高三数学高考三角问题的题型与方法知识点分析全国通用

三角问题的题型与方法
一、.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2
θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2
x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
β
α+－
2
β
α-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=
a
b
确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan
2
θ
的有理式。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、注意事项
对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目类型多样，变化似乎复杂，处理这类问题，注意以下几个方面：
1．三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值．
2．三角变换的一般思维与常用方法．
注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如
αα
ββαββαα22
1
22)()(⨯=
⨯
=+-=-+=．也要注意题目中所给的各角之间的关系． 注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等． 熟悉常数“1”的各种三角代换：
6
sin
24
tan
0cos 2
sin
sec cos tan sec cos sin 12222π
π
π
ααβαβα====⋅=-=+=等．
注意万能公式的利弊：它可将各三角函数都化为2
tan θ
的代数式，把三角式转化为代数
式．但往往代数运算比较繁．
熟悉公式的各种变形及公式的X 围，如
sin α = tan α· cos α，2cos 2cos 12
α
α=+，
2
tan sin cos 1α
αα=-等．
利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理，如
2sin
2cos 12
α
α=-，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，2
2cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=-αα
α等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．
3．几个重要的三角变换：
sin α cos α可凑倍角公式； 1±cos α可用升次公式；
1±sin α 可化为⎪⎭
⎫
⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式；
()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a （其中 a
b
=
ϕtan ）这一公式应用广泛，熟练掌握．
4. 单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x 、y = cos x 、y = tan x 、y =cot x 的图象都是“平移”单位圆中的三角函数线得到的，因此应熟练掌握三角函数线并能应用它解决一些相关问题．
5. 三角函数的图象的掌握体现在：把握图象的主要特征（顶点、零点、中心、对称轴、单调性、渐近线等）；应当熟练掌握用“五点法”作图的基本原理以及快速、准确地作图．
6.三角函数的奇偶性
“函数y = sin(x ＋φ) （φ∈R ）不可能是偶函数”．是否正确．
分析：当2
π
ϕ=
时，x x y cos 2sin =⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=π，这个函数显然是偶函数．因此，这个判断是错误的．我们容易得到如下结论：
① 函数y = sin(x ＋φ)是奇函数πϕk =⇔()Z ∈k ．
② 函数y = sin(x ＋φ)是偶函数()Z ∈+=⇔k k 2
π
πϕ．
③ 函数y =cos (x ＋φ)是奇函数()Z ∈+=⇔k k 2
π
πϕ． ④函数y = cos(x ＋φ)是偶函数()Z ∈=⇔k k πϕ．
7.三角函数的单调性
“正切函数f (x )= tan x ，2
π
π+
≠k x ()Z ∈k 是定义域上的增函数”，是否正确．
分析：我们按照函数单调性的定义来检验一下：
任取⎪⎭⎫ ⎝⎛∈201π，x ，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππ，
22x ，显然x 1＜x 2，但f (x 1)＞0＞f (x 2 )，与增函数的定义相违背，因此这种说法是不正确的．
观察图象可知：在每一个区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-
22
πππ
πk k ，()Z ∈k 上，f (x ) = tan x 都是
增函数，但不能说f (x ) = tan x 在其定义域上是增函数． 练习：
1．已知x ∈(2π-
,0),cosx=54
,则tan2x = ------------------------------( ) A. 247 B. 247- C. 724 D.7
24-
2．在∆ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2
tan 2tan 32tan 2tan C
A C A ⋅++的值.
3．已知函数x x x x x f 4
4
sin cos sin 2cos )(--=
（1） 求f(x)的最小正周期;
（2） 若x ∈[0,
2
π
],求f(x)的最大值，最小值. 4、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值X 围为-----------------（ ）
（A ）)45,
()2,4(ππππ⋃（B ）),4(ππ（C ）)45,4(ππ（D ）)2
3,45(),4(π
πππ⋃ 5、函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是----------------------（ ）
6、已知)(x f 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，那么不等式0cos )(<x x f 的解集是---------------------------------------------------（ ）
(A) )3,
2
()1,0()2,3(π
π
⋃⋃--(B) )3,2
()1,0()1,2(π
π⋃⋃--
(C) )3,1()1,0()1,3(⋃⋃--(D) )3,1()1,0(2
,3(⋃⋃-
-π
7、已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ）
A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β
B.若α、β是第二象限，则tan α>tan β
C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos β
D.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β 8、下列命题中正确的是（ ）
A.y=tanx 是增函数
B.y=sinx 在第一象限是增函数
C.y=
2
π
－arccosx 是奇函数 D.y=sinx 的反函数是y=arcsinx 9、函数y=sin(2x+3π
)的图象是由函数y=sin2x 的图像（ ）
A.向左平移3π单位
B.向右平移6π
单位
C.向左平移65π单位
D.向右平移6
5π
单位
10、要得到函数⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-
=42cos 3πx y 的图象，可以将函数y = 3 sin2 x 的图象( ) A.沿x 轴向左平移
8π单位 B.沿x 轴向右平移8π
单位 C.沿x 轴向左平移4π单位 D.沿x 轴向右平移4
π
单位
11、图04是函数y =2sin (ωx ＋φ)（02
><ωπ
ϕ，）
的图象．则ω、φ的值是（ ） A ．1110=
ω，6πϕ= B ．1110=ω，6
π
ϕ-= C ．2=ω，6
π
ϕ=
D ．2=ω，6
π
ϕ-
=
12、△ABC 中，若∠A ，∠B ，∠C 顺序成等差数列，则cos 2A+cos 2C 的取值X 围是______．
13、51cos sin =
+x x ，⎪⎭⎫
⎝⎛-∈236
ππ，x ，求tan x 的值．
14、（1）已知sin(4π+α)·sin(4π－α)=61,α∈(2
π
,π)，求sin4α；
（2）已知 cos(x+4π)=53,4
5
π<x<47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

