七年级英语教学案例

【学生版】
微专题：任意角和角的度量
1、角的概念的推广
（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； （2）任意角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角； （3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝k ·360°+α，k ∈Z }或S ＝{β|β＝2kπ+α，k ∈Z } 【注意】两种度量制度不要混用； 2、角度制、弧度制的定义和相关公式 （1）定义：
①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ；
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r ，l 是以角α作为圆心角时所对
圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r
与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．
【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。

（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为S ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=
；
在角度制中，半径为r 、圆心角为
n 的弧长r n r n l 1802360π
π=⋅=
； 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=
αππα；扇形中弦长公式2sin 2
r α
； 在角度制中，半径为r ，圆心角为
n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=
； 【典例】
考点1、对任意角概念的理解
例1、下列说法正确的是（ ）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在x 轴正半轴上）
A ．第一象限角一定是锐角
B ．终边相同的角一定相等
C ．小于90°的角一定是锐角
D ．钝角的终边在第二象限 【提示】
【答案】 【解析】 【说明】
考点2、象限角的判定
例2、若角α是第二象限角，则α
2是第________象限角
考点3、区域角的表示 例3、集合{|,}4
2
a k k k Z π
π
παπ+
≤≤+
∈中的角所表示的范围（阴影部分）是( )
考点4、角度制与弧度制的运算
例4、（1）把1480-写成2,k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤；
（2）若[]4,0βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求：β；
考点5、扇形面积、弧长公式的应用
例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝π
3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积；
（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
考点6、对称性问题
例6、已知角α的终边与120︒角的终边关于x 轴对称，求：α。

【归纳】
1、任意角及其相关概念
（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（2）角的表示：如图
射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。

2、角的分类
名称 定义 图形 正角
一条射线按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置；（2）角的范围不再限于[0,360)（或[0,2)π） 3、象限角与终边相同的角 （1）象限角
象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；
象限角的集合表示 象限角 角的集合表示
第一象限角 {}36036090,x k x k k Z ⋅<<⋅+∈或{}22,2
x k x k k Z π
ππ<<+
∈
第二象限角 {}36090360180,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}22,2
x k x k k Z π
πππ+
<<+∈
第三象限角 {}360180360270,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}322,2
x k x k k Z π
πππ+<<+∈ 第四象限角 {}360
270360360,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}3222,2
x k x k k Z π
πππ+
<<+∈ （2）终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{360,}S k k Z ββα==⋅+∈
B
O
A α
O
A
B
O
A
B
A （
B ）（吧
O
（或{2,}S k k Z ββπα==+∈），即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； （3）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 角的终边在坐标轴上的角 角的集合表示
终边落在x 轴的非负半轴上的角 {}360,x x k k Z =⋅∈或{}2,x x k k Z π=∈
终边落在x 轴的非正半轴上的角 {}360
180,x x k k Z =⋅+∈或{}2,x x k k Z ππ=+∈
终边落在x 轴上的角
{}180,x x k k Z =⋅∈或{},x x k k Z π=∈ 终边落在y 轴的非负半轴上的角 {}360
90,x x k k Z =⋅+∈或
{}2,2
x x k k Z π
π=+
∈ 终边落在y 轴的非正半轴上的角 {}36090,x x k k Z =⋅-∈或{}2,2
x x k k Z π
π=-∈
终边落在y 轴上的角 {}18090,x x k k Z =⋅+∈或{},2
x x k k Z π
π=+∈
终边落在坐标轴上的角
{}90
,x x k k Z =⋅∈或{},2
x x k
k Z π
=∈
注意：1、相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360（或2π）的整数倍；k Z ∈这一条件不能少；2、象限角、终边在坐标轴上的角以及终边相同的角的表达形式不唯一； 4、弧度制的相关概念
（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。

