江西省宜春市2019届高三第一学期期末统考理科数学试题(含解析)

江西省宜春市2018-2019学年第一学期期末统考高三年级
数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A {x |x 0}=<，集合{}
2
B x x x 0=-，则A B (⋂= )
A. {x |x 0}<
B. {x |0x 1}<<
C. {}
x x 1
D. ∅
2.有一位同学家开了一个小卖部，
他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数y 与当天气温x 之间的线性关系，其回归方程为ˆ2147.1y
x =-+，如果某天气温为2℃，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（ ） A. 140
B. 143
C. 152
D. 156
3.已知i 为虚数单位，复数z 满足2018
(1)i z i i ++=-，则复数z 等于（ ）
A. 1i -
B. 2i -
C. i
D. i -
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若371112a a a ++=，则13S 等于（ ） A. 58
B. 54
C. 56
D. 52
5.“直线,a b 不相交”是“直线,a b 为异面直线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是( )
A. i 4<
B. i 5<
C. i 6<
D. i 7<
7.非零向量,a b 满足：a b a -=，()
0a a b ⋅-=，则a b -与b 夹角的大小为 ( ) A. 135
B. 120
C. 60
D. 45
8.一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，
如图所示，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是( )
A. 8
B. 16π
C. 8π
D.
9.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 区域中，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，在M 、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA 、OB 为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )
A. 21π
-
B.
112π
- C.
112π
+ D.
1π
10.已知函数()()πf x 2sin ωx φ1(ω0,φ)2=++><
，其图象与直线y 3=相邻两个交点的距离为2π3
，若()f x 1>对任意ππx ,126⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
恒成立，则φ的取值范围( ) A. ππ,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B. ππ,24⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ C. ππ,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D. π0,
4⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
11.曲线22
22x y 1(a 0,b 0)a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，1
FO 为半径作1F ，若点2F 关于直线b
y x a
=-的对称点M 落在1F 上，则该双曲线的离心率为( ) A. 3
C. 2
12.长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AA 2AD ==，E 是1DD 的中点，11
BF C K AB 4
==
，设过点E 、F 、K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若变量x ，y 满足约束条件253
4x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
，则z x y =+的取值范围是__________． 14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A 、B 、C 、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A 班，则共有分配方案的种数为______．
15.
已知函数21,0
()0
x x f x x -⎧+≤⎪=⎨
>⎪⎩，则(1)90f x +-≤的解集为__________． 16.已知函数()sin f x x =的图像与直线0(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为1x ，2x ，3x ，则
2312
tan()
x x x x -=-______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且2610a a +=，520S =.
（1）求n a 与n S ；
（2）设数列{}n c 满足1
n n c S n
=
-，求{}n c 的前n 项和n T .
18.已知函数2()2sin cos 1)f x x x x =+-．
（1）若△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b ，c ，锐角A 满足(
)26
A f π
-=A 的大小. （2）在（1）的条件下，若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．
19.如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，22,AD BC ==
90BAD ABC ∠=∠=.
（1）证明：PC BC ⊥；
（2）若直线PC 与平面PAD 所成角为30，求二面角B PC D --的余弦值.
20.每年七月份，我国J 地区有25天左右的降雨时间，如图是J 地区S 镇2000-2018年降雨量（单位：mm ）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：
（1）假设每年的降雨天气相互独立，求S 镇未来三年里至少有两年的降雨量不超过350mm 的概率； （2）在S 镇承包了20亩土地种植水果的老李过去种植的甲品种水果，平均每年的总利润为31.1万元．而乙品种水果的亩产量m （kg/亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种水果的单位利润为32-0.01×m（元/kg ），请帮助老李排解忧愁，他来年应该种植哪个品种的水果可以使利润ξ（万元）的期望更大？（需说明理由）；
21.椭圆C ：22
22x y 1(a b 0)a b +=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 ()1求椭圆C 的方程；
()2过点()P 0,1的动直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q ，使得直线l
变化时，总有PQA PQB ∠∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 22.已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值； （2）若10a e
<<
（e
是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.【答案】A 【解析】 【分析】
先求集合B ，然后进行交集的运算即可．
【详解】因为{
}
2
B x|x x>0{x |x 0=-=<或x 1}>，且A {x |x 0}=<，A B {x |x 0}∴⋂=<． 故选A ．
【点睛】本题考查了集合交集的运算，一元二次不等式的解法，属于基础题． 2.【答案】B 【解析】 【分析】
根据所给的一个热饮杯数与当天气温之间的线性回归方程，代入x=2，求出y 即可．
【详解】根据热饮杯数与当天气温之间线性回归方程为y 2x 147.1=-+，某天气温为2℃时，即x 2=，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y 22147.1143.1143=-⨯+=≈． 故选B ．
【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，属于基础题． 3.【答案】D 【解析】 ∵20181i =-
∴()2
111121112
i i i z i i ----==
==-++
故选D 4.【答案】D 【解析】
37117123a a a a ++==，得74a =, 1371352S a ∴==.
