高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程课时作业 新人教A版

双曲线及其标准方程
(30分钟50分)
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·长春高二检测)双曲线-=1的焦距为( )
A. B.2 C.4 D.8
【解析】选D.由方程-=1,得a2=9,b2=7,
所以c2=a2+b2=16,即c=4,所以焦距2c=8.
2.“mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则有m>0,n<0,故mn<0,若m·n<0,则m>0,n<0或m<0,n>0.故选B.
3.(2014·南昌高二检测)设双曲线-=1上的点P到点(4,0)的距离为10,则点P到点(-4,0)的距离为( )
A.16
B.16+2
C.10+2或10-2
D.16或4
【解析】选C.由-=1,得a2=7,b2=9,
所以c2=a2+b2=16,c=4,a=,
所以F2(4,0)和F1(-4,0)为双曲线的焦点.
由||PF1|-|PF2||=2a=2,
故|PF1|=10+2或10-2.
4.(2014·济宁高二检测)如图,△ABC外接圆半径R=,
∠ABC=120°,BC=10,弦BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点
的双曲线的方程为( )
A.-=1
B.-=1
C.-=1
D.-=1
【解析】选B.由正弦定理得=2R,
所以|AC|=2××=14,
由余弦定理得|AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB||BC|cos∠ABC,
即|AB|2+10|AB|-96=0,解得|AB|=6,
依题意设双曲线的方程为-=1,
则|BC|=2c=10,|AC|-|AB|=2a=14-6=8,
所以c=5,a=4,则b2=c2-a2=9,
因此所求双曲线的方程为-=1.
5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于( )
A. B. C. D.
【解题指南】使用△ABP中的正弦定理.
【解析】选D.在△A BP中,根据正弦定理得
=.由条件可知,
c2=16+9=25,所以|AB|=2c=10,
且||PB|-|PA||=2a=8,
所以===.
6.(2014·宿州高二检测)过双曲线-=1(a,b>0)的左焦点F1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P,切点为T,PF1的中点M在第一象限,则以下结论正确的是( )
A.b-a=|MO|-|MT|
B.b-a>|MO|-|MT|
C.b-a<|MO|-|MT|
D.b-a与|MO|-|MT|的大小不确定
【解析】选A.设F2为双曲线的右焦点,
连PF2,因M为PF1中点,
故|MO|=|PF2|=(|PF1|-2a)
=|PF1|-a=|MF1|-a,
|MO|-|MT|=|MF1|-|MT|-a=|F1T|-a.
连OT,则△F1OT为直角三角形,且|OT|=a,|OF1|=c,
所以|F1T|==b,故|MO|-|MT|=b-a.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是.
【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,
所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4.
又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10.
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.
答案:34
【举一反三】本题条件不变,则△PF1F2的面积是.
【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,
所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a.所以a=4,
又因为b2=9,所以c2=25,所以2c=10,
在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2===.
所以sin∠F1PF2==,
所以=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2
=×16×8×=.
答案:
8.(2014·唐山高二检测)已知P是双曲线-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,则|PF2|的值为.
【解析】由条件知a2=64,即a=8,
c2=b2+a2=100,c=10,
所以双曲线右支上的点到左焦点F1的最短距离a+c=18>17,故点P在双曲线左支上.
所以|PF2|-|PF1|=2a=16,
即|PF2|=16+|PF1|=33.
答案:33
【误区警示】本题易直接利用定义求解,忽视右支上的点到左焦点的最短距离为a+c,而出现错误结论|PF2|=1或|PF2|=33.
9.(2014·双鸭山高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线上,则双曲线方程为______________.
【解析】|PF1|==4,
|PF2|==2,
|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=,
又c=2,故b2=c2-a2=2,
所以双曲线的方程为-=1.
答案:-=1
【变式训练】已知双曲线上两点P1,P2的坐标分别为(3,-4),,求双曲线的方程.
【解析】设所求双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0),
依题意有解得
故所求双曲线方程为-=1.
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图,已知双曲线中c=2a,F1,F2为左、右焦点,P是双曲线上的点,∠F1PF2=
60°,=12.
求双曲线的标准方程.
【解析】由题意可知双曲线的标准方程为-=1.
由于||PF1|-|PF2||=2a,在△F1PF2中,
由余弦定理得
cos60°=
=,
所以|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2,
所以=|PF1|·|PF2|·sin60°=2b2·=b2,
从而有b2=12,所以b2=12,c=2a,结合c2=a2+b2,得a2=4.