（2）弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的单位制。

②记法：用符号rad 表示，读作弧度；
如图，AB 的长等于半径r ，AB 所对的圆心角AOB ∠就是1rad 的角。

（3）圆心角与弧长的关系
若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=。

（4）角度和弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度 3602π=rad
2π360rad =
180π=rad π180rad =
10.01745
180
rad π
=
≈rad
118057.30
rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
r O
B
A
1rad r
度数180
π
⨯
=
弧度数
弧度数
180π⎛⎫⨯=
⎪⎝⎭度数 （5）一些特殊角的弧度数 角度 0
15 30 45 60 75 90 120 135 150
弧度 0
12π
6π
4π
3π
512π 2π
23π 34π 56π 角度 180
210
225
240
270
300
315
330
360
390
弧度
π
76π 54π 43π 32π 53π 74π 116π
2π
136π
5、 弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则 度量单位 类别 α为角度数
α为弧度数
弧长 ||180
R
l απ=
l R α=
扇形的面积
2
||360
R S απ=
211
22
S lR R α==
【拓展】弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意她们的前提是α为弧度。

在运用公式时，还应熟练德掌握这两个公式的变形运用： ①,l l R R αα=
=； ②22S R α=(其中S 为扇形的面积）；③比值l R
只反映弧所对圆心角的大小，不反应圆心角的方向，应注意l
R
α=
中的绝对值符号，否则会漏解；④扇形面积公式可以类比三角形的面积公式来记忆，1
2
S lR =扇，l 相当于三角形的底，R 对应为该底边上的高。

【即时练习】
1、《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A ．1.012米
B ．1.768米
C ．2.043米
D ．2.945米
2、已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S =
B ．12S S ≤
C ．12S S ≥
D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S > 3、终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)
4、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．
5、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为
6、若α是第一象限的角，则2
α
是第________象限的角．
7、终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
8、(一题多解)设集合00{|18045,}2k M x x k Z ==
⋅+∈，00{|18045,}4
k
N x x k Z ==⋅+∈， 则集合M 、N 之间的关系是
9、如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且45AOx ∠=，点P 从点A 处出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1 s 内转过的角度为(0180)θθ<<，经过2 s 第一次到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求θ，并判断其终边所在的象限。

10、已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
（1）若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
A
O
y x
P
•
【教师版】
微专题：任意角和角的度量
1、角的概念的推广
（1）定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； （2）任意角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角； （3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 S ＝{β|β＝k ·360°+α，k ∈Z }或S ＝{β|β＝2kπ+α，k ∈Z } 【注意】两种度量制度不要混用； 2、角度制、弧度制的定义和相关公式 （1）定义：
①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ；
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r ，l 是以角α作为圆心角时所对
圆弧的长，r 为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l
r
与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．
【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。

