基础知识-行列式

基础知识——行列式
理解n阶行列式的定义，熟记相关性质及其计算方法. （“阶”字说明对应的是方阵，即行数与列数相等的矩阵，矩阵就是一个“矩形”的数表. 行列式则是针对方阵的一种运算，其计算结果为一个数.）克拉默（Cramer）法则：用n阶行列式求解n元线性方程组.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
全排列（简称排列）：将不同元素排成一列. （n个不同元素的所有排列的种数有!(1)321
=-个.）
n n n
逆序：与事先人为规定的标准次序不同的情况（现象）.
排列的逆序数：排列中逆序的总数. （排列根据其逆序数的奇、偶分为奇、偶排列.）
n阶行列式：将方阵中不同行不同列的元素之积冠以符号(1)t
-后的!n项的代数和. 其中，t为排列的逆序数，即行标排列的逆序数与列表排列的逆序数之和.
上（下）三角形行列式的值与相应的对角行列式的值相等.
（相邻）对换：将任意两个（相邻）元素对调.
对换次数就是排列奇偶性变化次数，即每对换一次排列奇偶性变化一次.
行列式与它的转置行列式相等. （即行列式中的行与列地位相等，行列式的性质凡是对行成立的对列也成立，反之亦然. 故接下来只对行进行讨论.）
互换行列式的两行，行列式变号.
行列式中某一行元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 行列式中若有两行元素成比例，则该行列式等于零.
若将行列式中某一行元素均看作两数之和，则该行列式可按该行拆分为两个行列式之和，且新的两个行列式除“被拆行”外的其余部分均与原行列式相同. （相当于把被看作两数之和的那一行元素从原行列式中抽出，将剩下的框架复制一份，即两个，再把抽出的那行元素拆分为两组元素分别放入两个框架的相应位置上去.）
若n 阶行列式每个元素都表示成两数之和，则它可分解成2n 个行列式.
把行列式的某行元素乘以同一个数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.
用归纳法不难证明（这里不证）任何n 阶行列式总能利用上述性质化为三角行列式.
余子式：除去(,)i j 元ij a 所在行所在列后留下来的1n -阶行列式. 代数余子式：余子式冠以(1)i j +-.
行列式按行展开法则：行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.
形如下图的行列式称为范德蒙德（Vandermonde ）行列式：
行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
n 元线性方程组：
克拉默法则：若上述线性方程组的系数行列式不等于零，即
，
则该方程组有唯一解
.
其中(1,2,,)j D j n 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即
.
齐次线性方程组必有零解，
总之，若线性方程组有唯一解，则系数行列式不等于零，反之亦然；其余情况（无解或多解）均表明系数行列式等于零.。