二元一次不定方程

目录
摘要 (1)
1.不定方程 (2)
1.1不定方程的概念及分类 (2)
1.2不定方程的解法 (2)
1.2.1 二元一次不定方程 (2)
1.2.2 n元一次不定方程（n≥3） (4)
1.2.3 不定方程组 (7)
2.数学竞赛中的不定方程 (7)
2.1二元一次不定方程的应用 (7)
2.2不定方程组的应用 (10)
3.结论 (12)
参考文献 (13)
致谢 (13)
二元一次不定方程的解法及应用
【摘要】不定方程的整数解的判别与求解方法是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活有着广泛的应用。

本文首先归纳了枚举法、整数分离法、奇偶分析法等几种常用的二元一次不定方程的解法，其次以二元一次不定方程为基础，进一步讨论求多元一次不定方程整数解的方法，最后对几例中学数学竞赛题求解可以看到合理选用二元一次不定方程的解法使得相关问题简单化。

【关键词】不定方程解法应用
【ABSTRACT】Indefinite number theory in the equation is important elemment, on the solution of indeterminate equation ,as well as seeking inteder solution of Diophantine Equations Mathematical Olympiad title a lot of application. This is the first description of enumeration, integer separation, such as odd-even analysis of several commonly used in an indeterminate equation of the dual solution, followed by a binary variable equation, and thus the introduction of multi-time indeterminate equation and its solution, the final Applied Mathematical Olympiad through with a few questions we can see a reasonable selection of the dual solution of indeterminate equations can make integer solutions for solving indeterminate equations related to the questions simple.
【KEY-WORDS】Binary Diophantine equation ; solution ; applicaton
不定方程(组)及整数解是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。

我国对不定方程的研究已延续了数千年，张丘建的“百鸡百钱” 问题等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为孙子定理。

学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。

下面就不定方程的一些概念及二元一次不定方程的解法进行讨论，进而通过对几例数学竞赛题的求解来讨论二元一次不定方程及解法在中小学数学教学的应用。

1．不定方程
1.1不定方程的概念及分类
不定方程是指未知数个数多余方程的个数，且其解受到某种条件的限制（例如要求求整数解，非负整数解等）的方程或方程组。

按不定方程所含元的个数和元的次数可分为二元一次不定方程、多元一次不定方程、非一次不定方程。

下面主要介绍二元一次不定方程和多元一次不定方程的解法及其应用。

1.2不定方程的解法
1.2.1二元一次不定方程
二元一次不定方程： c by ax =+ (Z ∈c b a ,,，0,0a b ≠≠)
如果二元一次不定方程c by ax =+的一个整数解（特解）是00,y y x x ==，那么它的一切整数解就可以表示为
⎩
⎨⎧-=+=at y y bt x x 00 Z ∈t 要求不定方程的解，我们首先要验证这个不定方程是否有解，对于二元一次不定方程c by ax =+ (其中d b a b a =N ∈),(,,)而言，它有整数解的充要条件是d ︱c .
若所求的不定方程满足上面的条件，我们才能求出它的整数解，否则就不能找出它的整数解。