（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为S ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=
；
在角度制中，半径为r 、圆心角为
n 的弧长r n r n l 1802360π
π=⋅=
；
在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=
αππα；扇形中弦长公式2sin 2
r α
； 在角度制中，半径为r ，圆心角为
n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=
； 【典例】
考点1、对任意角概念的理解
例1、下列说法正确的是（ ）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在x 轴正半轴上）
A ．第一象限角一定是锐角
B ．终边相同的角一定相等
C ．小于90°的角一定是锐角
D ．钝角的终边在第二象限 【提示】根据象限角、锐角、终边相同的角的概念逐项判断；
【答案】D.
【解析】对于选项A ，不正确，如405︒，330-︒都是第一象限角，但它们不是锐角； 对于选项B ，不正确，如405︒与45︒的终边相同，但它们不相等； 对于选项C ，不正确，如60-︒不是锐角(锐角的取值范围是0︒到90︒)； 对于选项D ，正确．(钝角的取值范围是90︒到180︒)； 故选：D ；
【说明】本题的解题关键：解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于90的角等概念；解题技巧：本题也可采用排除法，这时需掌握一定的技巧，判定说法为真，常需要证明；判定说法为假，只需举一反例即可； 考点2、象限角的判定
例2、若角α是第二象限角，则α
2
是第________象限角
【提示】先由题设表示“第二象限角”，然后再利用不等式性质； 【答案】一或三；
【解析】因为，α是第二象限角，所以，π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，则π
4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ；
当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α
2是第三象限角；
综上，α
2
是第一或第三象限角；
【说明】1、利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角或象限角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z)赋值来求得所需的角；2、确定kα，α
k (k ∈N *)的终边位置的方
法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或α
k 的终边所在位置；【说明】本题的结论是后面确定半角公式符号的依据； 考点3、区域角的表示 例3、集合{|,}4
2
a k k k Z π
π
παπ+
≤≤+
∈中的角所表示的范围（阴影部分）是( )
【提示】注意：高中研究角的方法，尤其是：在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴； 【答案】C
【解析】方法1、当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π
2
表示的范围一样；
当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋
5π4≤α≤2n π＋3π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π
2
表示的范围一样，故选C ； 方法2、根据“变换规律是π”，数形结合直接判断；
【说明】1、先由研究角的方法与步骤，按逆时针方向得到区间的起始及终止边界，按由小到大写出最简区间，再加上360,k k Z ⋅∈（2,k k Z π∈），最后还必须熟练的进行集合的合并；2、或利用集合运算与数形结合思想，在平面直角坐标系中找出集合A 和集合B 所表示的区域，终边在这两个区域的公共部分的角的集合就是
A B ；
考点4、角度制与弧度制的运算
例4、（1）把1480-写成2,k k Z απ+∈的形式，其中02απ≤≤；
（2）若[]4,0βπ∈-，且β与（1）中α的终边相同，求：β； 【提示】注意：终边相同角的表示方法与步骤，度量制度不能“混用”；
【解析】（1）741614801099
ππ
π-=-
=-+
， 因为16029ππ<<，所以1614802(5)9
π
π-=+⨯-，
（2）因为β与α的终边相同，所以1622,9
k k k Z π
βαππ=+=+∈，
又因为[]4,0βπ∈-，所以1216216202,49999
ππππ
βπβπ=-=-=-=-
， 【说明】特别注意：角的两种度量制度不能“混用”；在后续的学习与表示角时，快速准确地实现角度和弧度的互化在今后的学习中是必要的，而实现这两者之间互化的桥梁就是180()rad π=加比例运算； 考点5、扇形面积、弧长公式的应用
例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝π
3，半径R ＝10 cm ，求该扇形的面积；
（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；
（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【提示】注意：扇形弧长及面积公式使用的前提与条件；
【解析】（1）由已知得α＝π3，R ＝10 cm ，所以，S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π
3
(cm 2)；
（2）l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝50π3－12·R 2·sin π3＝50π3－12·102·32＝50π－753
3(cm 2)；
（3）由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10)， 所以S ＝12lR ＝1
2
(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，
所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad ；
【说明】通过本题说明：应用弧度制解决问题的方法：1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形； 考点6、对称性问题
例6、已知角α的终边与120︒角的终边关于x 轴对称，求：α。

【提示】注意：任意角与终边相同角的表示方法； 【错解1】由题意，得：1200α+︒=︒； 【错解2】由题意，得：1200α+︒=； 【答案】{|360120,}k k Z αα=⋅︒-︒∈；
【解析】如图所示，120-︒角与120︒角的终边关于x 轴对称，
所以角α的终边与120-︒角的终边重合，所以，{|360120,}k k Z αα=⋅︒-︒∈； 【说明】注意：结合对称的几何性质与终边相同角的表示；规范整理得： （1）若角θ的终边与角α的终边关于x 轴对称，则360,k k Z θα+=⋅︒∈； （2）若角θ的终边与角α的终边关于y 轴对称，则360180,k k Z θα+=⋅︒+︒∈； （3）若角θ的终边与角α的终边关于原点对称，则360180,k k Z θα-=⋅︒+︒∈；
（4）若角θ的终边与角α的终边关于直线y x =对称，则36090,k k Z θα+=⋅︒+︒∈； （5）若角θ的终边与角α的终边关于直线y x =-对称，则36090,k k Z θα+=⋅︒-︒∈； （6）若角θ的终边与角α的终边互相垂直，则||36090,k k Z θα-=⋅︒+︒∈； 【请：用“弧度制”表示上述关系】
【归纳】
1、任意角及其相关概念
（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（2）角的表示：如图
射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。

