高二数学竞赛试卷

高二数学竞赛试卷
考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．①②
2.若长方体公共顶点的三个面的面积分别为,则对角线长为( )
A ．
B ．
C ．6
D ．
3.若直线与圆
有公共点，则实数取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4.已知二次函数的导数为
，
，对于任意实数
，有
，则
的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 5.已知为等差数列，
，
，则
等于（ ）
A ．
B ． 1
C ． 3
D ．7
6.如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是
A ．P
B ⊥AD
B ．平面PAB ⊥平面PBC
C ．直线BC ∥平面PAE
D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° 7.阅读框图，则输出
（ ）
A ．40
B ．26
C ．7
D ．5 8.已知
则
的最小值为
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
9.数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为A ，则数据2a 1，2a 2，2a 3，…，2a n 的方差为（ ）
A ．A/2
B ．A
C ．2A
D ．4A 10.设
，若
，则
的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11.在集合上都有意义的两个函数与，如果对任意，都有
≤，则称与在集合上是缘分函数，集合称为缘分
区域．若与在区间上是缘分函数，则缘分区域是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
12.已知数列{a n }的前n 项和为S n =b×2n +a(a 0,b 0),若数列{a n }是等比数例，则a 、b 应满足的条件为（ ）
A ．a-b=0
B ．a-b 0
C ．a+b=0
D ．a+b 0 13.以下求方程
在
之间近似根的算法是（ ）
A．辗转相除法 B．二分法 C．更相减损术 D．秦九昭算法14.如图，空间四边形中，，点在上，且
是的中点，则（）
A．
B．
C．D．
15.某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图2是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看得出将被处罚的汽车大约有
A．辆
B．辆
C．辆
D．80辆
16.复数的虚部是（）
A．1 B．-1 C．2 D．
17.已知f(x)= ,a,b,c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,则f(a)+f(b)+f(c)的值( ) A．一定大于零 B．一定等于零 C．一定小于零 D．正负都有可能18.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3的项的系数是（）
A ．-30
B ．5
C ．-10
D ．10 19.已知命题，
，则下列叙述正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
是假命题
20.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
21.已知，则= ．
22.数列
的前项和为
，
，且，则 23.已知数列为等比数列，
，
，则
__________.
24.直线l 经过点
、倾斜角为，圆O 的方程为：
，则l
与圆O 的两个交点到点A 的距离之积为 ．
25. 若
，其中、，是虚数单位，则
_________。

26.双曲线
，F 为右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的
渐近线的垂线，若与双曲线的左、右两支分别相交于D 、E 两点，则双曲线C 的离心率的取值范围为 27.如果
，那么
的最小值是
28.甲乙二人玩猜字游戏，先由甲在心中想好一个数字，记作，然后再由乙猜甲刚才所想到的数字，并把乙猜到的数字记为，二人约定：、
，且当时乙为胜方，否则甲为胜方．则甲取胜的概
率是 ．
29.若a ，b ∈N *，且a ＋b≤5，则复数a ＋bi 的个数为______． 30.已知一个三角形的三边分别为和
，则最大角的大小为
_________． 三、解答题
31.在中，角
所对的边分别为，且成等比数列.
（1）若
，
,求
的值；
（2）求角的取值范围.
32.已知函数
，
.
（1）若关于的不等式的解集是，求实数的值；（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 33.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
34.如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆周上一点，已知.
求证：（1）平面平面；（2）求平面与平面所成的二面角的正切值.
35.已知函数，其中为实数；
（1）当时，试讨论函数的零点的个数；
（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。

参考答案
1 .B
【解析】
试题分析：：∵两个变量的散点图，
若样本点成带状分布，则两个变量具有线性相关关系，
∴两个变量具有线性相关关系的图是①和④．
考点：变量间的相关关系
2 .D
【解析】略
3 .D
【解析】
试题分析：将直线方程与圆方程联立，得
，因为直线与圆有公共点，所以解得，故选D.
考点：直线与圆的位置关系.
4 .C
【解析】略5 .B
【解析】此题考查等差数列的性质
解：设的公差为，由，得
所以选B.
6 .D
【解析】在A中，因为与在平面内的射不垂直，所以不成立；
在B中，因为平面平面，所以平面平面也不成立，所以不正确；
在C中，因为平面，平面，所以平面，所以直线平面也不成立，所以B不成立.
在D中，在直角中，，所以,所以是正确的，故选D.
7 .A
【解析】略
8 .C
【解析】
故选C
9 .D
【解析】设a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数为x ，则2a 1，2a 2，2a 3，…，2a 为2x;所以它们的方差为故选D
10 .A
【解析】∵设a>0，b>1，a+b=2， ∴
,当且仅当2时取等号，
∴
的最小值为
.
本题选择A 选项.
点睛：应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 11 .B 【解析】 试题分析：
，解得
，
故选B ．
考点：函数的概念及其构成要素．
12 .C 【解析】
试题分析：因为S n =b×2n +a ，所以==2b+a ，=
=
，若数列
{a n }是等比数例，
则b=2b+a ，所以0=a+b ，故选C 。

