山东省青岛市高三数学上学期期中试题 文 新人教A版

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集R U =,{|A y y ==
,则U C A =
A ．[0,)+∞
B ．(,0)-∞
C ．(0,)+∞
D ．(,0]-∞ 2.已知命题p 、q ，则“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.向量1(,tan )3
a α=，(cos ,1)
b α=，且a ∥b ，则cos(
)2
π
α+=
A.
13 B. 1
3
- C. 3- D. 3-
4.在正项等比数列}{n a 中，369lg lg lg 6a a a ++=，则111a a 的值是 A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10
5．已知0,a >且1a ≠，函数log ,,x
a y x y a y x a ===+在同一坐标系中的图象可能是
2
6.定义运算
a b ad bc c d
=-，若函数()123
x f x x
x -=
-+在(,)m -∞上单调递减，则实
数m 的取值范围是 A ．(2,)-+∞
B ．[2,)-+∞
C ．(,2)-∞-
D ．(,2]-∞-
7.已知,x y 满足10202 x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则目标函数3z x y =-的最小值是
A ．
7
2
B ．4-
C ．7-
D ．8-
8.已知33)6
cos(-
=-
π
x ,则=-+)3
cos(cos πx x A ．3
3
2-
B ．3
3
2±
C ．1-
D ．1±
9.函数()4
230y x x x
=-->的最大值是
A.2-
B. 2-
C. 2+
D. 2+
10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，若12320132013t a a a a a +++
+=（*N t ∈），则t =
A ． 2014
B ．2013
C ．1007
D ．1006
11.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使
0||||
a b a b +=成立的是 A ．13
a b =- B ．//a b C ．2a b = D ．a b ⊥
12.已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是 A ．(sin )(cos )f A f B >
3
B ．(sin )(cos )f A f B <
C ．(sin )(sin )f A f B >
D ．(cos )(cos )f A f B <
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.已知函数1
2log ,1()24,1
x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f = . 14.若直线l 与幂函数n
y x =
的图象相切于点A ，则直线l 的方程为 .
15.已知函数()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当
[1,0]x ∈-时,()f x x =-，则(2013)(2014)f f += .
16.若对任意x A ∈，y B ∈，（A 、R B ⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，称(,)f x y 为关于x 、y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数(,)f x y 为关于实数x 、y 的广义“距离”:
（1）非负性:(,)0f x y ≥，当且仅当0x y ==时取等号； （2）对称性:(,)(,)f x y f y x =；
（3）三角形不等式:(,)(,)(,)f x y f x z f z y ≤+对任意的实数z 均成立. 今给出四个二元函数:
①2
2
(,)f x y x y =+；②2(,)()f x y x y =-
③(,)f x y =
；
④(,)sin()f x y x y =-. 能够成为关于的x 、y 的广义“距离”的函数的所有序号是 . 三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数2
()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π．
4
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移
6
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．求()y g x =在区间[0,10]π上零点的个数．
18．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 为递增数列，且251021,2()5n n n a a a a a ++=+=，N n *
∈.
（Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）令1(1)n n n c a =--，不等式2014(1100,N )k c k k *
≥≤≤∈的解集为M ，求所有
()k a k M ∈的和.
19．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足22
2cos ()bc A a b c =-+．
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若a =ABC ∆
的面积为,b c ．
20．（本小题满分12分）
已知函数2
()2(R)f x x x b b =++∈.
（Ⅰ）若函数()f x 的值域为[0,)+∞.求关于x 的不等式()4f x <的解集；
（Ⅱ）当0b =时，m 为常数，且01m <<，11m t m -≤≤+，求2()()21
f t t t f t t ---+的最小值.
21．（本小题满分13分）
5
某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交
(13)a a ≤≤元的管理费,预计当每件商品的售价为(79)x x ≤≤元时,一年的销售量为2(10)x -万件．
（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L （万元）与每件商品的售价x 的函数关系式()L x ; （Ⅱ）当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L 最大,并求出L 的最大值．
22．（本小题满分13分）
已知函数2
()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且
12x x <.
（Ⅰ）证明：1ln 2x <；
（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.
