2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷含答案(6)

2022年全国卷Ⅰ高考数学理科模拟试题卷班级：_________________ 姓名：_________________ 座号：________________
评卷人得分
一、选择题(共12题，每题5分，共60分)
1．已知集合，，下列结论成立的是
A. B. C. D.
2．若虚部大于0的复数满足方程,则复数的共轭复数为
A. B. C. D.
3．已知a=0.80.4,b=0.40.8,c=log8 4,则
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a
4．已知O为坐标原点,点A的坐标为,点B(x,y)∈,则||cos<,>的取值范围为
A.[,6]
B.[,2]
C.[,]
D.[,6]
5．若关于x的方程+2x a+a+1=0有实根,则实数a的取值范围是
A.[-1,2-2]
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-1]
D.(-∞,2-2]
6．已知函数f(x)=x3+3ax2+(2a2+)x+1(a>0),若f(x)有极值,且f(x)与f'(x)(f'(x)为f(x)的导函数)的所有极值之和不小于-,则实数a的取值范围是
A.(0,3]
B.(1,3]
C.[1,3]
D.[3,+∞)
7．如图,已知圆锥CO的轴截面是正三角形,AB是底面圆O的直径,点D在上,且∠AOD=2∠BOD,则异面直线AD与BC所成角的余弦值为
A. B. C. D.
8．执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为
A.-
B.2-
C.-2-
D.
9．我国古代数学著作<九章算术>有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤;问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为,现将该金杖截成长度相等的10段,记第段的重量为,且,若,则
A.4
B.5
C.6
D.7
10．已知实数a>1,正实数x1满足方程a x=,正实数x2满足方程log a x=,则4x1+x2的取值范围是
A.(3,+∞)
B.[3,+∞)
C.(4,+∞)
D.[4,+∞)
11．已知x,y∈(0,),sin(x+y)=2sin(x-y),则x-y的最大值为
A. B. C. D.
12．已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列判断正确的是
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则直线m与n一定平行
B.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则直线m与n可能相交、平行或异面
C.若m⊥α,n∥α,则直线m与n一定垂直
D.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则直线m与n一定平行
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题(共4题，每题5分，共20分)
13．函数y=log a(x-3)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点P,且角α的终边过点P,则sin 2α+cos 2α= .
14．已知的内角分别为,,,,且△的内切圆面积为,则的最小值为 .
15．对于数列{x n},若对任意的n∈N*,都有<x n+1成立,则称数列{x n}为“减差数列”.设b n=2t-,若数列b5,b6,b7,…,b n(n≥5,n∈N*)是“减差数列”,则实数t的取值范围是. 16．已经直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+(y-4)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k= .
评卷人得分
三、解答题(共7题，共70分)
17．已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,且满足(b-c)2=a2-bc.
(1)求角A的大小;
(2)若a=3,sin C=2sin B,求△ABC的面积.
18．如图,六面体ABCDEGF中,AB⊥BC,AB=AD=2,BC=CD=2,BF∥DE,且BF=DE=,GA⊥平面ABCD.
(1)求证:CD⊥平面ADEG;
(2)求二面角A-GD-B的正弦值.
19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现,为了防控,某地生物医药公司派出技术人员对当地甲、乙两个养殖场提供技术服务,两种方案如下:
方案一:公司每天收取养殖场技术服务费40元,对于需要用药的每头猪收取药费2元,不需要用药的不收费;
方案二:公司每天收取养殖场技术服务费120元,若需要用药的猪不超过45头,不另外收费,若需要用药的猪超过45头,超过的部分每头猪收费标准为8元.
(1)设日收费为y(单位:元),每天需要用药的猪的数量为n(单位:头),试写出两种方案中y与n的函数关系式.