15、某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？
16、△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 顺序成等差数列，且∠A-∠C=120°，求sinA ，sinC ．
17、如图03，三棱锥P -ABC 的底面ABC 为等腰三角形，AB = AC = a ，侧棱长均为2a ，问BC 为何值时，三棱锥P -ABC 的体积V 最大，最大值是多少？
18、已知⊙O 的半径为R ，，在它的内接三角形ABC 中，有
(
)()
B b a
C A R sin 2sin sin 222-=-
成立，求△ABC 面积S 的最大值．
八、参考答案
1. D
2. 成等差数列、、C B A ， ，
，
，00
602
C
A 120C A 60
B =+=+=∴ 2
C tan
2A tan 12C tan
2A tan
)2
C 2A tan(-+=
+由 得 2C tan 2A tan )2C tan 2A tan 13+=-（， 32
C
tan 2A tan 32C tan 2A tan =++∴.
3. )4
x 2cos(2x 2sin x 2cos x 2sin )x sin x )(cos x sin x (cos )x (f 2
2
2
2
π
+=
-=--+=， （1）π=T ；
(2) ]2,0[x π∈， ∴]45,4[4x 2ππ∈π+ ， ]1,2[)4
x 2cos(2-∈π
+∴， 1)x (f max = ， 此时 0x = ， 2)x (f min -= ， 此时 8
3x π
= .
4. C
5.C
6.B.7、当α，β∈（0，2
π
）时，由sin α>sin β得α>β，此时cos α
<cos β；当α,β∈(2
π
,π)时，由sin α>sin β得,α<β，此时tan α<tan β;当α，β∈
（π，2
3π）时，由sin α>sin β得，α<β，此时cos α<cos β；而对于α，β是第四象限
角，由sin α>sin β⇒sin 2α<sin 2β⇒1－cos 2α<1－cos 2β⇒cos 2α>cos 2
β
⇒α2cos 1<β
2cos 1⇒tan 2α<tan 2
β∵tan α<0,tan β<0⇒tan α>tan β。

故答案选D 。

8、y=tanx 在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx 在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx 只是y=sinx ，
x ∈[－
2π,2π]的反函数；令f(x)= 2π－arccosx,则f(－x)= 2
π
－ arccos(－x)=arccosx －2π= －f(x)所以y=2
π
－arccosx 是奇函数。

故答案选C 。

9、y=sin2x 图像向左平移3π单位后得:y=sin2(x+3
π
)=sin(2x+32π);y=sin2x 图像，向右平
移`6π 单位后得y=sin2(x －`6π)=sin(2x －`
3π
);y=sin2x 图象向左平移`65π单位后得：y=sin2(x+`65π)=sin(2x+35π)=sin(2x －3π
);y=sin2x 图像向右平移`65π单位后得：
y=sin2(x －`65π)=sin(2x －35π)=sin(2x+3
π
)，故答案选D 。

