微积分凑微分法例题

微积分凑微分法例题
微积分是数学中的一门重要分支，它主要研究函数的变化规律。

其中，凑微分法是求微分的常用方法之一。

下面，我们来看几个凑微分法的例题。

例题一：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 的导数。

解：首先，我们将 f(x) 中的每一项分别求导。

d/dx (x^3) = 3x^2
d/dx (2x^2) = 4x
然后，我们将两项相加得到 f(x) 的导数。

f '(x) = 3x^2 + 4x
例题二：求函数 g(x) = (x^2 + 2x)^3 的导数。

解：我们可以使用凑微分法，将 g(x) 展开后再求导。

g(x) = (x^2 + 2x)^3
= (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x)
= (x^4 + 4x^3 + 4x^2) * (x^2 + 2x)
= x^6 + 6x^5 + 16x^4 + 16x^3
接下来，我们可以将每一项分别求导。

d/dx (x^6) = 6x^5
d/dx (6x^5) = 30x^4
d/dx (16x^4) = 64x^3
d/dx (16x^3) = 48x^2
最后，将所有项相加，得到 g(x) 的导数。

g '(x) = 6x^5 + 30x^4 + 64x^3 + 48x^2
例题三：求函数 h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3 的导数。

解：我们可以使用凑微分法，将 h(x) 展开后再求导。

h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3
= (4x^2 + 4x + 1) * (27x^6 - 27x^4 + 9x^2 - 1) ^3
= 108x^14 + 54x^13 - 108x^12 - 54x^11 + 388x^10 - 270x^8 - 388x^6 + 270x^4
接下来，我们将每一项分别求导。

d/dx (108x^14) = 1512x^13
d/dx (54x^13) = 702x^12
d/dx (-108x^12) = -1296x^11
d/dx (-54x^11) = -594x^10
d/dx (388x^10) = 3880x^9
d/dx (-270x^8) = -2160x^7
d/dx (-388x^6) = -2328x^5
d/dx (270x^4) = 1080x^3
最后，将所有项相加，得到 h(x) 的导数。