(2)若该生物医药公司从10月1日起对甲养殖场提供技术服务,10月31日该养殖场对其中一个猪舍9月份和10月份的猪的发病数量(单位:头)进行了统计,得到了如下的2×2列联表:
9月份10月份合计
未发病40 85 125
发病65 20 85
合计105 105 210
根据以上列联表判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
附:
P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
(3)当地的丙养殖场对过去100天的猪的发病情况进行了统计,得到如图所示的条形图.依据该统计数据,把频率视为概率,从节约养殖成本的角度去考虑,若丙养殖场计划结合以往经验,从两个方案中选择一个,那么选择哪个方案更合适,请说明理由.
20．已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点A(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C有两个不同交点M,N时,能在直线y=上找到一点P,在椭圆C上找到一点Q,满足=?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由. 21．已知关于的函数.
(1)当时,求函数在点处的切线方程;
(2)设,讨论函数的单调区间;
(3)若函数没有零点,求实数的取值范围.
请考生在第22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于点M,N.
(1)将曲线C1,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求线段MN的长.
23．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若对恒成立，求的取值范围.
参考答案
1.D
【解析】本题考查集合的基本运算.由题意得,;不成立,排除A;,排除B;,排除C;.D正确.选D.
【备注】无
2.B
【解析】无
【备注】无
3.D
【解析】本题主要考查比较大小,考查的核心素养是数学运算.
解法一因为a=0.80.4,所以a5=0.82=0.64.因为b=0.40.8,所以b5=0.44=0.025 6.因为c=log84=,所以c5=≈0.131 7.
因为0.025 6<0.131 7<0.64,所以b5<c5<a5,所以b<c<a,故选D.
解法二因为a=0.80.4=(,b=0.40.8=(=(,
c=log84==[(=(,,所以(<(<(,所以b<c<a,故选D.
解法三因为a=0.80.4=(>(=(>()1,
b=0.40.8<0.40.5=≈0.63,c=log84=≈0.67,所以b<c<a,故选D.
【备注】无
4.C
【解析】本题考查简单的线性规划、元素与集合的关系、向量的数量积等,考查基本的运算能力、数形结合的数学思想等.首先画出集合中的不等式组所表示的平面区域,然后根据数量
积运算化简||cos<,>,确定对应的目标函数,利用数形结合的方法确定最优解,从而确
定取值范围.
如图,画出不等式组所表示的平面区域(阴影部分).
而=(2,1),=(x,y),所以||cos<,>=(2x+y).
设z=2x+y,
由图可知,当直线过点M时,目标函数z=2x+y取得最大值;
当直线过点N时,目标函数z=2x+y取得最小值.
由,解得M(3,0);
由,解得N(0,1).
所以z=2x+y的最大值为2×3+0=6;最小值为2×0+1=1.
故||cos<,>=(2x+y)=z的最大值为,最小值为,故其取值范围为[,],故选
C.
【备注】无
5.D
【解析】通解设t=2x (t>0),则原方程可化为t2+at+a+1=0 (*),原方程有实根,即方程(*)有正根.令f(t)=t2+at+a+1,①若方程(*)有两个正实根t1,t2,则解得
-1<a≤2-2;
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不符合题意,舍去),则f(0)=a+1<0,解得a<-1;
③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则f(0)=0且->0,解得a=-1.
综上,实数a的取值范围是(-∞,2-2].
优解由方程得a=-,设t=2x(t>0),则a=-=-(t+-1)=2-[(t+1)+],其中t+1>1,由基本不等式,得(t+1)+≥2,当且仅当t=-1时取等号,故a≤2-2.
【备注】无
6.B
【解析】由题意得f'(x)=3x2+6ax+2a2+(a>0),因为f(x)有极值,所以(6a)2-4×3(2a2+)=12(a2-)>0,解得a>1.令h(x)=f'(x)=3x2+6ax+2a2+(a>0),由h'(x)=6x+6a=0得x=-a.设函数f(x)的极值点为x1,x2,则x1+x2=-2a,x1x2=,因为f(x1)+f(x2)=+3a+(2a2+)x1+1++3a+(2a2+)x2+1=-3(x1+x2)x1x2+3a -6ax1x2+(2a2+)·(x1+x2)+2=0,所以f(x1)+f(x2)+f'(-a)=-a2+≥-.令g(a)=-a2+(a>1),易得g(a)在(1,+∞)上单调递减,且g(3)=-,所以1<a≤3.