的
故选D. 5.【答案】B 【解析】
异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线,a b 不相交”是“直线,a b 为异面直线”的必要不充分条件，选B. 6.【答案】B 【解析】 【分析】
模拟程序的运行结果，分析满足输出条件继续循环和不满足输出条件退出循环时，变量i 值所要满足的要求，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得S 0=，i 1= 满足判断框内的条件，执行循环体，S 1=，i 2=， 满足判断框内的条件，执行循环体，S 3=，i 3=， 满足判断框内的条件，执行循环体，S 6=，i 4=， 满足判断框内的条件，执行循环体，S 10=，i 5=，
由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S 的值为10． 可得判断框内的条件为i 5<？． 故选B ．
【点睛】本题考查了条件结构的程序框图，其中模拟运行过程是处理此类问题常用的方法，属于基础题． 7.【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，设a =OA ，b =OB ，则a ﹣b =OA ﹣OB =BA ，结合题意分析可得△OAB 为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．
【详解】
根据题意，设a =OA ，b =OB ，则a ﹣b =OA ﹣OB =BA ， 若|a b -|=|a |，()
0a a b ⋅-=，即|BA |=|OA |，且OA ⊥BA ， 则△OAB 为等腰直角三角形，
则a b -与b 的夹角为180°﹣45°=135°， 故选A ．
【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式cos a b
a b
θ⋅=⋅；
二是坐标公式cos θ=；
三是几何方法，从图形判断角大小. 8.【答案】C 【解析】 【分析】
先求出圆柱体的外接球的半径，再利用球的表面积公式即可得答案．
【详解】根据几何体的三视图还原为圆柱体的一半，如图所示，因为几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2
的圆，故圆柱的外接球的半径为：r
=
=，所以球的表面积为：2S 4π8π=⋅=．
故选C
【点睛】本题考查了三视图还原为圆柱体的一半，圆柱体外接球的表面积公式的应用，属于基础题． 9.【答案】B 【解析】
试题分析：OA 的中点是M
，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC 与弦OC 围成的弓形的面积，从而可
求出两个圆的弧OC 围成的阴影部分的面积，用扇形OAB 的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC 围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可． 解：OA 的中点是M ，则∠CMO=90°，半径为OA=r S 扇形OAB =πr 2，S 半圆OAC =π（）2=πr 2， S △OmC =××=r 2， S 弧OC =S 半圆OAC ﹣S △ODC =
πr 2﹣r 2，
两个圆的弧OC 围成的阴影部分的面积为πr 2﹣r 2，
图中无信号部分的面积为πr 2﹣r 2﹣（πr 2﹣r 2）=πr 2﹣r 2， ∴无信号部分的概率是：．
故选B ．
考点：几何概型． 10.【答案】A 【解析】 【分析】
由题意得函数的周期为
2π2πω3=，由此求得ω=3，由()f x 1>
转化为sin （3x +φ）＞0对任意x ∈ππ,126⎛⎫
- ⎪⎝⎭
恒成立，求得φ的取值范围．
【详解】函数()()πf x 2sin ωx φ1(ω0,φ)2=++><
，其图象与直线y 3=相邻两个交点的距离为2π
3
，2π2π
ω3
T ∴=
=，ω3∴=．
若()f x 1>对任意ππx ,126⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭恒成立，转化为()sin 3x φ0+>恒成立. 因为ππx ,126⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，所以-+4πϕ< 3x φ+ 2πϕ<+ ，且πφ2<，
π
04π2
ϕϕπ
⎧-+≥⎪⎪∴⎨⎪+≤⎪⎩，求得ππφ42≤<.