因此在求整数解之前很有必要去验证它是否有这个数解。

比如方程2x+4y=25，我们容易验证它是没有整数解的，因此就不能找出它的整数解。

在所求二元一次不定方程存在整数解的情况下，有几种我们常见的解法。

（1） 枚举法：枚举法是在日常生活中我们习惯使用的方法，这种方法一般只用
于有限数据实际问题中，在解决一般数学问题有时是无效的。

（～～～～～～～给个有效的例子，如求正整数解）
比如给定一个不定方程 11109=+y x ,求它的整数解；我很习惯假设
当1=y 时，9
1=x ,此时，不满足条件； 当2=y 时,1-=x ,此时，满足条件；
当3=y 时,919-
=x ,此时，不满足条件； ……
就这样依次去寻找它的整数解，显然我们没有办法用这种方法去一一去找出它的所有整数解的，那我们能不能采用用其他的办法来求出它的整数解呢？
（2）整数分离法：
对于二元一次不定方程c by ax =+ (N ∈c b a ,,),()d b a =,,为了实际操作的简便，在这里我假设a <b ,有
x =
a by c -=[a c ]-[a
b ]y +(c-[a
c ])-(a b -[a
b ])y 通过观察，我们找到一个整数0y ，使得(c-[a
c ])-(a b -[a b ])y 也是一个整数，从而找到了对应的一个0x ,然后我们根据这一对特解和它的不定方程和求出它的通解，其通解为
⎩
⎨⎧-=+=bt y y at x x 00 Z ∈t 假如要求不定方程的非负整数解，那只要令x ≥0, x ,y ≥0,解出t 的范围，由于Z ∈t ，我们就可以找出t 的取值，那么就可以找到t 下的x ,y .
例1. 求不定方程11109=+y x 的整数解.
解：我们首先将原不定方程变形为
x =91011y -=1-y +9
2y - 在这取y 0=2,则x 0=-1,所以不定方程的通解为
⎩⎨⎧-=+-=t
y t x 92101 Z ∈t 整数分离的方法，（～～～～～～～～～此方法的特点与局限）
（3）同余式法：
对于二元一次不定方程c by ax =+的整数解，我们能否可以利用同余的知识来求不定方程，根据同余的概念可知，我们可以将它看成两个同余式
)mod (b c ax ≡
)mod (a c by ≡
因此，可以借助于同余式的解来解二元一次不定方程，也就是解上面的任一个同余式，求出x 或y,然后代入原不定方程求得另一个解。

例2. 利用同余式的解法来求解不定方程11109=+y x 的整数解.
解：首先我们将不定方程11109=+y x 改写成两个同余式：
)10mod (119≡x
)9mod (1110≡y
在这取()9mod 1110≡y ，可得
)9mod (210
911911=+≡≡y 所以 t y 92+=
将y 代入原不定方程可以得到
t x 101+-=
所以原不定方程的解为
⎩
⎨⎧-=+-=t y t x 92101 Z ∈t 我们可以看到采用同余式来解二元一次不定方程也比较简捷。

（～～～特点）
（4）奇偶数分析法：
根据方程的特征，我们有时可应用奇数与偶数的一些性质，我们也能判别方程是否有整数解或求出它的整数解。

例如上面给出的不定方程2542=+y x ，由于未知量的系数都是偶数，根据偶数的性质，任意一个偶数乘以任意整数还是偶数，两个偶数之和还是偶数，而常数项是奇数，因此左边不等于右边，则该不定方程没有整数解。

1.2.2 n 元一次不定方程（3≥n ）
n 元一次不定方程： c x a x a x a n n =+++ 2211 (其中N ,,,,21n a a a 为整数,2≥n ) 对于多元一次不定方程，我们很难通过一个公式直接求解，即使有那么一个公式也是很复杂的，因为未知元的个数多了，它的解所含的自由未知量也就多了，因此不便于记忆和使用。

（～～～～给出有解的判别定理）
关于多元一次不定方程的解法，主要是采用两种思想，第一种是采用代换的思想，根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，就这这样依次把它转化成n-1个二元一次不定方程然后采用上面的二元一次不定方程的解法进行求解。

第二种是采用代数中矩阵的思想进行求解。

（1）代换法：首先估计系数较大的未知数的可能取值的范围，在此基础上，在这个未知数的取值范围内取某个正整数，代入原不定方程，于是就得到一个未知量比原不定方程未知量少1的新的不定方程；然后估计新的不定方程中系数最大的未知数的可能取值范围，再假设这个未知数的取值范围内取某个正整数值，依次进行下去，最后得到一个二元一次不定方程，根据上面求解二元一次不定方程的解法求出它的解，然后依次往回代，从而就能求得原方程的整数解。

