2021年中考数学复习《等腰三角形》课件(共57张PPT)

3.(2012·泸州中考)如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上一 点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E，A在直线DC的同侧， 连接AE. 求证：AE∥BC.
【解题指南】先证明∠BCD=∠ACE，再根据SAS证明 △DBC≌△EAC，根据内错角相等，两直线平行证明AE∥BC.
【证明】∵△ABC和△EDC是等边三角形， ∴∠BCA=∠DCE=60°， ∴∠BCA-∠ACD=∠DCE-∠ACD， 即 ∠ BCD=∠ACE. 在 △ DBC 和 △ EAC 中 ， BC=AC ， ∠BCD=∠ACE，DC=EC， ∴△DBC≌△EAC(S.A.S.)， ∴∠DBC=∠EAC. 又∵∠DBC=∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠EAC， ∴AE∥BC.
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°， ∠ACD=120°.∵CG=CD，∴∠CDG=30°， ∠FDE=150°.∵DF=DE，∴∠E=15°. 答案：15
2.(2014·益阳中考)如图，将等边△ABC
绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重
合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则
3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的
点P共有
个.
【审题视点】
创 图形与坐标的探索题： 新 (1)等腰三角形与直角坐标系中点相结合. 点 (2)数形结合思想的巧妙运用.
切 (1)线段OA垂直平分线与坐标轴的交点. 入 (2)以O为圆心，OA长为半径的圆与坐标轴的交点. 点 (3)以A为圆心，AO长为半径的圆与坐标轴的交点.
【自主解答】(1)∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°.
(2)∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等边三角形， ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4.
【思路点拨】(1)等腰三角形三线合一→ ∠BAE=∠CAE→△ABE≌△ACE→得证 (2)证△ABF为等腰直角三角形→AF=BF→ 证∠EAF=∠CBF→得证
【自主解答】(1)∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAE=∠CAE.在△ABE和△ACE中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAE，AE=AE， ∴△ABE≌△ACE， ∴BE=CE.
热点考向一 等腰三角形的性质与判定 【例1】(2013·荆门中考)如图， 在△ABC中，AB=AC，点D是BC的 中点，点E在AD上. (1)求证：BE=CE. (2) 若 BE 的 延 长 线 交 AC 于 点 F ， 且 BF⊥AC ， 垂 足 为 F ， ∠BAC=45°，原题设其他条件不变. 求证：△AEF≌△BCF.
1.第十八讲 2.等腰三角形
一、等腰三角形的判定与性质 1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也_相__等__(简写为“_等__角__对__等__边__”).
2.性质： (1)等腰三角形的两个底角_相__等__(简写为“_等__边__对__等__角__”). (2)等腰三角形顶角的_平__分__线__、底边上的高和底边上的_中__线__ 互相重合(简写成“三线合一”). (3)等腰三角形是_轴__对__称__图形，底边上的中线(或底边上的高 或顶角的平分线)所在的直线是它的对称轴.
AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直
平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂
直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN
的长为 ( )
A.4 cm
B.3 cm
C.2 cm
D.1 cm
【解析】选C.连接MA，NA.∵AB的垂直 平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的 垂直平分线交BC于点N，交AC于点F， ∴BM=AM，CN=AN， ∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C.∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=30°，∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60° ∴△AMN是等边三角形， ∴AM=AN=MN，∴BM=MN=N1 C，∴MN= BC=2cm.
2
2.(2014·贺州中考)如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=
15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是
.
【解析】∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，∴∠A=∠ABD， ∵∠DBC=15°， ∴∠ABC=∠A+15°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=∠A+15°， ∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°， 解得∠A=50°. 答案：50°
【解析】(1)如图所示，DE就是要求作的AB边上的垂直平分线 .
(2)∵DE是AB边上的垂直平分线，∠A=30° ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°. ∵∠C=90°，
∴∠ABC=90°-∠A=90°-30°=60°. ∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°. ∴∠ABD=∠CBD， 即BD平分∠CBA.
∠EAF的度数是
.
【解析】∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴∠CAE=30°.
根据旋转的性质，知∠CAE=∠DAF=30°，
∴∠CAF=30°，∴∠EAF=60°.
答案：60°
【方法技巧】判定等边三角形的方法 (1)根据定义： 有三条边相等的三角形是等边三角形. (2)根据判定定理： ①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形.
【规律方法】线段垂直平分线的应用特征 1.线段垂直平分线中的两组线段相等： (1)线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. (2)被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段. 2.当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时， 要联想到线段垂直平分线的性质.
【真题专练】
1.(2013·仙桃中考)如图，在△ABC中，
热点考向二 等边三角形的性质与判定 【例2】(2014·温州中考)如图，在等边三角形ABC中，点D，E 分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长 线于点F. (1)求∠F的度数. (2)若CD=2，求DF的长.
【思路点拨】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根 据三角形内角和定理即可求解. (2)易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求 解.
