万有引力易错题

典型错误之一：错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。

例1、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为V a ,则卫星在远地点时的速率V b 多少？
分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。

实际做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R 。

所以，在近地点时有
R V m
a
Mm G a 22=，在远地点时有R V m
b
Mm G b 22=，上述两式相比得
a
b
V V b a =，
故a b V b
a V =。

典型错误之二：利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。

例2、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点，如图所示。

则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是：
A 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。

B 、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。

C 、卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度。

D 、卫星在轨道2上经过P 点时的加速度等于它在轨道3上经过P 点时的加速度。

错解：因为r V m
mr r
Mm G 22
2==ω，所以V=
r
GM
， 3
r GM =
ω，即B
选项正确，A 选项错误。

因为卫星在轨道1上经过Q 点时的速度等于它在轨道2上经过Q 点时的速度，而在Q 点轨道的曲率半径1r <r 2,所以12
1r V a =
>2
2
2r V a =
，
即C 选项正确。

典型错误之三：错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。

例3、一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：
A 、速度变小；
B 、动能增大；
C 、角速度变小；
D 、半径变大。

分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R 减小。

由r
GM
V
=
可知，V 要增
大，动能、角速度也要增大。

可见只有B 选项正确。

典型错误之四：混淆稳定运动和变轨运动
例4、如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：
A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；
B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；
C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；
D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

分析纠错：因为b 、c 在同一轨道上运行,故其线速度大小、加速度大小均相等。

又b 、c 轨道半径大于a 的轨道半径，由r
GM V
/=知，V b =V c <V a ,故A 选项错；由加速度a=GM/r 2
可知a b =a c <a a ,故B 选项错。

当c 加速时，c 受到的万有引力F<mv 2
/r ，故它将偏离原轨道做离心运动；当b 减速时，b 受到的万有引力F>mv 2
/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。

所以无论如何c 也追不上b ，b 也等不到c ，故C 选项错。

对这一选项，不能用r
GM V
/=来分析b 、
c 轨道半径的变化情况。

对a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由r GM V
/=知，r
减小时V 逐渐增大，故D 正确。

典型错误之七：物理过程分析不全掉解。

例7、如图所示，M 为悬挂在竖直平面内某一点的木质小球，悬线长为L ，质量为m 的子弹以水平速度V 0射入球中而未射出，要使小球能在竖直平面内运动，且悬线不发生松驰，求子弹初速度V 0应满足的条件。

分析纠错：子弹击中木球时，由动量守恒定律得： mV 0=(m+M)V 1
下面分两种情况：
（1） 若小球能做完整的圆周运动，则在最高点满足：
L V M m g M m /)()(22+≤+
由机械能守定律得：gL M m V M m V M m )(2)(2
1)(212122+-+=+ 由以上各式解得：gL m
M
m V 50+≥
.
(2)若木球不能做完整的圆周运动，则上升的最大高度为L 时满足 gL M m V M m )()(2
121+≤+ 解得：gL m
M m V 20+≤
.所以，要使小球在竖直平面内做悬线不松
驰的运动，V 0应满足的条件是：
gL m
M m V 50+≥
或gL m
M m V 20+≤
22、宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者的
连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因万有引力的作用吸引到一起。

（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量之反比。

（2）已知两者相距L 、周期为T ，试求出“双星”系统的总质量M 。

14．（14分）在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为M 1和M 2，相距为L ，求它们的角速度。

解 如右图所示，设M l 的轨道半径为r 1，M 2的轨道半径为r 2，两个行星都绕Ｏ点做匀速圆周运动的角速度为ω；由于两个行星之
间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有
211221ωr M L M M G
= 2
222
21ωr M L
M M G = L r r =+21 以上三式联立解得 3
21)
(L M M G +=
ω；
L
M M M r 2
12
1+=
；
L M M M r 2
11
1+=
18．（18分）我国自行研制的“神舟五号”载人飞船载着中国第一代宇航员杨利伟，于2003年10月15日9时在酒泉发射场由“长征二号F”大推力运载火箭发射升空，并按预定轨道环绕地球飞行14圈后，于10月16日6时23分安全返回落在内蒙古的主着陆场。

(1)设“神舟五号”飞船在飞行过程中绕地球沿圆轨道运行，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，飞船绕地球运行的周期为T 。

试计算飞船离地面的平均高度h 。

(2)已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距离地球中心为r 处的过程中，万有引力做功为W=GMm/r ，式中G 为万有引力恒量，M 为地球的质量。

那么将质量为m 的飞船从地面发射到距离地面高度为h 的圆形轨道上，火箭至少要对飞船做多少功?(为简化计算，不考虑地球自转对发射的影响) 18、解： (1)设飞船质量为m ，地球质量为M ，由万有引力定律和牛顿第二定律有
又GMm/R 2＝mg
解得飞船离地面的高度
(2)若将飞船由距地球无穷远处移至距离地球表面为h处，引力做功为W1＝GMm/(R+h)
若将飞船由距地球无穷远处移至地球表面，引力做功为W2＝GMm／R)
所以将飞船由地球表面发射到距离地面h高的轨道上的过程中，引力做功为
W3＝GMm／(R+h)-GMm／R＝-GMmh／(R+h)R
设飞船在距离地面高为h的圆轨道上运动时的速度为v，根据万
有引力定律和牛顿第二定律有：
设将飞船送入沿距地面高度为h的圆形轨道运动的过程中，火箭要对飞船所做的功为W，根据动能定理有
W+W3＝1/2 mv2…解得：或
15．（14分）某星球自转周期为T，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W，在赤道上称得该物重W'，求该星球的平均密度ρ。

15、解：题目中弹簧秤称得物重W与W'，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，在星球的两极物体受星球的引力F引与弹簧秤的弹力W的作用，因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有
F引=W= G Mm
R2———①（3分）
（其中M为星球质量，m为物体质量，R为星球半径）
又M=ρV =ρ4
3
πR3，
（2分）
代入①式后整理得ρ=
3W
4πGRm———②
（2分）
在星球赤道处，物体受引力F引与弹簧秤的弹力W''的作用，物体随星球自转做圆运动，所以
F引－W' = m(2π/T)2R （2分）又F引=W ∴磁场改变一次方向，t时间内粒子运
动半个圆周。

W- W'= m(2π/T)2R （2分）
mR=(W-W’)T2
4π2———③（2
分）
将③式代入②式，整理后得ρ==
3Wπ
GT2(W-W’)（2分）。