例3.求不定方程401673=++z y x 的整数解.
解：因为（3，7，16）=1︱40，所以原不定方程存在整数解.
设t y x =+73,通过观察我们找到方程的一个特解t x 20-=,t y =0；
所以 不定方程t y x =+73的通解为
⎩⎨⎧-=+-=u
t y u t x 732 Z ∈u ① 将t y x =+73代入原方程，得到了一个新的二元一次不定方程4016=+z t ,通过观察我们可找到它的一个特解80=t ,20=z ,所以4016=+z t 这个不定方程的通解为
⎩⎨⎧-=+=v
z v t 2168 Z ∈v ② 将①、②代入原方程即可得到原方程的通解
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+-=-+-=v z v u y v u x 2163832716Z ∈v u , ③ 上面的三元一次不定方程是采用代换的思想，将它转化为两个二元一次不定方程，然后将它代入原方程最后得到了它的解。

我们可以想想假如是五元或者更高，那这种方 法的计算量是不小的，可以尝试用代数中矩阵解决此问题。

（2） 矩阵法：设n 元一次不定方程：
c x a x a x a n n =+++ 2211 (其中N ,,,,21n a a a 为整数,2≥n )
构造一个()1+⨯n n 的矩阵A
A=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10001000121 n a a a 对A 只能实行如下三种初等变换：
① 交换两行；
② 用-1乘以矩阵的某一行；
③ 用某一整数乘矩阵的某一行加到另一行.
矩阵经过上面的初等变换变为B
B=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡nn n n n n b b b b b b b b b d 21222211121100 假若d ︱c,则该n 元一次不定方程有整数解（否则就没有整数解）,它的通解为： ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=---1121121221221
1121111n nn n n n n n n n t b t b b d c x t b t b b d c x t b t b b d c x 例4．试用矩阵来求解不定方程401673=++z y x 的整数解.
解：首先我们构造一个矩阵A
A=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001601070013
然后将A 进行允许的三种初等变换可以得到B
A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1001601070013−−−
→−⨯-⨯-5)1()3(2)1()2(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--105101210013−−−→−↔-⨯-)3()1()1()3(3
)2()1(⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----113003700121 B=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----113003700121
又因为1︱40，所以原不定方程有整数解，它的解为
⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-+-=v z v u y v u x 3403780 Z ∈v u , ④
我们可以将③、④进行比较，其实③是、可以转换为④，因此采用上面两种解法的求解的解是相同的，显然采用第二种解法更适合于求多元元一次不定方程。

（可以考虑给个5元方程的例子）
1.2.3 不定方程组
（～～～～给个一般式）
不定方程组是指未知数的个数多于方程个数的方程组。

本文对于解不定方程组主要采用两条途径，第一条途径是通过消元的方法将它化成一个不定方程，然后根据所含的元的数量来合理选择方法来求它的整数解；第二途径是运用代数中矩阵求解线性方程的方法来求解的。

显然第二种途径运的范围仅局限在解一次不定方程，第一种途径的运用的范围要比第二种途径广。

本文不作进一步讨论
2. 数学竞赛中的不定方程
我国对不定方程的研究已有悠久的历史，据史料记载，早在公元5世纪前，《孙子定理》、《张丘建算经》等古书就记载了此类问题。

不定方程内涵丰富，解法灵活，综合性强；目前，不定方程的正整数解是中小学数学奥赛中重要内容，谋取其不定方程整数解的题目是小学数学奥赛中的热门试题之一。

解答的思路是变“方程不足”为“足够”或“分类讨论”。

涉及的不定方程的解法的技巧性较强。

下面通过数学奥赛例题求解对不定方程的实际应用进行讨论，其主要涉及求解不定方程(组)的几种常用方法,主要方法是枚举法、整数分离法、同余式法、奇偶分析法以及几种方法的综合运用。

2.1二元一次不定方程的应用
例5．小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？（枚举法、整数分离法）
解析：设小张买了x 块橡皮，y 支铅笔，于是根据题意可得到方程
50113=+y x
这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x 值，就可以得到一个y 值，所以它的解有无数多组。

由于这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解。

因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y 的取值只能是0，1，2，3，4这五个值
若1=y ，则13=x ，符合题意；
若2=y ，则3
28=
x ，不是整数，不合题意； 若3=y ，则317=x ，不是整数，不合题意； 若4=y ，则2=x ，符合题意；
所以，这个方程有两组正整数解，即5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者 13块橡皮与1支铅笔。