10、分析：我们知道，当a ＞0时，把函数y = f (x )的图象沿x 轴向右移a 个单位，便得
到函数y = f (x －a ) 的图象，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移a 个单位，便得到函数
y = f (x ＋a ) 的图象．本题中⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=42cos 3πx y 与y = 3 sin 2x 的对应法则不同，应当把它们变为“y = f (x )与y = f (x ＋a )”的形式后，再讨论平移关系．因为我们关心的是对函数
y = 3 sin 2x 的图象平移，所以要把⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=42cos 3πx y 变形，变到y = 3 sin (2x ＋φ)的形式．
由正弦曲线和余弦曲线的关系，不难看出，把余弦曲线沿x 轴向右平移2
π
，就得到正弦曲线，即是x x sin 2cos =⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
π（这与诱导公式的结论是一致的）
．利用这个关系，可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-242cos 342cos 3πππx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 3πx ．
问题成为：把函数y = 3 sin 2x 的图象沿x 轴进行怎样的平移，可以得到函数
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=42sin 3πx y 的图象？如果y = 3 sin 2x = f (x )，那么
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=42sin 3πx y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=82sin 3πx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=8πx f ．可见，把函数y = 3 sin 2x 的图象
向左移8π个单位后，可得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin 3πx y 的图象，即得到函数⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-=42cos 3πx y 的图象．因此选A ．
说明：这个题目有两点值得注意：一是函数y = f (x )的图象与函数y = f (x ＋a )的图象的平移关系（平移方向，平移量）；二是对法则“f ”的理解．只有把两个函数整理成f (x )与f (x ＋a )的形式后，才可讨论它们沿x 轴的平移问题．例如“把函数y = － tan x 的图
象沿x 轴进行怎样的平移，就可得到函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 3tan π的图象”的问题．就应该考虑y =－tan x 与⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3tan πx y 这两个函数．它们是y = f (x )与⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=3πx f y 的关系．可
见，只要把函数y =－tan x 的图象沿x 轴右移3π个单位，就能得到函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y 3tan π的
图象．
11、分析：图04给我们提供的“信息”是：
（1）点 (0，1 )、⎪⎭
⎫
⎝⎛01211，π在图象上； （2）函数的最小正周期12
11π
>=AB T ．
可见：⎪
⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎨⎧
>=⎪⎭⎫
⎝⎛+=.1211201211sin 21sin 2π
ω
πϕωπϕ，，
∵2
π
ϕ≤
，由2sin φ = 1得 6
π
ϕ=
，
由 012211sin 61211sin =⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωππωπ，得 ()Z ∈=+k k ππωπ12211
∴，112
12-=
k ω()Z ∈k ． 由 12112πωπ>
，得 1124<ω．满足11240<<ω时，k = 1或k = 2．由此得到11
101=ω，22=ω．分析到这里，只否定了B 、D ．为选出正确答案，关键在于确定11
10
=ω及2
2=ω中哪个符合题意．为此，还要仔细地从图04中“挖掘”出有用的“信息”．
注意到
12112π<
=BC T ，即1211πωπ<，因此1112>ω．这样就排除了11
10
=ω． 根据以上分析知，应选C ．
说明：因为函数y = A sin (ωx ＋φ)是周期函数，所以仅靠图像上的三个点，不能完
全确定A 、ω、φ的值．本题虽然给出了ω＞0，2π
ϕ<
的条件，但是仅靠(0，1 )、⎪⎭
⎫
⎝⎛01211，π，
两点，能完全确定ω、φ的值．在确定ω的过程中，比较隐蔽的条件T T <<12
112π（ωπ
2=
T ）起了重要作用．
12、分析：因为∠A ，∠B ，∠C 顺序成等差数列，所以2B=∠A+∠C ，
∠B=60°，∠A+∠C=120°．对cos 2A+cos 2C 用降幂变形，得
13、分析与解：⎪⎭⎫
⎝⎛-∈236
ππ，x 跨越了四个象限，如果角x 真能落在各象限内，那么tan x
值的符号就有正有负．为便于求出tan x 的值，不妨先“审查”一下角x 的实际X 围．
根据正弦曲线和余弦曲线；当23ππ<
<x 时，sin x ＜0，cos x ＜0，与5
1
cos sin =+x x 矛盾．可见，角x 的终边不在第三象限．
当角x 在第一象限时，sin x ＞0，cos x ＞0，这时有
()1cos sin 21cos sin cos sin 2
≥⋅+=+=
+x x x x x x ，又与5
1
cos sin =
+x x 矛盾．可 见角x 的终边不会位于⎪⎭
⎫
⎝
⎛20π，． 如果06
≤<-
x π
．由余弦曲线知：
1cos 2
3
≤<x ，
由正弦曲线知：0sin 2
1
≤<-
x ，这时 1cos sin 21351≤+<-<
x x ， 可见 ⎥⎦
⎤
⎝⎛-∉06，πx ． 如果ππ
≤≤-x 4
3，由正弦曲线及余弦曲线知22sin 0≤
≤x ，22cos 1-≤≤-x ，这时510cos sin <≤+x x ，可见⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡∉ππ，43x ．根据以上分析可以看出：满足51cos sin =+x x 的角⎪⎭
⎫
⎝⎛∉432ππ，x ，根据正切曲线知tan x ＜－1．由 51cos sin =+x x ，
等式两端平方得：25
1cos sin 2cos sin 2
2=⋅++x x x x
即：()
25
11tan 2tan cos 2
2=++x x x ，251tan 11tan 2tan 22=+++x x x ， 整理得：12tan 2
x ＋25 tan x ＋12 = 0．解之得：43tan -=x 或3
4tan -=x ．
注意到 tan x ＜－1∴3
4
tan -=x ．
说明：有些三角函数的题目，为了考查学生对“某区间上任意值”与“某区间上特殊值”的区分能力，常把已知条件中的区间给“大”．这时往往先要进行“缩小”区间的工作． 14、解 （1）∵α+
4π+4π－α=2π∴sin(4π－α)=cos(4
π
+α) ∴sin(4π+α)·sin(4π－α)=sin(4π+α)·cos(4π+α)=21sin(2
π
+2α)= 21cos2α=
6
1
又∵π<2α<2π,cos2α=3
1
,∴sin2α= －322∴sin4α=2sin2α·cos2α= －924
本题也可以这样解：
sin(
4π+α)·sin(4
π－α)=（22sin α+22cos α）(22cos α－22sin α)= 21cos
2
α－21sin 2
α=21cos2α=6
1
也可以用积化和差公式：
sin(
4π+α)·sin(4π－α)= 21 (cos2α－cos 2π
)= 21cos2α=61
（2）法一:由x+4π∈(23π,2π)知sin(x+4
π
)= －54
∴cosx=cos(x+4π－4π)=cos(x+4π)·cos 4π+sin(x+4π)·sin 4π=
10
3
2－1042= －10
2
由cosx<0可知，
45π<x<23π，于是sinx= －
107
2,tan α=7 ∴原式=71)2107(2)2107()102(22
--⋅+-⋅-⋅= －75
28
法二：原式=x
x x x x sin cos )
sin (cos cos sin 2-+α=
)
4
cos(2)
4sin(22sin π
π
+
+
⋅x x x
=－cos(2x+
2π)tan(x+4π)=[1－2cos 2
(x+4π)]tan(x+4
π) 而cos(x+4π)=53,tan(x+4
π
)= －34，代入得：原式= －7528
注 三角函数求值，重视与角的关系，如4π+x 与4
π
－x 互余（广义）,2α=α+β+α－
β等。