【备注】无
7.A
【解析】如图,取AC的中点E,劣弧的中点F,AO的中点G,连接OF,OE,
易知OE∥BC,AD∥OF,则异面直线AD与BC所成的角是∠EOF或其补角.连接EG,GF,EF,易得
EG⊥GF,不妨设OG=1,则OF=2,OE=2,EG=,GF2=OG2+OF2-2×OG×OF×cos =5+2,则EF2=EG2+GF2=8+2,所以在△OEF中,cos∠EOF==-,故异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
【备注】无
8.C
【解析】本题考查循环结构的程序框图,考查逻辑推理核心素养.
执行程序框图,找出其规律,即可得出结果.
执行程序框
图,S==-(2+);n=2,S==-;n=3,S==2-;n=4,S=;n=5,S=
=-(2+).因而S的值以4为周期循环出现,所以n=101,S==-(2+),故选C.
【备注】无
9.C
【解析】本题主要考查等差数列.由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列,记为,设公差为d,则,解得,所以该金杖的总重量
,因为,所以,解得i=6,故选C. 【备注】无
10.B
【解析】本题主要考查对数运算、方程的根、利用导数研究函数的单调性和最值,考查化归与转化思想、数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.
先将x2满足的方程化简,得到x1,是方程a x=的根,再根据函数的单调性得到x1=,最后构造函数y=+x(x>0),利用导数知识求最值即可.
因为正实数x2满足方程log a x=,所以log a x2=,即log a,即.又正实数x1满足方程a x=,所以,所以x1,是方程a x=的根.令函数y=a x-,则函数y=a x-在(0,+∞)上单调递增,所以方程a x=在(0,+∞)上有唯一的实数根,所以x1=,所以4x1+x2=+x2.令y=+x,x>0,则y'=-+1,故y=+x在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,且当x→0时,y→+∞,当x→+∞时,y→+∞,所以+x≥+2=3,故4x1+x2的取值范围是[3,+∞),故选B. 【备注】【解题关键】解决本题的关键:(1)对log a x2=化简,得到x1,是方程a x=的根;(2)利用函数的单调性得到方程a x=在(0,+∞)上有唯一的实数根,从而得到x1=;(3)将二元问题转化为一元问题,然后构造函数,利用导数研究函数的最值.
11.B
【解析】由sin(x+y)=2sin(x-y)得sin x cos y+cos x sin y=2sin x cos y-2cos x sin y,则tan x=3tan y,所以tan(x-y)===≤,当且仅当tan y=时等号成立,由于f(x)=tan x(x∈(0,))为增函数,x,y∈(0,),则x-y的最大值为.
【备注】无
12.C
【解析】对于A,m,n可能平行、异面、相交,故A错误;对于B,若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则直线m 与n不可能平行,故B错误;对于C,根据线面垂直、线面平行的性质可知直线m与n一定垂直,故C正确;对于D,若m⊂α,n⊂β,α∥β,则直线m与n可能平行,也可能异面,故D错误.
【备注】无
13.
【解析】因为函数y=log a(x-3)+2(a>0,a≠1)的图象恒过点P,所以P(4,2),又角α的终边过点P,
所以sin α=,cos α=,所以sin 2α+cos 2α=2sin αcos α+2cos2α-1=2××+2×-1=.
【备注】无
14.6
【解析】无
【备注】无
15.(,+∞)
【解析】由数列b5,b6,b7,…,b n(n≥5,n∈N*)是“减差数列”,得到<b n+1(n≥5,n∈N*),即t-+t-<2t-,即+>,化简得t(n2-4n)>n-2,当n≥5时,
若t(n2-4n)>n-2恒成立,则t>=恒成立,又当n≥5时,单调递减,所以的最大值为,则实数t的取值范围是(,+∞).
