极限问题答疑

极限问题答疑
1．数列极限
定义中的
是否为 的函数？为什么？
答： 在数列极限定义中， 与 之间的关系是：对任给 ，总存在正整数
，当 时，有成立。

有时为表明 与 之间的关系，常将 写成
，即。

但这里的
仅表示与
有关，但这种关系
不是函数关系，因为对任给的 ，总存在正整数 ，这里的
不是唯一的，存在一个满足要求的
，就必然存在无穷多个满足要求的
，
不是唯一
确定的。

因此不满足函数定义，所以
不是 的函数 .
2．若
，且
，那么是否a>b ？
答：不一定，例如 n n n n y x n
y n
x >+=
=
,21
,12
， .,0lim ,0lim b a b y a x n n n n =====∞
→∞
→即有
3．两个函数具备何种条件才能说是相同的？
答：函数两个基本要素是定义域和对应法则，当两个函数的定义域相同，对应法则相同，这两个函数相同
例如：函数与函数 ，它们的定域都是区间
，并且对应法则相同，当 时，对应的函数值都是
，当 时。

因此是相同的函数。

而函数
和
就不是相
同函数，因为它们的定义域就不相同，前者为
，而后者则 是
4．有人认为，函数记号中的表示某一个数学表达式，这种认识是否正确？为什么？
答：不正确，因为在函数记号中，是表示函数y与自变量x对应法则的，而对应法则不是只数学式子能表示，一张表格，一个图像也可以表示，因此，有广泛的涵义，只要是对应法则，都可以用它表示。

5．老师在课堂常讲函数在一点“有定义”，函数在某区间“有定义”，什么是“有定义”？
答：对函数来说；当自变量取时，相应函数有对应的函数值，则称函数在有定义;当一个函数在区间的每一点都有定义，则称函数在区间有定义。

显然，函数定义域内的点都是函数有定义的点，函数定义域内的区间都是函数有定义的区间。

6．分段函数一定不是初等函数吗？
答：有的同学学习了初等函数概念后，认为分段函数是由几个数学式子表示的函数，一定不是初等函数。

其实这种认识是不全面的，有些分段函数它可以用几个
数学式子表示，也可以用一个数学式子表示，例如函数即可以写成分段函数的形式
也可以用一个数学式子表示为
一般地，如果)
g在[c，b]上是初等函数，且
(x
f在[a，c]上是初等函数，)
(x
c
f ，那么分段函数
g
)
)
(
(c
必可用一个数学式表示为
因此，是初等函数。

应当指出，尽管有些分段函数是初等函数，但把它写成一个表达式时，无助于我们讨论它的性质，相反常会给我们带来麻烦，因此对于分段函数，除特殊需要外，通常没有必要鉴别它是不是初等函数，而把它当作非初等函数对待。

7．函数极限与数列极限有什么关系？
答：提到函数极限和数列极限的关系，一般指两种情形，一种是函数极限
与数列极限的关系。

一种是函数极限与数列极限
的关系。

这里的在的定义域内，时，。

而前一种关系是后一种关系的特殊情况。

关于这方面有下面的海涅定理。

定理（或）的充分必要条件是对任何收敛于的数列，
都有。

（该定理证明请参阅吉林大学出版社一九八六年出版的《高等数学》第一册第85页）
根据海涅定理有下面两条结论：
1，若，则，但反之不成立。

2，若，且时，则，反之不成立。

8．除了两个重要极限，外，还有那些常用的得函数极限？
答：由，可以推导出如下一些常用的极限式子：，，，
，，
，
采用等价无穷小的记法，即时
, ,’
, ,
.
9．求幂指函数的极限时，经常出现“”型未定式，有什么简单求法?
答：如果在x的同一变化过程中，函数满足：
（1） ,（2），
那么.这是因为
例如，求
.这是“”型未定式，
因为,
所以.
10．有界函数与无穷大的乘积是无穷大吗？
答：有界函数与无穷大的乘积不一定是无穷大。

