广西桂林十八中高二数学下学期期中考数学试卷 文

高中数学期中考试试题
桂林十八中09级高二下学期期中考试试卷数学（文科）
注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间： 120
分钟 。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答 案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答 案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答 案无效；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新的答 案。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答 案） 1.如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.平行或是异面直线
2.6
(x 的展开式中常数项是 A.360 B.30 C.20 D.15 3.下列命题中正确的是
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条
C.若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
D.一条直线至多与两条异面直线中的一条相交
4.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 A.15 B.20 C.25 D.30
5.已知直线m ⊂平面α，则“平面//α平面β”是“//m β”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.4名男同学和3名女同学排成一排照相，且女同学互不相邻，不同排法的种数为
A.43
45A A ⋅
B.43
45C C ⋅
C.43
45A C ⋅
D.735
735A A A -⋅
7.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1AB 与1BC 所成的角为 A.0
30 B.0
45 C.060
D.090
8.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为5的概率是 A.
19
B.
16
C.
112
D.
536
9.设6
6016(1),x a a x a x +=+++则126a a a ++
+=
A ．63-
B ．64-
C ．63
D ．64
10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论： ①他第3次射击时,首次击中目标的概率是2
0.10.9⨯； ②他第3次射击时,首次击中目标的概率是1
2
30.90.1C ⨯； ③他恰好击中目标3次的概率是3
0.90.1⨯；
④他恰好击中目标3次的概率是33
40.90.1C ⨯.
其中正确的是 A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
11.设棱锥S ABCD -的底面是正方形，且,SA SD SA AB =⊥,ASD ∆的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为
A.2
1
C.12
-
D.1 12.受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在5个候选城市中建4个直销店，且在同一个城市建直销店的个数不超过2个，则该企业建直销店的方案种数为 A.45 B.55 C.85 D.500
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 13.曲线2
1y x =+在点()1,2P 处的切线方程为 .
14.将甲、乙等4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则甲、乙恰好分配到同一学校的方案种数是 . (结果用数字表示) 15.若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为 .
高中数学期中考试试题
16．给出下列命题：
①设P 在ABC ∆的内部，且3AP AB AC =+, 则3BP BA BC =+； ②函数tan y x =的图象关于点(,0)2
π
-对称；
③设12310,,,
,x x x x N ∈，且()12310,,,,x x x x 是方程1231023x x x x +++
+=的一个非负整
数解，则这样的非负整数解共有174个；
④函数222sin()3463cos x x x
y x x
π
+++=+的最大值与最小值之和为32． 其中正确的命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)
三、解答题（本题包括6小题，共70分） 17.（本题满分10分）同时掷四枚均匀的硬币. （1）求恰有一枚“正面向上”的概率； （2）求至少有两枚“正面向上”的概率.
18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,3,3
a c B π
===.（1）求b 的值；
（2）求ABC ∆的面积S .
19．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=,
PA ⊥底面ABCD ，且1
12
AD CD AB ===，M 是PB 的中点.
（1）求证：直线//CM 平面PAD ；
（2）若直线CM 与平面ABCD 所成的角为4
π
，求二面角A MC B --的大小.
20.（本题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为
2
3
，科目B 每次考试成绩合格的概率均为
1
2
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他参加3次考试的概率.
21.（本题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：252,16a a ==.
（1）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；
（2）令()21n n b n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22.（本题满分12分）已知过曲线C 上任意一点P 作直线2x p =-()0p >的垂线，垂足为M ,
且OP OM ⊥.
（1）求曲线C 的方程；
（2）设A B ,是曲线C 上两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且 αβ+ 为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
高中数学期中考试试题
桂林十八中09级高二下学期期中考试试卷
数 学（文科）
命题人：张志生 审题人：周艳梅
注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。

考试时间： 120
分钟 。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答 案用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答 案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答 案；不能答在试题卷上。

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答 案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答 案无效；如需改动，先划掉原来的答 案，然后再写上新的答 案。

第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答 案） 1.如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b D
A.共面
B.平行
C.是异面直线
D.平行或是异面直线
2.6
(x 的展开式中常数项是D
A.360
B.30
C.20
D.15 3.下列命题中正确的是B
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则它垂直于另一条
C.若一条直线与两条平行线中的一条相交，则它与另一条相交
D.一条直线至多与两条异面直线中的一条相交
4.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为B A.15 B.20 C.25 D.30
5.已知直线m ⊂平面α，则“平面//α平面β”是“//m β”的B
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
6.4名男同学和3名女同学排成一排照相，且女同学互不相邻，不同排法的种数为A
A.43
45A A ⋅
B.43
45C C ⋅
C.43
45A C ⋅
D.735
735A A A -⋅
7.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1AB 与1BC 所成的角为C
A.030
B.045
C.060
D.0
90
8.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具）先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和为5的概率是A A.