【备注】无
16.
【解析】设点C(1,4)到直线l的距离为d,则d==1.因为d=,所以=1,解得k=.
【备注】【方法归纳】求解直线与圆的位置关系问题时,为避免计算量过大,要数形结合,充分运用圆的几何性质,比如,圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上;计算弦长时,可用半径,弦心距、半弦长构成直角三角形;涉及圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直的半径等.
17.解:(1)∵(b-c)2=a2-bc,∴b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得,cos A=,
又A∈(0,π),(注意角A的取值范围)
∴A=.
(2)由sin C=2sin B及正弦定理可得,c=2b,(利用正弦定理,实施边角转化)
由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2-bc=3b2,
得b=,∴c=2,
∴△ABC的面积S=bc sin A=×2.
【解析】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式,考查逻辑思维能力、运算求解能力,考查的学科素养是理性思维、数学探索.
(1)由(b-c)2=a2-bc,可得b2+c2-a2=bc,结合余弦定理即可求得角A;(2)先根据sin C=2sin B及正
弦定理得到c=2b,再由余弦定理求得b,进而得到c,由三角形面积公式即可求得△ABC的面积. 【备注】无
18.解:(1)连接AC,由AB=AD,BC=CD,得△ABC≌△ADC,
因为AB⊥BC,所以CD⊥AD.
因为GA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以GA⊥CD.
又GA∩AD=A,GA,AD⊂平面ADEG,所以CD⊥平面ADEG.
(2)易知DE∥平面ABFG,又DE⊂平面ADEG,平面ADEG∩平面ABFG=AG,所以DE∥AG,所以DE⊥平面ABCD.
又CD⊥AD,所以以D为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(3,,0),C(0,2,0),E(0,0,),F(3,,),则=(0,-2,),=(3,-,),=(3,,0). 设G(2,0,h),则=(2,-2,h),由于点C,E,G,F共面,
所以=x+y,即解得
所以G(2,0,2),所以=(2,0,2).
设平面BDG的法向量为m=(a,b,c),
则即令a=-1,则m=(-1,,1).
由(1)知CD⊥平面ADG,所以平面ADG的一个法向量为n=(0,1,0).
所以cos<m,n>=.
设二面角A-GD-B的平面角为θ,则sin θ=,
因此二面角A-GD-B的正弦值为.
【解析】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力.
【备注】无
19.(1)由题意得,方案一中的日收费y(单位:元)与需要用药的猪的数量n(单位:头)的函数关系式为y=40+2n,n∈N,
方案二中的日收费y(单位:元)与需要用药的猪的数量n(单位:头)的函数关系式为y=
(2)由列联表计算可得K2=≈40.02,
因为40.02>10.828,
所以有99.9%的把握认为猪未发病与该生物医药公司提供技术服务有关.
(3)设方案一中的日收费为X,由条形图可得X的分布列为
X124 128 132 136 140
P0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
所以E(X)=124×0.2+128×0.4+132×0.2+136×0.1+140×0.1=130.
设方案二中的日收费为Y,由条形图可得Y的分布列为
Y120 128 144 160
P0.6 0.2 0.1 0.1
所以E(Y)=120×0.6+128×0.2+144×0.1+160×0.1=128.
因为E(X)>E(Y),
所以从节约养殖成本的角度去考虑,丙养殖场应该选择方案二.
【解析】本题考查函数关系式的求法,独立性检验以及数学期望的计算和实际应用,考查运算求解能力,化归与转化思想.
试题围绕现实问题展开,贴近生活,不仅使考生深切感受到生活中充满数学气息,还引导中学数学的教学面向实际,面向社会,更好地体现了数学运算、数据分析、数学建模等核心素养.
(1)根据题意分别写出日收费y(单位:元)与需要用药的猪的数量n(单位:头)的函数关系式,注意方案二中的函数关系式为分段函数;(2)利用独立性检验中K2的计算公式求出其观测值并和临界值表对比可得结论;(3)分别计算两种方案的数学期望值,比较大小可得结论.