例如，函数是有界函数，函数当时是无穷大，但它们的乘积,当时却不是无穷大。

因为假设，当是无穷大，根据无穷大定义，对，总存在，当
时，有成立。

而事实上，在点的任何邻域内都有点列
中的点，在这些点处的值为零，与无穷大定义矛盾。

11．函数在内是否有界？又当时，这个函数是否为无穷大？为什么？
答：函数在内是无界的。

因为存在点
，在这些点处的函数值随的增大可以任意大。

但当时，不是无穷大，因为假设当时是无穷大，根据无穷大的定义：对，存在当时，应有
成立，而事实上，存在点列只要充分大) ，在这些点处的值为0 ，与矛盾。

12．老师，无界函数与无穷大的关系我总弄不清，请解释一下好吗？
答: 这要从无界函数与无穷大的概念说起。

所谓无界，即对于任意正数，总有成立，则称在无界。

所谓无穷大，有时的无穷大和时的无穷大。

就时的无穷大，其定义是：对于，
总存在，当时，有成立，则称是
时的无穷大。

从上面两个概念，显见无穷大一定是无界函数；但无界函数却不一定是无穷大。

例如函数在内是无界的，但当时它却不是无穷大，请看问题 12。

13．如何确定两个无穷小的关系是同阶，高阶，等价无穷小？
答:根据同阶，高阶，等价无穷小的定义，确定两个无穷小关系，需将两个无穷小作比值求极限。

若极限为0 则分子是分母的高阶无穷小；若极限为非零常数，则分子与分母为同阶无穷小，若极限等于，则分子与分母是等价无穷小。

例如，当时，及都是无穷小，由于
，
所以，当时，与是同阶无穷小。

由于
所以，当时，是的低阶无穷小，从而是的高阶无穷小。

14．什么叫阶无穷小？什么叫低阶无穷小？
答：设是(或)时的无穷小，若极限
则称是当(或)时的K
阶无穷小。

若极限则称是当(或)时的低阶无穷小。

例如，当时，和都是无穷小，由于
，
所以，时，是关于的2阶无穷小。

又如，当时，和都是无穷小，由于
，
所以，是的低阶无穷小。

15．闭区间[a,b]上的连续函数一定有最大最小值，而开区间(a,b)的连续函数是否一定没有最大最小值？
答：开区间(a,b)内的连续函数不一定没有最大最小值。

有以下三种情况：
（1）开区间内既有最大值又有最小值。

例如：函数y=sinx在区间内连续，并且有最大值和最小值。

（2）在开区间内有最大值无最小值或者有最小值无最大值
例如：函数y=|x|在区间(-1,2)内连续，但在该区间内它无最大只，但有最小值0。

（3）开区间内无最大最小值
例如：函数在区间(0,1)内连续，但在该区间内它既无最大值又无最小值。

f连续，且f(1)=1,f(2)=-1,f(1)与f(2)异号，但在(1,2), )
f>0，
(x )
(x
无零点。

16．若函数)
f在(a,b)
(x
(x
f在[a,b]上连续，且f(a)与f(b)同号，能否断定)
内无零点？
答：不能断定。

因连续函数)
(x
f的零点，就是函数图象与x轴交点的横坐
标，f(a)与f(b)同号，只能说明曲线y=)
f的两个端点都在x轴的同侧，这样
(x
的曲线可能和x轴无交点，也可能和x轴有一个交点，也可能和x轴有多个交点，因此在(a,b)内)
f可能无零点，也可能有一个或多个零点。

确定的办法，就是
(x
看函数是否有极值与异号，若有，则)
f至少有两个零点；若只有
(x
一个极值等于零，那么)
(x
f只有一个零点；若所有极值和同号，则f无零点。

(x
)
17．若)
f在[a,b]上有定义，在(a,b)内连续，且f(a)与f(b)异号，能否
(x
得出在(a,b)，)
f至少有一个零点的结论？
(x
答：不能。

例如函数
显然，在(1,2)内)
f连续，且f(1)=1,f(2)=-1,f(1)与f(2)异号，但在(1,2)
(x
内, )
(x
f>0，无零点。

18．为什么说初等函数在定义区间内连续，而不说在定义域内连续？
答：因为初等函数定义域内的点不一定是连续的。

例如，函数
，
它的定义域为，由于在附近无定义，因此在处不连续。

所以笼统地说初等函数在定义域内连续是不对的。

根据连续函数的运算性质，初等函数的定义域构成区间，那么
在区间内的点必连续。

因此说初等函数在其定义域区间内连续。

19．若函数在点连续，则在点是否也连续？为什么？反之呢？
答：若在点连续，则在点一定连续。

因为根据连续定义，
对任何，如果总存在，当时有
(1)
成立，则必有
(2)
成立。

而（1）说明在连续，（2）成立说明在连续。

因此
在连续，则在一定连续。

但是，若在点连续，那么在点不一定连续。

例如函数
它在点 =0处是不连续的，但=1在点=0却是连续的。