2020届一轮复习（文理合用）第6章第3讲简单的线性规划作业

对应学生用书[练案41理][练案40文]
第三讲 简单的线性规划
A 组基础巩固
一、选择题
1．(2018·陕西宝鸡期中)在3x ＋2y <6表示的平面区域内的一个点是( D ) A ．(3,0) B ．(1,3) C ．(0,3)
D ．(0,0)
[解析] 分别把四个选项的坐标代入3x ＋2y <6，经验证坐标(0,0)符合要求，故选D ． 2．(2018·湖北宜昌期中)若原点O 和点P (1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( C )
A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B ．{0,2}
C ．(0,2)
D ．[0,2]
[解析] 由题意得(－a )·(1＋1－a )<0，解得0<a <2，故选C ．
3．(2018·贵州期中)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( B )
[解析] 因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A ，又不等式y <－3x ＋12表示的平面区域为直线y ＝－3x ＋12的左下方部分，不等式x <2y 表示的平面区域为直线x ＝2y
的左上方部分，所以不等式组⎩⎨⎧
y <－3x ＋12，
x <2y
表示的平面区域为选项B 所表示的区域，故选
B ．
[方法总结] 判断不等式表示的平面区域的方法
判断不等式表示的平面区域一般采用验证法，即先画出不等式对应的方程表示的直线或曲线，然后在线条所分的两个区域中的任意一个区域内任取一点，将点的坐标代入不等式，看是否满足不等式，如果满足不等式，那么该点所在的区域即为不等式所表示的平面区域，否则不等式所表示的平面区域在另外一侧，对于不过原点的直线或曲线，往往取原点用于检验，这样可以减少计算量．
4．(2018·天津月考)某二元一次不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则该二元一次不等式组为( A )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
B ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0
C ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0
D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0
[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1<0，故阴影部分内的点应满足z ＋y －1≥0，排除B ，D ；(1,1)满足x －2y ＋2≥0，故阴影部分内的点应满足x －2y ＋2≥0，排除C ．故选A ．
5．(2018·河南豫北联考)关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，
x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积
为( C )
A ．3
B ．5
2
C ．2
D ．32
[解析] 平面区域为一个直角三角形ABC ，其中A (3,1)，B (2,0)，C (1,3)，所以面积为12
|AB |·|AC |＝1
2
×2×8＝2，故选C ．
[方法总结] 求平面区域的面积的方法
平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确判断平面区
域的形状，如果形状不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类讨论．
6．(吉林省长春外国语学校2019届高三上学期期末考试数学试题)记不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤22x ＋y ≥2y ＋2≥0
表示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(x ，y )．有下面四个命题：p 1：∀P ∈Ω，x
－y 的最小值为6；p 2：∀P ∈Ω，4
5≤x 2＋y 2≤20；p 3：∀P ∈Ω，x －y 的最大值为6；p 4：∀P
∈Ω，255
≤x 2＋y 2
≤2 5.其中的真命题是( C )
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 3
D ．p 3，p 4
[解析] 画不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤22x ＋y ≥2
y ＋2≥0
表示的平面区域．
由图求得A (0,2)，B (2，－2)，C (4，－2)．
可求得x －y 最小值为－2，最大值6，x 2＋y 2最小值为4
5，最大值为20.故选C ．
7．(2018·天津，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤5，2x －y ≤4，
－x ＋y ≤1，
y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的
最大值为( C )
A ．6
B ．19
C ．21
D ．45
[解析] 本题主要考查线性目标函数最值的求解．由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．
作出直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当经过点A (2,3)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C ．
8．(2018·河南南阳考试)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －9≥0，x －y －3≤0，
y ≤3，则使得z ＝y －2x 取得最大值
的最优解为( C )
A ．(3,0)
B ．(3,3)
C ．(4,3)
D ．(6,3)
[解析] 画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，由z ＝y －2x 得y ＝2x ＋z .平移直线y ＝2x ＋z ，由图形可得知，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最
大，此时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －9＝0，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4，
y ＝3，
所以点A 的坐标为(4,3)．所以使
得z ＝y －2x 取得最大值的最优解为(4,3)，故选C ．
9．(2018·安徽淮北月考)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y
仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是( B )
A ．[－6,2]
B ．(－6,2)
C ．[－3,1]
D ．(－3,1)
[解析] 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，将z ＝ax ＋2y 化成y ＝－a 2x ＋z
2，
当－1<－a 2<3时，直线y ＝－a 2x ＋z
2的纵截距仅在点(1,0)处取得最小值，即目标函数z ＝ax ＋
2y 仅在点(1,0)处取得最小值，解得－6<a <2，故选B ．
10．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥－1，x －y ≥2，
3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷
多个，则实数a 的取值集合是( B )
A ．{－3,0}
B ．{3，－1}
C ．{0,1}
D ．{－3,0,1}
[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a ＝－1或a ＝3.
二、填空题
11．(2018·课标全国Ⅲ，15)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，
x －2≤0，则z ＝x ＋1
3
y 的
最大值是__3___.