2、角的分类
名称 定义 图形 正角
一条射线按逆时针方向旋转形成的角
负角
一条射线按顺时针方向旋转形成的角
零角
一条射线没有做任何旋转形成的角
拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置；（2）角的范围不再限于[0,360)（或[0,2)π） 3、象限角与终边相同的角 （1）象限角
象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；
象限角的集合表示 象限角 角的集合表示
第一象限角 {}36036090,x k x k k Z ⋅<<⋅+∈或{}22,2
x k x k k Z π
ππ<<+
∈
第二象限角 {}36090360180,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}22,2
x k x k k Z π
πππ+
<<+∈
第三象限角 {}360180360270,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}322,2
x k x k k Z π
πππ+<<+∈ 第四象限角 {}360
270360360,x k x k k Z ⋅+<<⋅+∈或{}3222,2
x k x k k Z π
πππ+
<<+∈ （2）终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{360,}S k k Z ββα==⋅+∈
B
O
A α
O
A
B
O
A
B
A （
B ）（吧
O
（或{2,}S k k Z ββπα==+∈），即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和； （3）角的终边在坐标轴上的角的集合表示 角的终边在坐标轴上的角 角的集合表示
终边落在x 轴的非负半轴上的角 {}360,x x k k Z =⋅∈或{}2,x x k k Z π=∈
终边落在x 轴的非正半轴上的角 {}360
180,x x k k Z =⋅+∈或{}2,x x k k Z ππ=+∈
终边落在x 轴上的角
{}180,x x k k Z =⋅∈或{},x x k k Z π=∈ 终边落在y 轴的非负半轴上的角 {}360
90,x x k k Z =⋅+∈或
{}2,2
x x k k Z π
π=+
∈ 终边落在y 轴的非正半轴上的角 {}36090,x x k k Z =⋅-∈或{}2,2
x x k k Z π
π=-∈
终边落在y 轴上的角 {}18090,x x k k Z =⋅+∈或{},2
x x k k Z π
π=+∈
终边落在坐标轴上的角
{}90
,x x k k Z =⋅∈或{},2
x x k
k Z π
=∈
注意：1、相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360（或2π）的整数倍；k Z ∈这一条件不能少；2、象限角、终边在坐标轴上的角以及终边相同的角的表达形式不唯一； 4、弧度制的相关概念
（1）1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角。

（2）弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的单位制。

②记法：用符号rad 表示，读作弧度；
如图，AB 的长等于半径r ，AB 所对的圆心角AOB ∠就是1rad 的角。

（3）圆心角与弧长的关系
若半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l
r
α=。

（4）角度和弧度的互化
角度化弧度
弧度化角度 3602π=rad
2π360rad =
180π=rad π180rad =
10.01745
180
rad π
=
≈rad
118057.30
rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭
r O
B
A
1rad r
度数180
π
⨯
=
弧度数
弧度数
180π⎛⎫⨯=
⎪⎝⎭度数
（5）一些特殊角的弧度数 角度 0
15 30 45 60 75 90 120 135 150
弧度 0
12π
6π
4π
3π
512π 2π
23π 34π 56π 角度 180
210
225
240
270
300
315
330
360
390
弧度
π
76π 54π 43π 32π 53π 74π 116π
2π
136π
5、 弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则 度量单位 类别 α为角度数
α为弧度数
弧长 ||180
R
l απ=
l R α=
扇形的面积
2
||360
R S απ=
211
22
S lR R α==
【拓展】弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意她们的前提是α为弧度。