高三数学（文科）练习题 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分． B A B A C D C C B C A A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13.2-
14.90x y --= 15.1- 16．①
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
6
17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题意得
()f x
=22sin cos x x x ωωω+
sin 222sin(2)3
x x x π
ωωω=-=- ………………2分
由周期为π，得1ω=. 得()2sin(2)3
f x x π
=- ………………4分
由正弦函数的单调增区间得
2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
，得5,Z 12
12
k x k k π
π
ππ-
≤≤+
∈ 所以函数)(x f 的单调增区间是5[,],Z 1212
k k k π
π
ππ-
+
∈． ………………6分 （Ⅱ）将函数)(x f 的图象向左平移6
π
个单位，再向上平移1个单位，
得到2sin 21y x =+的图象，所以()2sin 21g x x =+ ……………………8分
令()0g x =，得：712x k ππ=+或11(Z)12
x k k π
π=+∈ …………………10分
所以函数在每个周期上恰有两个零点,
[]0,10π恰为10个周期，故()g x 在[]0,10π上有20个零点 …………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
所以429
11()a q a q =，解得1a q = …………2分 又因为212()5n n n a a a +++=，所以2
2()5n n n a a q a q +=
则22(1)5q q +=，2
2520q q -+=，解得1
2
q =
（舍）或2q = …………4分 所以1222n n
n a -=⨯= …………6分 （Ⅱ）则1(1)1(2)n n
n n c a =--=--,
当n 为偶数，122014n n c =-≥，即22013n
≤-，不成立 …………8分 当n 为奇数，1+22014n n c =≥，即22013n
≥，
7
因为1011
2=10242=2048，，所以21,549n m m =+≤≤ …………10分
{}()k a k M ∈组成首项为112，公比为4的等比数列
则所有()k a k M ∈的和11451012(14)22048
143
--=-……………12分
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由余弦定理得
2222cos a b c bc A =+- ……………2分
代入222cos ()bc A a b c =-+得4cos 2bc A bc =-，……………4分
∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π=………………6分
（Ⅱ）1
sin 162
S bc A bc =
=⇔=………………8分 2
2
2
2
2
2cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+=………………10分 解得：4b c ==………………12分 20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由值域为[0)+∞，，当22=0x x b ++时有440b =-=，即1b =，………2分 所以2
()21f x x x =++，则2
()214f x x x =++<
则2
230x x +-<，化简得(3)(1)0x x +-<，解得31x -<< 所以不等式的解集为{31}x x -<<……………4分
（Ⅱ）当0b =时，2
()2f x x x =+，所以22()=()211
f t t t t
f t t t ---++
因为01m <<，11m t m -≤≤+，所以0112m t m <-≤≤+<
令2()=1
t
g t t +，则2221()=(1)t g t t -'+……………6分
当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调增，当1t >时，()0g t '<，()g t 单调减，……8分
8
因为22
11(1
)(1)(1)1(1)1
m m
g m g m m m -+--+=
--+++ 3
2220[(1)1][(1)1]
m m m -=<-+++，所以(1)(1)g m g m -<+……………10分 所以2
()=
1
t
g t t +的最小值为21(1)(1)1m g m m --=-+……………12分 故max ()(7)279L x L a ==- ……………10分
②当2673a +
>，即3
32
a <≤时， 2[7,6]3x a ∴∈+时，'()0L x >；2
[6,9]3
x a ∈+时，()0L x '<
()L x ∴在2[7,6]3x a ∈+上单调递增；在2
[6,9]3x a ∈+上单调递减，
故3
max 2()(6)4(2)33
a L x L a =+=- ……………12分
答:当3
12
a ≤≤每件商品的售价为7元时,该连锁分店一年的利润L 最大,
最大值为279a -万元；
当332a <≤每件商品的售价为2
63
a +元时,该连锁分店一年的利润L 最大,
9
最大值为3
4(2)3
a
-万元. ……………13分 22．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵ 函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，即()0f x '=有两个零点1x ，2x
∴ 方程20x
e x a --=有两个不同的零点1x ，2x ……………………………2分 令()2x h x e x a =--．
()2x h x e '=-， ……………………………4分 当2ln <x 时，()0h x '<， ()h x 是减函数； 当2ln >x 时，()0h x '>， ()h x 是增函数，……………………………………6分 ∴ ()h x 在ln 2x =时取得最小值．
∴ 1ln 2x <． …………………………………7分
（Ⅱ）∵1)(0h x =，即1120x
e x a --=，
∴ 112x
a e x =- …………………………………9分
于是11122
111111()(2)(1)x
x
x
f x e x e x x x e x =---⋅=-+，
∴ 111()(2)x
f x x e '=- …………………………11分 ∵ 1ln 2x <，
∴ 120x e ->．
∴ 当10x <时，1()0f x '<，1()f x 是减函数；
当10ln 2x ≤<时，2()0f x '>，1()f x 是增函数 ……………………………12分 ∴ 1()f x 在(n 2)l -∞，上的最小值为()01f =，此时1a =. …………………13分。