黑龙江省牡丹江高一上期末数学试卷有答案-精编

2017-2018学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于180°的正角D．第一或第二象限角
2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）
A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣） D．（﹣，）
3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（5分）已知=，=，=，则（）
A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线
5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．5
6．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．
7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数
B．f（x）最小正周期为π
C．f（x）图象关于点（﹣，0）对称
D．f（x）在区间[，]上是增函数
9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
10．（5分）已知函数的图象过点，若
对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）
A．2 B．10 C．4 D．16
11．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）
A．B．C．或D．或
12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）
A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为．14．（5分）= ．
15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．
16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．
（1）求的值；
（2）求．
18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；
（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．
19．（12分）已知函数的最大值为3．
（1）求常数a的值；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．
20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g （x）图象上所有点的纵坐标伸长到原的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，
①求实数m的取值范围．
②证明：cos（α﹣β）=﹣1．
22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．
（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；
（Ⅱ）若=2，求的取值范围．
2017-2018学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）
A．第一象限角B．第二象限角
C．小于180°的正角D．第一或第二象限角
【解答】解：∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°
∴0°＜2θ＜180°，
∴2θ是小于180°的正角．
故选C
2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）
A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣） D．（﹣，）
【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，
所以∠QOx=，
所以Q（cos，sin），
即Q点的坐标为：（﹣，）．
故选：A．
3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【解答】解：2018°=5×360°+218°，为第三象限角，
∴sin2018°=sin218°＜0，cos2018°=cos218°＜0，
∴A在第三象限，
故选：C．
4．（5分）已知=，=，=，则（）
A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线
【解答】解：=（）+3（）=+5，
又=，所以，则与共线，
又与有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
故选A．
5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．5
【解答】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．
弧长l=2πr•=r，
故扇形周长C=l+2r=3r=6cm，
∴r=2cm
扇形面积S=π•r2•=2cm2．
故选：B．
6．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．
【解答】解：由题意可得，=
∴==﹣
故选D
7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）
A．﹣B．﹣C．D．
【解答】解：∵sin（+θ）=，
∴（sinθ+cosθ）=，
∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，
解得：sin2θ=﹣，
故选：B．
8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数
B．f（x）最小正周期为π
C．f（x）图象关于点（﹣，0）对称
D．f（x）在区间[，]上是增函数
【解答】解：A．由于f（﹣x）=|sin（﹣2x+）|=|sin（2x﹣）|≠f（x），故A错；B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f（x），故f（x）最小正周期为，故B错；
C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象
可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，
而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，
故C错；
D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间
是[]，k∈，故函数f（x）的增区间为
[]，k∈，k=1时即为[，]，故D正确．
故选D．
9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位
【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，
过（，0）点，（）点，
易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2
即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：
+φ=+2kπ，k∈又由
∴φ=
∴f（x）=sin（2x+），
设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，
则2（x+a）+=2x
解得a=﹣
故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，
故选A
10．（5分）已知函数的图象过点，若
对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）
A．2 B．10 C．4 D．16
【解答】解：函数的图象过点，
∴f（0）=sinφ=，
∴φ=，
∴f（x）=sin（ωx+）；
又对x∈R恒成立，
∴ω•+=2kπ+，k∈，
即ω=24k+4，k∈，
∴ω的最小值为4．
故选：C．
11．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）
A．B．C．或D．或
【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，
∴2α∈[，2π]，
又0＜sin2α=＜，
∴2α∈（，π），即α∈（，），
∴β﹣α∈（，），
∴cos2α=﹣=﹣；
又sin（β﹣α）=，
∴β﹣α∈（，π），
∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，
∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣
×（﹣）﹣×=．
又α∈（，），β∈[π，]，
∴（α+β）∈（，2π），
∴α+β=，
故选：A．
12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）
A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定
C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定
【解答】解：令f（t）=|t|2=t2+2t•+2，
∴△=4（•）2﹣4•≤0恒成立，
当且仅当t=﹣=﹣cosθ时，f（t）取得最小值1，
∴（﹣cosθ）2•+2（﹣cosθ）••+2=1，
化简sin2θ=1．
∴θ确定，则||唯一确定
故选：C
二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为﹣1 ．【解答】解：∵，
∴
即
∴1+λ=0
∴λ=﹣1
故答案为﹣1
14．（5分）= ．
【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．
故答案为：
15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．【解答】解：∵sin（x+）=，
则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）
=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，
故答案为：．
16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1] ．
【解答】解：∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．
∴的夹角为．
设，=（，），设=．则==（，），
∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．
∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，
∴||的最小值为，||的最大值是+1．
故答案为[﹣1，+1]．
三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．
（1）求的值；
（2）求．
【解答】解：（1）∵tanα=2，∴==；
（2）=
==﹣．
18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；
（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．
【解答】解：（1）∵||=3，||=4，的夹角为，
∴=||•||•cos=3×4×=6，
∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13，
∴2=，
（2）设=（x，y），
则x2+y2=9①，
由，
∴2x=y，②，
由①②解得，，或，
故的坐标为，
19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；
（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．
【解答】解：（1）∵
=sinxcos﹣cosxsin+sinxcos+cosxsin+cosx+a
=2sinxcos+cosx+a==．
=2+a=3，即a=1；
∴f（x）
max
（2）由f（x）＞0，得，即．
∴，k∈．
则，k∈．
∴f（x）＞0成立的x的取值集合为{x|，k∈}．
20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，
则：=msin2x+ncos2x，
y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．
则：解得：，
即：m=，n=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：
g（x）=2sin（2x+2Φ+），
设g（x）的对称轴x=x
0，最高点的坐标为：（x
，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，
则：g（0）=2，
解得：Φ=，
所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．
令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ （k∈）
则：单调递增区间为：[]（k∈）
故答案为：（Ⅰ）m=，n=1
（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈）
21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g （x）图象上所有点的纵坐标伸长到原的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．
（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；
（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，
①求实数m的取值范围．
②证明：cos（α﹣β）=﹣1．
【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，
从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈）．
（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）
=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）
依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，
当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．
②证明：因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，
所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．
当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；
当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；
所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=﹣1．
22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．
（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；
（Ⅱ）若=2，求的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）α=时，=（λ+2，λ2﹣），=（m，+），
由于⊥，则=0，即有（λ+2）m+（）（）=0，
即有+mλ+=0对一切λ∈R均有解，
当m=﹣时，λ=﹣2成立，
当m时，△=m2﹣4××≥0，
≤m≤，且m，
综上，可得，m的取值范围是[，]；
（Ⅱ）=2，则λ+2=2m且=m+2sinαcosα，消去λ，得（2m﹣2）2﹣m=sin2，
即有4m2﹣9m+4=2sin（2）∈[﹣2，2]，
由﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得，，
则==2﹣∈[﹣6，1]．
则有的取值范围是[﹣6，1]．。