在运用公式时，还应熟练德掌握这两个公式的变形运用： ①,l l R R αα=
=； ②22S R α=(其中S 为扇形的面积）；③比值l R
只反映弧所对圆心角的大小，不反应圆心角的方向，应注意l
R
α=
中的绝对值符号，否则会漏解；④扇形面积公式可以类比三角形的面积公式来记忆，1
2
S lR =扇，l 相当于三角形的底，R 对应为该底边上的高。

【即时练习】
1、《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A ．1.012米
B ．1.768米
C ．2.043米
D ．2.945米 【答案】B ；
【解析】“弓”所在弧长为l ＝π4＋π4＋π8＝5π
8，其所对圆心角为α＝5π854＝π2，所以两手之间的距离约为2×1.25≈1.768.
2、已知圆O 与直线l 相切于A ，点,P Q 同时从点A 出发，P 沿着直线l 向右、Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP （如图），则阴影部分面积1S ，2S 的大小关系是（ ）
A ．12S S =
B ．12S S ≤
C ．12S S ≥
D ．先12S S <，再12S S =，最后12S S > 【答案】A
【解析】如图所示，因为直线l 与圆O 相切，所以OA AP ⊥， 所以扇形的面积为1122AOQ S AQ r AQ OA =
⋅⋅=⋅⋅扇形，1
2
AOP S OA AP ∆=⋅⋅, 因为AQ AP =，所以扇形AOQ 的面积AOP AOQ S S ∆=扇形, 即AOP AOQ AOB AOB S S S S ∆-=-扇形扇形扇形， 所以12S S =，
3、终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示) 【答案】{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z}；
4、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度． 【答案】π
3
；
5、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 【答案】6；
【解析】设扇形的半径为r (r ＞0)，弧长为l .由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12αr 2
＝1
2×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4.所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 6、若α是第一象限的角，则2
α
是第________象限的角． 【答案】第一或第三
【解析】因为α是第一象限的角,所以22,2
k k k Z π
παπ<<+∈,即有,2
4
k k k Z α
π
ππ<
<
+∈,
当k 为偶数时,
2α是第一象限的角；当k 为奇数时,2
α
是第三象限的角； 故答案为第一或第三；
7、终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． 【答案】⎩⎨⎧⎭
⎬⎫－5
3π，－23π，π3，43π
【解析】如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π
3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x
上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－5
3π，
故满足条件的角α构成的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5
3π，－23π，π3，43π.
8、(一题多解)设集合00{|18045,}2k M x x k Z ==
⋅+∈，00{|18045,}4
k
N x x k Z ==⋅+∈， 则集合M 、N 之间的关系是 【答案】M ⊆N ；
【解析】方法1、由于M ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.
方法2、由于M 中，x ＝k
2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；
而N 中，x ＝k
4
·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，
9、如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆上，且45AOx ∠=，点P 从点A 处出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1 s 内转过的角度为(0180)θθ<<，经过2 s 第一次到达第三象限，经过14 s 后又回到出发点A ，求θ，并判断其终边所在的象限。

【解析】由题意，得144536045()n n Z θ+=⋅+∈，①
所以180
()7
n n Z θ⋅=
∈。

又因为180245270θ<+<，② 即67.5112.5θ<<，所以180
67.5112.57
n ⋅<
<，且n Z ∈。

所以3n =或4n =。

所以540
7
θ=
或7207θ=。

易知540
0907
<
<，720901807<<， 所以θ的终边在第一象限或第二象限；
【说明】在利用不等式确定角所在象限时，由于考虑不全面易漏掉某些情况，如本题3n =或4n =，又如是否包含等号等；
10、已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .
（1）若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
A
O
y
x
P
•
【解析】（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝90°＝π2，R ＝10，l ＝π
2·10＝5π(cm)，
S 弓＝S 扇－S △＝12×5π·10－1
2×102＝25π－50(cm 2)．
（2）扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以，R ＝C
2＋α
，
所以，S 扇＝12α·R 2
＝12α·⎝⎛⎭
⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋
4α≤C 216.
当且仅当α2＝4，即
α＝2时，扇形面积有最大值C 2
16
.。