15、解：根据题意得图02，
其中BC =31千米，BD =20千米，CD =21千米， ∠CAB=60˚．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：
71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，7
3
4cos 1sin 2=
-=ββ． ()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α()β+︒-︒-︒=18060180sin ()14
3
523712173460sin cos 60cos sin 60sin =
⨯+⨯=
︒-︒=︒-=βββ． 在△ACD 中，由正弦定理得：
15143
52
3
21143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=
αA CD AD ．此人还得走15千米到达A 城． 说明：运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
16、解：因为2b=a+c ，由正弦定理得
17、分析：因为三棱锥的三条侧棱长均相等，因此顶点P 在底面上的射影O 是△ABC 的外心，从而想到用正弦定理，再利用三角函数来求最值．
解：作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ．
由PA = PB = PC = 2a ，知O 为△ABC 的外心． ∵AB = AC = a ，
∴O 落在底面ABC 的高AD 上． 设∠ABC = θ，连结BO ， 则BO 为△ABC 外接圆的半径．
记BO = R ，由正弦定理，有θ
sin 2a
R =
，
θ
θ2
22
2
sin 1
sin 1621-=-=a BO PB PO ∵BD = a cos θ，AD=a sin
θθcos sin 2
1
2a AD BC S ABC =⋅=∆．
θ
θθθ222sin 1sin 1621cos sin 31-⋅⋅=a
a V ()()
θθ22
3sin 11sin
166
1
--=a
642253217sin 16612
23+
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=θa ∴当3217sin 2=θ时，3max 165a V =． 此时，a a a BD BC 4
3
sin 12cos 222=-===θθ． 18、解：由已知条件得
()()
(
)
b a B
R B A R -=-2sin 2sin sin
222
2
．即有 2222b ab c a -=-，
又 22
2cos 222=
-+=ab c b a C ∴4
π
=c ．∴B A R ab C ab S sin sin 44242sin 212⋅===
()()[]B A B A R --+-=cos cos 222
()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-+=B
A R cos 22222 ．
所以当A = B 时，2
max 2
12R S +=
．。