考点：本题主要考查等比数列的概念。

点评：本题运用“从一般到特殊，从特殊到一般”的研究方法。

13 .B 【解析】
试题分析: 从题设中所提供的伪代码语言的内容可以推知: 求方程
在之间近似根的算法是二分法,应选B. 考点：伪代码算法语言的理解和运用. 14 .B
【解析】试题解析：根据向量的减法可知
，因为点在
上，且是的中点，所以，
,所以
，故选B. 考点：向量的线性运算．
【方法点睛】本题主要考查了向量的线性运算，考查了共线向量定理与平面向量基本定理及向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，属于中档题.题目给出了空间的一个基底，要求用基向量表示向量，先
根据向量减法的三角形法则表示为，再根据共线向量定理和三角形的中线向量表达式表示出,最后用基向量表示出式中各向量即可.
15 .B
【解析】
解：由图可知，
车速大于或等于70km/h的汽车的频率为0.02×10=0.2，
则将被处罚的汽车大约有200×0.2=40（辆）．
故答案为：40．
16 .C
【解析】
试题分析：因为，所以虚部为2.
考点：复数的定义、复数的运算.
17 .A
【解析】略
18 .D
【解析】的系数为，故选D．
19 .D 【解析】
试题分析：由已知，得；又当时，，，所以.故命题是真命题，而命题是假命题.故
选D.
考点：1.全称命题的否命题；2.命题真假的判断.
20 .B
【解析】A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；在两个变量的
散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，对
照图形：B中样本点成直线形带状分布，且从左到右是上升的，∴是正
相关关系；C中样本点成直线形带状分布，且从左到右是下降的，∴是
负相关关系；D中样本点不成直线形带状分布，相关关系不明显，故选B.
21 .
【解析】
试题分析：由已知得到:,所以．考点：同角三角函数间的基本关系．
22 .
【解析】略
23 .
【解析】已知数列为等比数列，，，
故
故答案为：。

24 .4
【解析】
试题分析：由题意得：直线l参数方程为，代入圆O
的方程得：，因此由直线参数方程几何意义得l与圆O 的两个交点到点A的距离之积为
考点：直线参数方程几何意义
25 .
【解析】解：因为，则5
26 .
【解析】略
27 .4
【解析】试题分析：，当且仅当即时等号成立，所以最小值为4
考点：均值不等式求最值
28 .
【解析】
试题分析：由游戏规则；甲乙猜数共有种情况，而出现
的有，（1,3），（1,4），（1,5），（2,4），（2,5），（3,5）共种，由古典概型得；
考点：古典概型的概率算法。

29 .10
【解析】按a分类，当a取1,2,3,4时，b的值分别有4个、3个、2个、
1个，由分类计数原理，得复数a＋bi共有4＋3＋2＋1＝10(个)．
30 .
【解析】显然中最大，设最大角为θ，由余弦
定理，得所以所以这个三角形的
最大角为
31 .（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用已知条件，三边a，b，c成等比数列，以及余弦定理可求得建立三边的方程组，然后通过解方程组可求得结果；（2）利用余弦定理可得到的表达式，然后根据其结构利用基本不等式可求得范围，最后根据三角函数的知识可求得B的取值范围．
试题解析：（1）∵成等比数列，∴．
∵，∴．
联立方程组，解得．
（2）．
∵，∴，
∴．
考点：1、等比数列；2、余弦定理；3、基本不等式；4、简单的三角函数不等式．
32 .(1)；(2).
【解析】试题分析：(1)二次不等式解集的端点值即为所对应的一元二次方程的两根,写出韦达定理,求出；(2)开口向上的二次函数在区间
上的函数值恒小于,只需保证端点值小于.
试题解析：解：（1）根据题意，关于的不等式的解集是，
所以方程的实数根为-2和，
由根与系数的关系得，
，；
（2）对于任意，都有成立，
可得，
解得，
即实数的取值范围是.
考点：1.一元二次不等式；2.恒成立问题.
33 .（1）；（2），证明见解析．【解析】
试题分析：（1）由倍角公式及特殊角的三角函数值即可求解；（2）根
据式子的结构规律，得，由三角函
数中的恒等变换的公式展开即可证明．
试题解析：（1）选择（2），计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=，
故这个常数为．
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广，得到三角恒等式
sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=
证明：sin2α+cos2（30°-α）-sinαcos（30°-α）=sin2α+-
sinα（cos30°cosα+sin30°sinα）=sin2α+cos2α+sin2α+sinαcosα-
sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=
考点：三角恒等变换；归纳推理．
34 .（1）证明见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）根据题意，证得，，得平面，即可证得平面平面；（2）利用二面角的定义可得就是二面角的平面角，在中，即可求解所成的二面角的正切值.
试题解析：（1）平面，
又是圆围上一点，故平面，
平面，平面平面.
（2）由（1）知平面,
故就是二面角的平面角.
又.
平面与平面所成二面角的平面角的正切值为.
考点：平面与平面垂直的判定与证明；二面角的求解.
35 .（1）当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点；
（2）
【解析】
试题分析：(1) 当时，，
由得
范围
+ - +
由上表知：， (4)
分
故当或时，函数有1个零点；
当或时，函数有2个零点；
当时，函数有3个零点；…7分
（2）解法一：由题意知：对任意都成立
即对任意都成立，
设（），则对任意，为单增函数，所以对任意，恒成立的充要条件是
即于是的取值范围是…15分
解法二：由题意知：对任意都成立即对任意都成立，
于是对任意都成立，即，
于是的取值范围是…15分
考点：本小题主要考查函数零点个数的判断和恒成立问题的求解.
点评：函数的零点个数即为函数图象与x轴的交点个数，这就要求考查函数的单调性、最值等，要结合函数的图象解决问题，而恒成立问题，一般转化为最值问题解决.。