关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数目比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到漏解等一系列的麻烦。

那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？
下面尝试采用整数分离的方法来求解上面的问题。

上面由题意已列出50113=+y x 这个不定方程，下面来求解这个不定方程。

x =3
1150y -=16y 4-+32y + 下面给出不定方程的一个特解，去10=y ,则130=x
所以不定方程的通解为 ⎩
⎨⎧-=+=t y t x 311113 Z ∈t 因为x ,y 均为正整数，所以t 只能取0和-1，此时它解为
⎩⎨⎧==113y x 和⎩⎨⎧==4
2y x 所以5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔。

将上面的两种方法进行比较，我们可以看到采用整数分离的方法解决这个问题，步骤简洁，思路清晰明了。

用同余的知识解不定方程时，可以表达得简明清楚些。

例6．55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多少只？（同余法）
解析：设要租大船x 只，小船y 只，列不定方程：
5547=+y x
将上面的不定方程变形为
y =5574
x -
根据实际情况可知77≤x ，因为()4mod 0755≡-x ；
因此 )4mod (3)4mod (557≡≡x
又因为)4mod (37≡x ,所以)4mod (1≡x .
因此1=x 或5=x .
将1=x 和5=x 分别代入原不定方程中，求得的两组解分别为
⎩⎨⎧==121y x 和 ⎩
⎨⎧==55y x 也就是说解决此问题有两种方案，方案一：要租大船1只，小船12只；
方案二：要租大船5只，小船5只。

从上面的例题可以看出采用同余式求解不定方程也简洁方便。

下面我们通过一道例题来看看采用几种方法来解决某一实际问题的差距。

例6．大客车有48个座位，小客车有30个座位。

现有306名旅客，要使每个旅客都有座位而且车上无空位，需要大、小客车各多少辆？
解：由题意可知,要解决这个问题，就是求它的非负整数解，本题采用四种方法进行求解。

方法1：列举法
通过画表列举的方法，一一尝试，最终把答案找出来。

分析：可见这种方法的计算量很大，花的时间也应比较长，因此这种方法不是解决此问题的好方法。

方法2：假设法
假设全部用小客车，需要10辆，另空出6个座位。

由于题目要求不能有空位，所以首先要弄清楚的是换几辆小客车挪出的空位正好能换成大客车，即是48的倍数。

经过尝试，退出3辆小客车，就有966303=+⨯人没座位，正好可乘两辆大客车。

所以，需要大客车2辆，小客车7辆。

分析：当问题给的数目比较小时，采用此方法还是可以的，但当问题所给的数目比较大时，计算量也是比较大的，而且很容易造成漏解的情况。

方法3：用不定方程求解法
由于旅客人数、车辆数都是非负整数，所以我们可以列出符合题意的不定方程，并求出它的非负整数解。

设需要大客车x 辆，小客车y 辆
则 3063048=+y x
即 5158=+y x
1）整数分离法；
上面不定方程经过变形可化为
y = 5
851x - =5
)31()550(x x -+- =10x -+5
31x - 令20=x ,则70=y ,这是上不定方程的一个特解，由于二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，求出的特解不同，因此同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．只要将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．下面给出不定方程的通解
⎩⎨⎧-=+=t
y t x 8752 Z ∈t 由于x ,y 是正整数，所以 ⎩
⎨⎧==72y x 即需要大客车2辆，小客车7辆
2）奇偶数分析法
x 8是一个偶数，51是个奇数，那么y 5肯定是个奇数。

那么y 5的个位数字一定是5，由于和是51，可见x 8的个位数字一定是6，即2=x 或7，把它代入不定方程中，很容易得出：2=x ；7=y
从上面看，有时候我们在求解不定方程之前，我们应认真分析一下不定方程的对应未知量和常数项的奇偶性，有时我们可以从中得到一种关系，这样我们可以大大降低解题的难度和所花费的时间。