所以双曲线的标准方程为-=1.
11.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1⊥PF2,求点P到x轴的距离.
【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.
【解析】设P点为(x0,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).
因为PF1⊥PF2,所以·=0,
即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)·(-y0)=0,
整理,得+=25①.
又因为P(x0,y0)在双曲线上,所以-=1②.
联立①②,得=,即|y0|=.
因此点P到x轴的距离为.
(30分钟50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是( )
A.m≠1且m≠-3
B.m>1
C.m<-3或m>1
D.-3<m<1
【解析】选C.由(m-1)(m+3)>0,得m>1或m<-3.
【举一反三】若方程-=1表示焦点在x轴上的双曲线,则实数m的取值范围是( )
【解析】选B.由已知得得m>1.
2.(2014·太原高二检测)设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若点P在双曲线上,有·=0,则|+|=( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选B.因为·=0,所以PF1⊥PF2,
即△PF1F2为直角三角形,
所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=40,
|+|=
=
==2.
3.(2014·济宁高二检测)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x
轴的距离为( )
A. B. C. D.
【解析】选B.因为||PF1|-|PF2||=2,
所以|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=4,
所以|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|·|PF2|,
由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2
=2|PF1|·|PF2|cos 60°,
得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|·|PF2|,
又a=1,b=1,所以c==,
所以|F1F2|=2c=2,
所以4+2|PF1||PF2|=|PF1|·|PF2|+8,
所以|PF1|·|PF2|=4.
设P到x轴的距离为|y0|,
=|PF1||PF2|sin 60°=|F1F2|·|y0|,
所以×4×=×2|y0|,所以y0==.
4.(2014·长沙高二检测)已知P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,I 是△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.△IPF1,△IPF2,△IF1F2的高均为△PF1F2内切圆的半径,故|PF1|·r=|PF2|·r+λ×|F1F2|r,所以|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,即|PF1|-|PF2|=
λ|F1F2|,所以2a=λ×2c,λ==.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2014·黄石高二检测)已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值是.
【解析】由双曲线-=1,得c=4,
所以左焦点F(-4,0),右焦点F′(4,0),
由双曲线的定义得:|PF|-|PF′|=2a=4,
所以|PF|+|PA|=4+|PF′|+|PA|≥4+|AF′|=4+=9,此时P为
AF′与双曲线的交点,即|PF|+|PA|的最小值为9.
答案:9
6.(2014·杭州高二检测)已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),M是此双曲线上一点,若
·=0,||·||=2,则该双曲线的方程是.
【解析】设双曲线的方程为-=1,
由题意得||MF1|-|MF2||=2a,|MF1|2+|MF2|2=(2)2=20,
又因为||·||=2,
所以|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|=4a2,
即20-2×2=4a2,
所以a2=4,b2=c2-a2=5-4=1,
所以双曲线的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.当0°≤α≤180°时,方程x2cosα+y2sinα=1表示的曲线怎样变化?
【解题指南】根据cosα的取值,对角α分五类进行讨论,由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状.
【解析】(1)当α=0°时,方程为x2=1,它表示两条平行直线x=±1.
(2)当0°<α<90°时,方程为+=1.
①当0°<α<45°时,0<<,它表示焦点在y轴上的椭圆.
②当α=45°时,它表示圆x2+y2=.
③当45°<α<90°时,>>0,它表示焦点在x轴上的椭圆.
(3)当α=90°时,方程为y2=1,它表示两条平行直线y=±1.
(4)当90°<α<180°时,方程为-=1,它表示焦点在y轴上的双曲线.
(5)当α=180°时,方程为x2=-1,它不表示任何曲线.
8.某部队进行军事演习,一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A,B,C的报告:正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声,正东观测点听到爆炸声的时间比其他两个观测点晚4s,已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该枚炮弹的袭击位置.(声音的传播速度为340m/s,相关各点均在同一平面内)
【解析】如图,以指挥中心为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).
设P(x,y)为炮弹的袭击位置,
则|PB|-|PA|=340×4<|AB|,
由双曲线定义,知点P在以A,B为焦点的双曲线的左支上,且a=680,c=1020,
所以b2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线方程为-=1(x≤-680).①
又|PA|=|PC|,
因此P在直线y=-x上,
把y=-x代入①式,得x≈-1521.
所以P(-1521,1521),|OP|=1521(m).
故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°,距指挥中心1521m处.。