[解析] 本题考查简单的线性规划．解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示．
z ＝x ＋1
3
y 可化为y ＝－3x ＋3z .
求z 的最大值可转化为求直线y ＝－3x ＋3z 纵截距的最大值，显然当直线y ＝－3x ＋3z 过A (2,3)时，纵截距最大，故z max ＝2＋1
3
×3＝3.
解法二：画出可行域(如上图)，由图知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2,3)，(2，－7)，(－2,1)，将三点坐标代入，可知z max ＝2＋1
3
×3＝3.
12．(2018·北京，13)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是__3___.
[解析] 本题主要考查简单的线性规划．由x ＋1≤y ≤2x 作出可行域，如图中阴影部分．
设z ＝2y －x ，则y ＝12x ＋12
z ，
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ，y ＝x ＋1，
得A (1,2)． 由图可知，当直线y ＝12x ＋1
2z 过A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝3.
[方法总结] 简单的线性规划问题的解题思路：
先利用线性约束条件作出可行域，然后找到最优解，进而求得最值，
13．(2018·湖南三湘名校联盟联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0y ≥x
4x ＋3y ≤12，则y ＋1
x ＋1
的取值
范围为__[1,5]___.
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示．
y ＋1x ＋1表示点(x ，y )与(－1，－1)连线的斜率，由图可知(x ，y )取(0,0)时y ＋1
x ＋1的最小值，(x ，y )取(0,4)时y ＋1x ＋1取最大值5，∴y ＋1x ＋1
的取值范围是[1,5]．
14．(2018·湖北黄冈质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥02x －y ≤0
x ＋y －3≤0表示的平面区域为D ，若(x ，y )∈D ，
则(x －1)2＋y 2的最小值为
4
5
. [解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，(x －1)2＋y 2表示点(x ，y )与点(1,0)间距离的平方，由图可知距离的最小值为点(1,0)到直线2x －y ＝0的距离
25
.
∴(x －1)2＋y 2的最小值为4
5
.
B 组能力提升
1．(2018·北京，8)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( D ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A
D ．当且仅当a ≤3
2
时，( 2,1)∉
A
[解析] 本题主要考查不等式组的解法，元素与集合的关系． 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
2－1≥1，2a ＋1>4，
2－a ≤2，，解得a >3
2
，结合四个选项，只有D 说法正确．故
选D ．
[易错警示] 注意区分集合条件中的“或”与“且”，本题容易把三个不等式的中间联结词认为是“或”而错选A ．
2．(2018·河南开封定位考)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，
x ≤1，则z ＝(12
)x －
2y
的最大值是( C )
A ．1
32
B ．1
16
C ．32
D ．64
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，记z 1＝x －2y ，∴y ＝12x －z 1
2.由图可知当直线z 1
＝x －2y 过点A (1,3)时z 1最小为－5，∴z ＝(1
2
)x －2y 的最大值为32.故选C ．
3．(2018·山西长治二中、康杰中学等五校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥0，x －y ＋1≥0，
x ＋y －3≤0，则
z ＝|x －3y |的最大值为( C )
A ．1
B ．3
C ．5
D ．6
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，记z 1＝x －3y ，则y ＝13x －z 1
3
，由图可知当直线
z 1＝x －3y 过点B 、C 时z 1分别取得最大值3和最小值－5.
∴z ＝|x －3y |的最大值为5，故选C ．
另解：z ＝10·|x －3y |10，d ＝|x －3y |
10表示点(x ，y )到直线x －3y ＝0的距离，又B (3,0)到直线
x －3y ＝0的距离为
310，C (1,2)到直线x －3y ＝0的距离为510
. ∴z 的最大值为10×
5
10
＝5.故选C ． 4．(广东省中山市第一中学2019届高三处门考试)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，4x ＋3y ≤12，则
x ＋2y ＋3
x ＋1
的取值范围是( B ) A ．[2
3，11]
B ．[3
2，11]
C ．[3,11]
D ．[1,11]
[分析] ①画可行域；②明确目标函数几何意义，目标函数
x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2·y ＋1
x ＋1
，表示动点P (x ，y )与定点M (－1，－1)连线斜率k 的2倍；③过M 做直线与可行域相交可计算出直线PM 斜率，从而得出所求目标函数范围．
[解析] x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2×y ＋1
x ＋1，表示动点P (x ，y )，
与定点M (－1，－1)， 连线斜率K 的两倍加1，
由图可知，当点P 在A (0,4)点处时，k 最大， 最大值为11；
当点P 在B (3,0)点处时，k 最小， 最小值为3
2
；
从而x ＋2y ＋3x ＋1
的取值范围是[32，11]．
5．(2018·河北唐山一中质检)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1，x ＋y ≤3，
y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y
的最小值为1，则a ＝( B )
A ．1
4
B ．1
2
C ．1
D ．2
[解析] 画出⎩
⎨⎧
x ≥1
x ＋y ≤3所表示的区域，作直线z ＝2x ＋y 与直线x ＝1交于点A (1，－1)，
则点A 必在直线y ＝a (x －3)上，∴－1＝a (1－3)，∴a ＝1
2
，故选B ．。