19
B.
16
C.
112
D.
536
9.设6
6016(1),x a a x a x +=+++则126a a a +++=C
A ．63-
B ．64-
C ．63
D ．64
10.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间 没有影响.有下列结论：
①他第3次射击时,首次击中目标的概率是2
0.10.9⨯； ②他第3次射击时,首次击中目标的概率是1
2
30.90.1C ⨯； ③他恰好击中目标3次的概率是3
0.90.1⨯；
④他恰好击中目标3次的概率是33
40.90.1C ⨯.
其中正确的是C A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
11.设棱锥S ABCD -的底面是正方形，且,SA SD SA AB =⊥,ASD ∆的面积为1，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为B
A.2
1
C.12
-
D.1 12.受世界金融危机的影响，某出口企业为打开国内市场，计划在5个候选城市中建4个直销店， 且在同一个城市建直销店的个数不超过2个，则该企业建直销店的方案种数为A A.45 B.55 C.85 D.500
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分） 13.曲线2
1y x =+在点()1,2P 处的切线方程为 . 13.2y x =
高中数学期中考试试题
14.将甲、乙等4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1
名，则甲、乙恰好分配到同一学校的方案种数是 . (结果用数字表示) 14.6
15.若正三棱柱111ABC A B C -的棱长均相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正切值为 .
15.5
16．给出下列命题：
①设P 在ABC ∆的内部，且3AP AB AC =+, 则3BP BA BC =+； ②函数tan y x =的图象关于点(,0)2
π
-对称；
③设12310,,,
,x x x x N ∈，且()12310,,,,x x x x 是方程1231023x x x x +++
+=的一个非负整
数解，则这样的非负整数解共有174个；
④函数222sin()3463cos x x x
y x x
π+++=+的最大值与最小值之和为32． 其中正确的命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号) 16. ①②③
三、解答题（本题包括6小题，共70分） 17.（本题满分10分）同时掷四枚均匀的硬币. （1）求恰有一枚“正面向上”的概率； （2）求至少有两枚“正面向上”的概率.
17.解：（1）恰有一枚“正面向上”的概率41
()164
P A ==
6分 （2）至少有两枚“正面向上”的概率64111()16161616
P C =
++=12分
18．（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,3,3
a c B π
===.（1）求b 的值；
（2）求ABC ∆的面积S .18.解：（1）
2,3,
3
a c B π
===
，由余弦定理可得
2222cos 7b a
c ac B =+-= 6分
∴b =8分
（2）1sin 2S ac B ==
12分
19．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB CD ，90DAB ∠=,
PA ⊥底面ABCD ，且1
12
AD CD AB ==
=，M 是PB 的中点. （1）求证：直线//CM 平面PAD ； （2）若直线CM 与平面ABCD 所成的角为
4
π
，求二面角A MC B --的大小. 19.解：方法一：（1）证明：取AB 的中点N ， 则1
//2
MN PA ，故//MN 平面PAD
又四边形ADCN 正方形，∴//CN AD ，故//CN 平面PAD
∴平面//CMN 平面PAD , ∴//CM 平面PAD 4分
（2）解：由PA ⊥底面ABCD ，得MN ⊥底面ABCD 则CM 与平面ABCD 所成的角为4
MCN π
∠=
∴2222PA MN CN AD ====,
7分
∴AMC ∆和BMC ∆正三角形,取CM
的中点G ，则AG CM ⊥，且 BG CM ⊥ ∴AGB ∠为二面角A MC B --的平面角
9分
在AGB ∆中 2
AG BG ==
，2AB =， ∴222
cos 2AG BG AB AGB AG BG +-∠=⋅10分
1
3
=-11分 ∴二面角A MC B --的大小为1
arccos
3
π-12分
方法二：（１）设()2,0PA a a =>，因为PA AD ⊥，PA AB ⊥，AB AD ⊥， ∴以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，
1分
取PA 的中点E ，
则各点坐标为：()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C ，()1,0,0D ，()0,1,M a ，()0,0,E a ∴()1,0,CM a =-，()1,0,DE a =-，∴CM DE =，∴//CM DE ，3分
∴//CM 平面PAD
4分
（２）由PA ⊥底面ABCD 及//CM DE ，得CM 与平面ABCD 所成角的大小为4
EDA π
∠=
高中数学期中考试试题
∴222PA AE AD ===,
7分
∴1a =,()0,1,1M ，()0,0,1E ，()1,0,1CM =-
取CM 的中点G ， 则因11,1,22G ⎛⎫
⎪⎝⎭
，1111,1,,,1,,2222AG BG ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴0,0CM AG CM BG ⋅=⋅=
则AG CM ⊥，且 BG CM ⊥,∴AGB ∠为二面角A MC B --的平面角9分
∵cos ,||||
GA GB
GA GB GA GB ⋅<>=
⋅
10分