通过上面例题的解析我们可以看到采用不定方程给解决这一类问题的优越性。

2.2 不定方程组的应用
上面介绍了不定方程组的解法，主要也是采用消元的办法，将它化为一次不定方程来求解。

下面看看不定方程组在实际有些什么运用？
例7：新发行的一套邮票共3枚，面值分别为20分，40分和50分，小明花5.00元买了15张，问：其中三种面值的邮票各多少张？
解析：上面这个问题是我们在日常生活中常会遇见的一类“定值定量”问题。

对于 类问题我们经常可以采用设未知量然后列方程（组），最后解方程求出它的解。

设20分，40分和50分面值的邮票各x 、y 、z 张，可以列方程组如下：
⎩⎨⎧=++=++)
2(500504020)1(15z y x z y x 则（2）－（1）×20得到： 2003020=+z y ，
上式通过化简可以得到 z =
3
220y - (3) 1） 整数分离法：
下面我们首先给出它的一个特解，由于x ,y ,z 均为非负整数，令10=y ,则60=z ,80=x
所以它的通解为 ⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=-=t z t y t x 26318 Z ∈t
因为x ,y ,z 均为非负整数，所以⎪⎩⎪⎨⎧=========6
42,1,4,7,8,
7,6z z z y y y x x x 2） 枚举法： 由（3）可知z 必须能被2整除，且z ≤[
30200]=6，则z 可以取2，4，6，得到三组解如下：
⎪⎩⎪⎨⎧=========6
42,1,4,7,8,
7,6z z z y y y x x x 可见20，40，50分的邮票为6，7，2张或者7，4，4张或者8，1，6张。

大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》的古书里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个著名的数学问题。

下面我们看看能不能做到百钱买百鸡呢？如果能，那他又是如何做到百钱买百鸡呢？
例8．今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
解析：设公鸡、母鸡、小鸡各买x ,y ,z 只，由题意列方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x
)1(3)2(-⨯得 200814=+y x
即 10047=+y x ．
先解10047=+y x ，有y =4
7100x -,先给出它的一个特解，令00=x ,则250=y ，所 求得它的通解为 ⎩⎨⎧-==t
y t x 7254 Z ∈t （3） 将（3）代入（1）中可得 t z 375+= Z ∈t
由题意知10047=+y x 的所有整数解的取值为x <0,y ,100<z ，
由于t 是整数，故t 只能取26，27，28，而且x ,y ,z 还应满足不定方程
100=++z y x .
求得不定方程的解为⎪⎩⎪⎨⎧===78184z y x ，⎪⎩
⎪⎨⎧===81118z y x ，⎪⎩⎪⎨⎧===84412z y x
即可能有三种情况： 4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；
或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；
或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．
上面对于求解不定方程组主要是采用先消元的思想，化成一次不定方程，然后采用一次不定方程的整数分离方法进行求解，这样我们能顺利地解决流传至今的“百鸡问题”，假如我们采用枚举法那计算量是相当大，因此解决此类问题不宜采用枚举法。

3．结论
不定方程的解法很多，我们需要根据题目自身的特点寻找一种适合解题的方法。

在求解之前，我们要注意的是不能盲目的求解，须认真验证所求不定方程是否有约束解；在求解的时候，我们应观察它的元的次数，然后看看元的个数，当元的次数为一的时候，假如是多元的我们就应采用换元法或者是矩阵求解法，如果是二元的，那我们采用整数分离法，同余式法，奇偶分析法，枚举法，当然也可以用矩阵求解法，但因为元的个数不是很多，就没有必要用这种方法。

因此求解二元一次不定方程，我们还是采用上面所提到的常用的基本方法，然后根据题目自身所具有的特征，进一步选取适合所需求解题目的解。

对于不定方程在小学奥数中的应用，我们是常可以见到的。

一般求解这类问题时，首先我们需认真阅读题目所提供的信息，然后设未知量，列出满足题意的方程，按照不定方程解法进行求解，最后通过一一验证找出其合格解。

【参考文献】
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[2]晏能中.初等数论[M].第一版.北京：电子科技出版社，2005. 63-65
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