湘教版高中数学必修三解析几何初步学案(2)

“解析几何初步”（第一课时）
-----直线与直线的方程
一、高考《考试大纲》的要求：
① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. ② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. ③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）， 了解斜截式与一次函数的关系.
⑤ 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.
⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 二、基础知识填空： 1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l 的倾斜角。

当直线l 和x 轴平行时，
它的倾斜角为0O
.倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是__________________. 2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。

通常用字母k 来表示，即k=_______________.
当倾斜角0o ≤α<90o
时，斜率k 是______的，倾斜角越大，直线的斜率就_____;当倾斜角90o <α<180o 时，斜率k 是_____的，倾斜角越大，直线的斜率就______;当倾斜角α=90o
时，直线的斜率________.
3.过两点的直线斜率的计算公式：在l 上任取两个不同的点P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2).则直线l 的斜率为
k=__________________________. 4.直线方程的五种表达形式：
（1）点斜式：已知直线l 上的两点P(x o ,y o )及斜率k ，则ｌ的方程是____________________________.
（2）斜截式：已知直线l 在y 轴上的截距b 及斜率k ，则ｌ的方程是____________________________.
（3）两点式：已知直线l 上的一点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则ｌ的方程是____________________________.
（4） 截距式：已知直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b ，则ｌ的方程是_______________________.
（5）一般式：任何一条直线的方程都可以表示为如下形式________________________________. 5．两条直线的位置关系：
（1）设直线111b x k y :l +=,直线222b x k y :l +=，
则1l ∥2l ⇔_________________； 1l ⊥2l ⇔__________________.
（2）设直线0C y B x A :l 1111=++,直线0C y B x A :l 2222=++，
则1l ∥2l ⇔______________________； 1l ⊥
2l ⇔____________________.
6.三个重要公式：
（1）两点间的距离公式：已知两点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则|AB|=____________________________.
（2）点到直线的距离公式：点P(x o ,y o )到直线ｌ：Ax+By+C=0的距离为d=_____________________.
（3）两条平行直线间的距离公式: 两平行直线0C By Ax :l 11=++与
0C By Ax :l 22=++之间
的距离为d=___________________________. 三、例题选讲： 例1．（2004全国卷Ⅱ文）已知点A (1，2)，B(3，1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )
（A ）4x ＋2y ＝5 （B ）4x －2y ＝5 （C ）x ＋2y ＝5 （D ）x －2y ＝5
例2.(2005北京文、理)”m =
2
1
”是“直线(m +2)x +3my +1=0与直线(m －2)x +(m +2)y －3=0相互垂直”的( ) (A )充分必要条件 (B )充分而不必要条件
(C )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件
例3.(2005全国卷III 文、理)已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则m 的值为( )
（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 例4．（2006上海春招） 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，
O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .
四、基础训练：
1.（2001春招上海）若直线1=x 的倾斜角为α，则α（ ）
（A ）等于0 （B ）等于4π （C ）等于2
π
（D ）不存在
2．（2005浙江文、理）点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) (A)
21 (B)3
2
(C)2 (D)32
3．（2004全国卷Ⅳ理）过点（－1，3）且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x
4．（2001上海文、理）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a －1)y=a －7平行且不重合的（ ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
5．（2002北京文）若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围（ ）
A ．)3,6[
π
π B ．)2,6(ππ C ．)2,3(ππ D ．]2
,6[π
π
五、巩固练习：
1.（2007上海理）若直线1210l x my ++=：　与直线231l y x =-：平行，则=m ．
2.（2007浙江文、理）直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ） (A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0 （C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝0
3.(2000春招北京、安徽文)直线(－
)x ＋y ＝3和直线x ＋(
－3)y ＝2的位置关系是
（ ）
A ．相交不垂直
B ．垂直
C ．平行
D ．重合
4．（2003上海文）已知定点A （0，1），点B 在直线x +y=0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是 .
5.（2006北京理）若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则
11
a b
+的值等于________.
6.(2003北京文)有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=13km ，BC=10km.计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小，点P 应位于何处？
“解析几何初步”（第一课时）
-----直线与直线的方程（参考答案）
三、例题选讲：例1. B 例2. B 例3. B 例4. B 四、基础训练：1---5 CDACB 五、巩固练习：1. 32-
2. D
3. B
4. )21,21(-
5. 2
1
6.本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：设P 的坐标为（0，
y ）
，则P 至三镇距离的平方和为 .146)4(3)12()25(2)(222+-=-++=y y y y f
所以，当
4=y 时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).4,0(
（Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨
⎧-<+--≥++=.
|12|25|,12||,
12|25,25)(2
22y y y y y y x g 当当
由
|12|252y y -≥+解得,24119≥
y 记,24
119*=y 于是
⎪⎩⎪⎨
⎧
<-≥+=.
|,12|,,25)(*
*
2
y y y y y y x g 当当 因为225y +在[
),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-|12|*∞-在y 上
是减函数. 所以
*y y =时,函数)(y g 取得最小值. 答:点P 的坐标是);24
119
,
0( 解法二：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨
⎧-<+--≥++=.
|12|25|,12||,
12|25,25)(2
22y y y y y y x g 当当
由
|12|252y y -≥+解得,24119≥
y 记,24
119
*=y 于是 ⎪⎩⎪⎨
⎧
<-≥+=.
|,12|,,25)(*
*
2
y y y y y y x g 当当
函数)(y g x =的图象如图)(a ，因此，
当*
y y =时，函数)(y g 取得最小值.答:点P 的坐标是);24
119
,
0(
解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=13,且，(b).,4
,51222如图π=∠=>=-ACB OC OC AC
所以△ABC 的外心M 在线段AO 上,其坐标为)24
119
,
0(, 且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线
MA 的反向延长线上，记P 为P 2， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为
P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 答:点P 的坐标是);24
119
,
0(。