【真题专练】
1.(2013·莱芜中考)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A
的坐标为(1， 3 )，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三 角形，则满足条件的点M的个数为 ( )
A.4
B.5
C.6
D.8
【解析】选C. 连接OA，因为点A的坐标为(1，3 )，O为原点，所以OA=2，以O 为等腰三角形的顶点时，则以点O为圆心，2为半径画圆，则 ☉O与坐标轴共有4个交点；以A为等腰三角形的顶点时，则以 点A为圆心，2为半径画圆，则☉A只与x轴正半轴，y轴正半轴 相交，有2个交点，其中与x轴正半轴的交点与以O为圆心，以2 为半径的圆与x轴的正半轴的交点重合；以M为等腰三角形的顶 点时，则作OA的垂直平分线交y轴于一点，交x轴于一点，其中 与x轴的交点与上述重合.综上，故满足条件的点M的个数为6.
二、等边三角形的判定与性质 1.判定： (1)三个角_都__相__等__的三角形是等边三角形. (2)有一个角等于60°的_等__腰__三角形是等边三角形. 2.性质： (1)等边三角形的三个内角都_相__等__，并且每一个角都等于 __6_0_°__. (2)等边三角形是轴对称图形，并且有_三__条对称轴.
为20cm，则AB边的取值范围是 ( )
A.1cm<AB<4cm
B.5cm<AB<10cm
C.4cm<AB<8cm
D.4cm<AB<10cm
【解析】选B.∵在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，
∴设AB=AC=xcm，则BC=(20-2x)cm，
∴ 2x＞20-2x， 20-2x＞0，
解得5cm<x<10cm.
【解析】(1)∵△ADE是等腰三角形，F是AE的中点， ∴DF⊥AE，DF=AF=EF， 又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余， ∴∠DCF=∠AMF， 又∵∠DFC=∠AFM=90°， ∴△DFC≌△AFM， ∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM.
(2)AD⊥MC， 理由是：由(1)知∠MFC=90°，FD=FE，FM=FC， ∴∠FDE=∠FMC=45°， ∴DE∥CM，又∵AD⊥DE，∴AD⊥MC.
三、线段的垂直平分线 1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 _相__等__. 2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 _垂__直__平__分__线__上.
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.等腰三角形一定有两个角相等. ( √ ) 2.有两个角相等的三角形是等腰三角形. ( √ ) 3.等腰三角形的一个底角是钝角. ( × ) 4.等腰三角形两腰上的高相等. ( √ ) 5.等腰三角形的高、中线与角平分线互相重合. ( × ) 6.等边三角形的每个角都等于60°. ( √ ) 7.MN是过线段AB中点的直线，点P在MN上，则PA=PB. ( × )
【知识归纳】线段垂直平分线的两个条件 线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点； ②垂直于线段.这两个条件缺一不可.
3.(2014·白银中考)如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°. (1)用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点 E.(保留作图痕迹，不要求写作法和证明). (2)连接BD，求证：BD平分∠CBA.
【规律方法】活用等边三角形的性质 等边三角形是特殊的等腰三角形，解题时，要灵活运用下列性 质：(1)三条边相等.(2)三个角相等，并且都等于60°.(3)是轴 对称图形，并且有三条对称轴.(4)具有“等边对等角”及“三 线合一”的性质.
【真题专练】1.(2013·黔西南中考)如图，已知△ABC且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度.
3.(2014·呼和浩特中考)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹
角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为
.
【解析】如图分两种情况：①若三角形为锐角三角形，则底角
的度数为63°；②若三角形为钝角三角形，则底角为27°.
答案：63°或27°
4.(2014·泰安中考)如图，∠ABC=90°，D，E分别在BC，AC上， AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M. (1)求证：∠FMC=∠FCM. (2)AD与MC垂直吗？并说明理由.
热点考向三 线段垂直平分线的性质与判定
【例3】(2013·泰州中考)如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂
直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为
cm.
【思路点拨】由BC的垂直平分线l与AC相交于点D知BD=CD， 所以AD+BD=AD+CD=AC. 【自主解答】∵BC的垂直平分线l与AC相交于点D，∴BD=DC， ∴△ABD的周长=AB+AC=6cm. 答案：6
【真题专练】
1.(2014·盐城中考)若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角
度数为 ( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
【解析】选D.因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°， 所以其底角为 18040. 70
2
2.(2014·玉林、防城港中考)在等腰△ABC中，AB=AC，其周长
【自主解答】如图所示，使得 △AOP是等腰三角形的点P共有8个. 答案：8
【规律方法】抓住关键，寻找第三个顶点 在直角坐标系中寻找等腰三角形第三个顶点的关键： 1.底边垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此寻找 等腰三角形底边所对的顶点. 2.以顶点为圆心，以腰长为半径画圆，寻找底边的另一个端点.
【知识归纳】线段垂直平分线与角平分线的区别与联系 联系：1.都有“平分、距离相等”的特点. 2.线段的垂直平分线是线段的对称轴；角平分线所在的直线是 角的对称轴. 区别：线段的垂直平分线是一条直线；角平分线是一条射线.
命题新视角 坐标系中的等腰三角形
【例】(2013·昆明中考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，
(2)∵∠BAC=45°，BF⊥AF， ∴△ABF为等腰直角三角形， ∴AF=BF. 由(1)知AD⊥BC， ∴∠EAF=∠CBF. 在△AEF和△BCF中，AF=BF， ∠AFE=∠BFC=90°，∠EAF=∠CBF， ∴△AEF≌△BCF.
【规律方法】等腰三角形常用的“两种判别方法” 1.需证明三角形的两边相等. 2.证明有两个角相等，用等角对等边判别.