专题8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系(教学案)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

【2014考纲解读】
1.了解可以作为推理依据的公理和定理．
2.理解空间直线、平面位置关系的定义．
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【重点知识梳理】 一、平面的基本性质 名称
图示
文字表示 符号表示
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内,
那么这条直线在此平面内
A ∈l ,
B ∈l ,且A ∈α,B ∈α⇒l ⊂α
公理2
过不在一条直线
上的三点,有且只有一个平面
公理3
如果两个不重合
的平面有一个公共点,
那么它们有且只有一
条过该点的公共直线
P ∈α,且P ∈
β⇒α∩β＝l ,且P ∈
l
二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类
⎩⎨
⎧
共面直线⎩⎪⎨
⎪⎧
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.
2．平行公理
平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角(或夹角)
(1)定义：设a ,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ,b ′∥b ,把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．
(2)范围：⎝
⎛⎦⎥⎤0，π2.
三、直线与平面的位置关系
位置关系
图示
符号表示
公共点个数
直线l 在平面α内
l ⊂α 无数个
直线l 与平面α相交
l ∩α
＝A
一个
直线l 与平面α平行
l ∥α 0个
四、平面与平面的位置关系
位置关系 图示
符号
表示
公共点个数
两个平面平行
α∥
β
0个
两个平面相交
α∩
β＝l 无数个(这些公共点均在交线
l 上)
【方法技巧】
1.三个公理的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(2)公理2的作用：确定平面的依据,它提供了把空间问题转化为平面问题的条件． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线． 2．异面直线的有关问题
(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线,如图．
(2)所成的角的求法：平移法．
【随堂训练】
1．若a,b,c,d是空间四条直线．如果“a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d”,则( )
A．a∥b且c∥d
B．a,b,c,d中任意两条可能都不平行
C．a∥b
D．a与b,c与d中至少有一对直线互相平行
2．l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D．l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
3.设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形,用平面α去截此四棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面α( )
A ．不存在
B ．只有1个
C ．恰有4个
D ．有无数多个
4．在正四棱锥V －ABCD 中,底面正方形ABCD 的边长为1,侧棱长为2,则异面直线VA 与BD 所成角的大小为( )
A.π
6 B.π4 C.π
3
D.π2
5.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段AB ,CD ,EF ,GH 在原正方体中互为异面的对数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选C AB ,CD ,EF 和GH 在原正方体中如图所示,显然AB 与CD ,EF 与GH ,AB 与GH 都是异面直线,而AB 与EF 相交,CD 与GH 相交,CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有三对．
6．(2012·重庆高考)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a,且长为a的棱与长为2的棱异面,则a的取值范围是( )
A．(0,2) B．(0,3)
C．(1,2) D．(1,3)
【高频考点突破】
考点一平面的基本性质
例1、如图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E,F,G,H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P,
求证：P,A,C三点共线．
【感悟提高】
(1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明,即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面,再证第四个点也在这个平面内即可．
(2)要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用公理3,即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在直线上.
【变式探究】如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3.求证：EF,GH,BD交于一点．
证明：如图,连接GE,FH.
因为E,G分别为BC,AB的中点,
所以GE∥AC.
又因为DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3,
所以FH∥AC.
考点二空间两直线的位置关系
例2、已知空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边BC,CD上的中点．
(1)求证：BC与AD是异面直线；
(2)求证：EG与FH相交．
(2)如图,连接AC,BD,则EF∥AC,HG∥AC,∴EF∥HG.
同理,EH∥FG,则EFGH为平行四边形．
又EG,FH是▱EFGH的对角线,
∴EG与HF相交．
【题后感悟】空间中直线位置关系的判定,主要是异面和垂直的判定．对于异面直线,可采用定理或反证法,对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质说明．
【变式探究】如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,故①②错误．
答案：③④
考点三异面直线所成的角
例3、(2012·高考上海卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,E是PC 的中点．已知AB＝2,AD＝22,P A＝2.求：
(1)三角形PCD的面积；
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．
【题后感悟】
(1)平移法求异面直线所成角的方法：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
(2)求异面直线所成角的步骤：
①作：通过作平行线,得到相交直线；
②证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；
③求：通过解三角形,求出该角．
【变式探究】如图是一正方体ABCDA1B1C1D1,
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小．【解析】
(2)如图,连接BD,∵AC∥A1C1,
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线,∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥AC,
即所求角的大小为90°.
【感悟提升】
1．平面基本性质的作用
(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．
(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．
2．异面直线的判定方法
(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面．
【经典考题精析】
（2013·安徽卷）在下列命题中,不是公理的是()
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
【解析】选项B、C、D中的都是公理,都是平面的三个基本性质．
（2013·新课标全国卷Ⅱ）已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线l满足l⊥m,l⊥n,lα,lβ,则()
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交,且交线垂直于l
D．α与β相交,且交线平行于l
（2013·重庆卷）如图1－7所示,四棱锥P －ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,BC ＝CD ＝2,AC ＝4,∠ACB ＝∠ACD ＝π
3
,F 为PC 的中点,AF ⊥PB.
图1－7 (1)求PA 的长；
(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．
(2)由(1)知AD →＝(－3,3,0),AB →＝(3,3,0),AF →
＝(0,2,3)．设平面FAD 的法向量为n 1＝(x 1,y 1,z 1),平面FAB 的法向量为n 2＝(x 2,y 2,z 2)．
【当堂巩固】
1．若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的
()
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件
答案 A
解析若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行．若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点．
2．下列命题正确的个数为()
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确；
两条平行线可以确定一个平面,∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确；
命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确．
3．设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b＝P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β＝b,P∈α,P∈β⇒P∈b
A．①②B．②③C．①④D．③④
4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为()
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析有2条：A1B和A1C1.
5. 如图,α∩β＝l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l＝M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()
A．点A
B．点B
C．点C但不过点M
D．点C和点M
6．已知空间中有三条线段AB、BC和CD,且∠ABC＝∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是() A．AB∥CD
B．AB与CD异面
C．AB与CD相交
D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交
答案 D
解析若三条线段共面,如果AB、BC、CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB 与CD平行；若不共面,则直线AB与CD是异面直线,故选D.
7．以下四个命题中
①不共面的四点中,其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是()
A．0 B．1 C．2 D．3
8．平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面．答案1或4
解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面；否则确定四个平面．
9．下列命题中不正确的是________．(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行；
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面．
10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．
答案2 3
解析取A1B1的中点F,连接EF,AF. ∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中, EF∥B1C1,B1C1∥BC,
∴EF∥BC,∴∠AEF即为异面直线AE与BC所成的角．
11．如图所示,四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形,∠BAD ＝∠F AB ＝90°,BC 綊12AD ,BE 綊1
2F A ,G 、
H 分别为F A 、FD 的中点．
(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？
∴M 与M ′重合,即FE 与DC 交于点M (M ′),∴C 、D 、F 、E 四点共面．。