《1.3.2圆的内接四边形的性质与判定》教学案3

《1.3.2圆的内接四边形的性质与判定》教学案
教学目标
知识目标
1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
2.掌握圆内接四边形判定定理及其推论；熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理进行计算和证明．
能力目标
1.通过对圆内接四边形的概念及其性质定理的复习，培养学生应用定理解决问题的能力；
2.通过复习圆内接四边形判定定理及其推论，促使学生会用定理判定四点共圆；
3.通过定理的应用，培养学生逻辑推理能力．
情感目标
1.开心自测引入复习，激发学生观察、分析、探求的学习激情，强化学生参与意识及主体作用.
2.通过证明方法的探求，培养学生勤于思考的习惯，并促进学生辩证思维的能力和严谨的治学精神和态度，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点.
教学重难点
1.重点圆内接四边形的性质与判定定理.
2.难点定理的灵活应用.
教学过程
教学
环节
教学内容与教学设计设计说明
知识
梳理
圆内接四边形的性质定理：
定理：圆内接四边形的对角互补.并且
任何一个外角都等于它的内对角
圆内接四边形的判定定理：
如果一个四边形的对角互补，那么这个
四边形的四个顶点共圆.
设计意图：通过梳理知识，使学生明确本节
所复习的内容，熟练掌握本节的三个定理和一个
推论.
开心
自测
1. 如图1，⊙O的内接四边形BCED，延
长ED，CB交于点A，若BD⊥AE，AB=4，BC
=2，AD=3，
则DE=_______；CE=__________.
2. 如图2，AD、BE是△ABC的两条高，
求证:∠CED=∠ABC.
1.选题立意：设计开心自测题，主要体现课
堂中的自主学习，目的是激发学生的学习兴趣.其
中第1题的立意是:考查圆内接四边形性质定理及
割线定理的灵活运用.第2题的立意是:考查灵活
运用圆内接四边形性质定理证明角相等问题.
2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题，
并分成两组，每一组推荐一名同学说出解题思路
和答案.
金题
精讲
例1 (2011·课标全国卷)如图3，D，E
分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△
ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为
n，AD，AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两
个根.
(1)证明:C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，
D，E所在圆的半径.
1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆
的基本知识与方法，考查推理论证能力及运算求
解能力.
2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问
题，那么要证四点共圆，我们有那些方法呢？通
过提问让学生在大脑中搜索相关知识，寻找最佳
解题方案.这样问题可以转化为证明Rt△ADE与Rt
△ABC相似，从而利用本节的推论来证明四点共
圆.第(2)小题是计算问题，关键是引导学生如何
确定圆心的位置.根据圆的性质可知，圆心即为该
圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFH G中求圆的半径了.
3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四边形的判定定理或其推论.解题时，关键是寻找四边形的对角互补或其一外角与它的内角的对角相等.
金题精讲
例2(2011·辽宁卷)如图4，A，B，C，D
四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线
交于E点，且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF=
EG，证明A，B，G，F四点共圆.
1.选题立意：本题考查平面几何的证明问题，
主要涉及两条直线平行以及四点共圆的判定.
2.处理过程:第(1)小题如何利用已知条件来
证明CD∥AB？让学生去“找路”，证平行问题主
要是运用平行线的判定定理.本题中A、B、C、D
四点共圆这个条件的正确运用是证明该问题的关
键.
第(2)小题是证明四点共圆问题，引导学生作
出辅助线，连接AF、BG得四边形ABGF，如何运
用四点共圆的判定定理呢？此时，把问题交给学
生去探究.
要证∠AFD+∠ABC=180°，即证∠F AB=∠G
BA.
3.老师点评：灵活运用圆内接四边形性质与
判定定理是解题的关键.
例3 (2009年·宁夏)如图5，已知△ABC
的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B=6
0°，F在AC上，且AE=AF.
(1)证明:B，D，H，E四点共圆；
(2)证明:CE平分∠DEF.
1.选题立意：本题考查四点共圆的判定方法
及利用四点共圆的性质证明角相等问题.
2.处理过程:第(1)小题只要证明四边形BDH
E的内对角互补即可，但该小题的的难点恰在于如
何证明内对角互补.这时可以分组讨论，充分调动
学生的学习积极性，只要学生能想的就让学生想，
学生能说的让学生说，学生能做的让学生做.
第(2)小题实际上是证明角相等问题，请一个
学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有
困难时，及时正确引导，同时注意引导方式.
3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用
到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，
推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的
技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.
知能演练
如图6，已知△ABC中，AB=AC，D是△A
BC外接圆劣弧AC⌒上的点(不与A，C重合)，延
长BD到E.
(1)求证:AD的延长线平分∠CDE；
(2)若∠BAC=30°，△ABC中
BC边上的高为2+ 3 ，
求△ABC外接圆的面积.
设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握
本节的重点，形成相应的数学能力.
课堂小结
1.本节课我们复习了圆内接四边形的性
质与判定定理.
2.通过开心自测、金题精讲和知能演练，
使我们初步掌握了如何灵活运用圆内接四边
形的性质与判定定理解决问题.
3.这节课我们运用了数形结合、转化与
化归等数学思想方法.
设计意图:课堂小结使学生深切体会到本节
课的主要内容和思想方法，从而实现对圆内接四
边形的性质与判定定理认识的再次深化.
能力
锤炼能力锤炼题见表下面.
设计意图:课后检测，巩固本节知识点，深化相应的数学能力.。