【备注】【解题关键】解答高考试题中的概率与统计题有两个关键:①正确理解题意——概率与统计题目的题干一般比较长,信息量大,这就要求解题时读懂每一句话,读懂每一个统计图表,并从中提取有关信息用于解题;②正确计算——概率与统计的题目运算量大,数据较多,解题时要特别注意,确保计算结果的正确性,只有计算结果正确,才能得到正确的结论.
20.(1)设椭圆C的焦距为2c,则c=1,
因为A(1,)在椭圆C上,所以2a=|AF1|+|AF2|=2,
因此a=,b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)不存在满足条件的直线,证明如下:设直线的方程为y=2x+t,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,),Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),
由消去x,得9y2-2ty+t2-8=0,
所以y1+y2=,且Δ=4t2-36(t2-8)>0,
故y0==,且-3<t<3.
由=得(x1-x3,y1-)=(x4-x2,y4-y2),
所以有y1-=y4-y2,y4=y1+y2-=t-.
(也可由=知四边形PMQN为平行四边形,而D为线段MN的中点,因此,D也为线段PQ 的中点,所以y0==,可得y4=)
又-3<t<3,所以-<y4<-1,
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[-1,1]矛盾.
因此不存在满足条件的直线.
【解析】本题主要考查椭圆方程的确定,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等知识,探究存在性问题,意在考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合思想,考查考生思维的灵活性、逻辑推理能力、运算求解能力、综合运用数学知识解决问题的能力.
【备注】(1)设椭圆C的焦距为2c,则c=1,
因为A(1,)在椭圆C上,所以2a=|AF1|+|AF2|=2,
因此a=,b2=a2-c2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)不存在满足条件的直线,证明如下:设直线的方程为y=2x+t,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,),Q(x4,y4),MN的中点为D(x0,y0),
由消去x,得9y2-2ty+t2-8=0,
所以y1+y2=,且Δ=4t2-36(t2-8)>0,
故y0==,且-3<t<3.
由=得(x1-x3,y1-)=(x4-x2,y4-y2),
所以有y1-=y4-y2,y4=y1+y2-=t-.
(也可由=知四边形PMQN为平行四边形,而D为线段MN的中点,因此,D也为线段PQ 的中点,所以y0==,可得y4=)
又-3<t<3,所以-<y4<-1,
与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[-1,1]矛盾.
因此不存在满足条件的直线.
21.(1)当时,,
,∴,即在处的切线方程为.
(2)∵,当
时,在上恒成立,∴在上单调递增;
当时,令,解得,
令,解得,∴在单调递增,在单调递减.
(3)∵没有零点,
即无解,∴与两图象无交点,
设两图象相切于两点,∴,∴,
∵两图象无交点,
∴.
【解析】本题主要是考查导数的几何意义，利用导数研究函数.
(1)利用导数求出斜率，再根据点斜式写出方程；
(2),通过讨论的取
值范围，确定导数的符号.
(3)没有零点, 即无解,即与两图象
无交点，通过研究两函数图像相切时的情况得出结论.
【备注】无
22.(1)由ρ=4sin θ得,ρ2=4ρsin θ,
即曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=0.
由θ=(ρ∈R)得,y=x,所以曲线C2的直角坐标方程为y=x.
(2)把y=x代入x2+y2-4y=0,得x2+x2-x=0,
即x2-x=0,解得x1=0,x2=,所以y1=0,y2=1,
故|MN|==2.
【解析】本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程,解题时若直接在极坐标系下进行求解会感觉困难,所以在解题过程中常常将问题转化为在直角坐标系下进行求解.
【备注】无
23.(1)因为，
所以当时，由得；
当时，由得；
当时，由得.
综上，的解集为.
(2)(方法一)由得，
因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.
所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
(方法二)设，则，
当时，取得最小值，
所以当时，取得最小值，
故时，即的取值范围为.
【解析】无
【备注】无。