13
=-
11分
∴二面角A MC B --的大小为1
arccos
3
π-12分 附:1.求出2PA =得3分;2.求法向量时公式1分,全对共2分;3.参照以上解法给分.
20.（本题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3
，科目B 每次考试成绩合格的概率均为
1
2
.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他参加3次考试的概率. 20.解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A ，“科目A 补考合格”为事件A 2；
“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B 2.
1分
(1)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，
则1111()()()P A B P A P B ⋅=⨯.
4分
211323
=⨯=6分
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13
. (2)设“他参加3次考试”为C 事件，则
112112122()()()()
P C P A B B P A B B P A A B =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅9分
2112111211114
,3223223326699
=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=11分
答：他参加3次考试的概率为4
9
12分
21.（本题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：252,16a a ==. （1）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；
（2）令()21n n b n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 21.解：（1）
35
2
82a q q a =
=⇒=2分
11a ∴=
()112*n n n a a q n N -∴==∈4分
()()
1121*1n n n a q S n N q
-∴=
=-∈-6分
（2）()()
()()212121221n n n b n n n =--=---
令()()212,21n
n n c n d n =-=-，数列{}{},n n c d 的前n 项和分别为,n n C D
则()()
2
121135212
n n D n n n +-=+++
+-=
=8分
()123123252212n n C n =⨯+⨯+⨯++-⨯，可得
()()23121232232212n n n C n n +=
⨯+⨯+
+-⨯+-⨯，
两式相减得：
()()23122222212n n n C n +-=++++--⨯ ()()311212221212
n n n -+⨯-=+
--⨯-
()16232n n C n +∴=+-⨯
11分
高中数学期中考试试题
()12
6232n n n n T C D n n +∴=-=+-⨯-12分
22.（本题满分12分）已知过曲线C 上任意一点P 作直线2x p =-()0p >的垂线，垂足为M ,
且OP OM ⊥.
（1）求曲线C 的方程；
（2）设A B ,是曲线C 上两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且
αβ+ 为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.
22.解：（1）设(),P x y ，则()2,M p y -，由OP OM ⊥得0OP OM ⋅=，即20p x y y -⋅+⋅= 所以轨迹方程为2
2(0,0)
y px x P =≠>4分
（2）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB
的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然22
1212,22y y x x p p
==，将y kx b =+与2
2(0)y px P =>联立消去x ，得2
220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pb
y y y y k k
+=⋅=
①6分
（Ⅰ）当2
π
θ=
时，即2
π
αβ+=
时，tan tan 1αβ⋅=所以
12
121212
1,0y y x x y y x x ⋅=-=，2212122
04y y y y p -=所以2
124y y p =由①知：224pb p k
=所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()
2,0p -8分
（Ⅱ）当2
π
θ≠
时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-=
122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以
22tan p
b pk θ
=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+
22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛
⎫
+--
= ⎪⎝⎭
所以直线AB 恒过定点22,
tan p p θ
⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
所以由（Ⅰ）（Ⅱ）知，当2
π
θ=
时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2
π
θ≠
时直线AB 恒过定点
22,tan p p θ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
.12分。