍包含三个未知数： , vx , 0 尚需补充两个方程。
12
一、不可压缩流体平板层流边界层的近似计算 当 Rel
vl
Rec
v xc
时， l xc
流态转变点位置超出平板的长度以外，此时整个平板边 界层流动处于层流状态。 第一补充关系式： 由于在边界层中不同X处都有相似的速度剖面，故可设：
0
vx dy
7
dv d 2 d vx dy v vx dy dx 0 dx 0 dx
0
0 vx v dy
0 dy
最后整理得： vx d 2 vx vx dv v 1 v 0 1 dy 0 dx v v dx v
根据边界层排挤厚度及动量损失厚度的定义，上式可写成：
8
d 2 vx v 0 dx v
vx dv vx 0 v 1 dy 1 dy 0 v dx v
0 dv d 2 v v dx dx
在平板表面y=0处： vx v y 0 在y
处： vx x, v
vx 0 在 y 处： y
vx x, 0 y 由上述四个边界条件定出 ao , a1 , a2 , a3为：
3 1 a0 0, a1 , a2 0, a3 2 2
9
尚需补充两个方程。根据经验，补充关于 vx , 0 的两个假定 关系式，假定接近实际分布至关重要。 上面是采用比较数学的方法从Prantle边界层方程导出 动量积分方程，还可以用物理概念十分清楚的动量定理来推 导有限厚度理论中的卡门动量积分方程。
外流为已知时，方程（7-44）中包含三个未知数： , vx , 0