故选A ．
【点睛】本题考查了正弦函数的图象和性质，函数恒成立的问题，属于中档题． 11.【答案】C 【解析】 【分析】
圆心()1F c,0-和半径c ，
设M （m ，n ）是F 2（c ，0）关于直线b y x a =-的对称点，得MF 2的中点在直线b
y x a
=-上，且21MF b k a ⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，解得M 的坐标，再由|F 1M|＝c ，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算可得所
求值．
【详解】由题意得
1F 的圆心为()1F c,0-，半径为c .设M （m ，n ）是F 2（c ，0）关于直线b
y x a
=-
的对称点，结合对称思想，得MF 2的中点m c n ,22+⎛⎫
⎪⎝⎭在直线b y x a =-上，且2MF b k 1a ⎛⎫
⨯-=- ⎪⎝⎭
，列方程得n m c - b 1a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，1b n ?2a =-⨯ m c 2+，解得22
a b m c
-=，2ab n c =-，又因为M 落在
1F
上，所以
1
FM c ==，结合222a b c +=，化简可得223a b =，
则c e 2a ====． 故选C ．
【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查点关于直线的对称点的问题，以及化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】D 【解析】 【分析】
延长KE ，交CD 延长线于点M ，延长KF ，交CB 延长线于点N ，连结MN ，则MN 是过点E 、F 、K 的平面与平面ABCD 的交线l ，由A 1D 1∥CN，得∠MNC 是直线l 与直线A 1D 1所成角（或所成角的补角），由此能求出直线l 与直线A 1D 1所成角的正切值．
【详解】延长KE ，交CD 延长线于点M ，延长KF ，交CB 延长线于点N ，连结MN ，则MN 是过点E 、F 、K 的平面与平面ABCD 的交线l ，
11A D //CN ，MNC ∴∠是直线l 与直线11A D 所成角(或所成角的补角)，设
1AB AA 2AD 2===，E 是1DD 的中点，11BF C K AB 4==，DE 1∴=，111
BF C K AB 42
===，3CK 2=，MD DE MC CK ∴=，NB BF NC CK =，即MD 1
3MD 22
=
+，
1
NB 23NB 12
=+，解得MD 4=，1NB 2=，MC 426∴=+=，3CN 2
=，MC 6
tan MNC 4
3
NC 2∴∠===． ∴直线l 与直线11A D 所成角的正切值为4．
故选D ．
【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值，平面与平面交线的问题，考查数形结合思想，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.【答案】[]1
,7. 【解析】
【分析】
首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义求解取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的可行域如图所示，
结合目标函数的几何意义可得目标函数在点()3,4B 处取得最大值max 437z =+=， 在点()3,4C -处取得最小值min 341z =-+=， 综上可得，目标函数z x y =+的取值范围是[]1,7.
【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 14.【答案】18 【解析】 【分析】
根据题意，分2步进行：①，先安排甲，甲可以分到B 、C 、D 班，易得甲的分配方法数目，②，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行：
①，先安排甲，由于甲不能分配到A 班，则甲可以分到B 、C 、D 班，有3种情况，
②，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有3
3A 6=种情况，
则一共有1863=⨯种分配方案； 故答案为18．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题.
15.【答案】[4,)-+∞ 【解析】 【分析】
原不等式等价于()112
80x x -+≤-⎧⎪⎨-≤⎪⎩
或1
90x >-⎧⎪⎨≤⎪⎩，分别求解不等式组，再求并集即可.
【详解】 (
)21,0
x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，
∴当10x +≤时，()11
280x x -+≤-⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得41x --≤≤；
当10x +>时
，1
90x >-⎧⎪⎨≤⎪⎩
，解得1x >-，
综上，4x ≥-，即()190f x +-≤的解集为[)4,-+∞，故答案为[)4,-+∞.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 16.【答案】12
. 【解析】 【分析】
由已知条件得到图像，运用导数和三角函数进行求解
详解】
如图所示，易知2x π=，13222x x x π+==
则
()32132
31sin sin 012
x x k x x x x -=
=-- 又直线与sin y x =相切于点()33sin A x x ，
则3cos k x =
则()
()233
33
13
3131tan sin tan 1
cos 1
22
x x x x x x x x x x x -==
=---
故答案为
1
2
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象，导数的几何意义，三角函数求值，考查化归与转化思想，数形结合思想和运算求解能力，属于中档题目．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.【答案】（1）1n a n =+,n S ()32
n n +=（2）n T 21
n
n =
+ 【解析】 【分析】 （1）由()1553552
a a S a +=
=和264
2a a a +=，可求出3a 和4a ，然后利用等差数列的性质可求出n a 与n S ；（2）由（1）知()32
n n n S +=
，可得2121
121n n c S n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪-++⎝⎭
，利用裂项相消的求和方法，可求出{}n c 的前n 项和n T .
【详解】解：（1）设等差数列公差为d ，()1553
55202
a a S a
+=
==，故34a =，
264210a a a +==，故45a =，
1d ∴=，()331n a a d n n =+-=+，
易得12a =， ∴()12n n n
S a a =
+ ()()32122
n n n n +=++=
．
（2）由（1）知()32
n n n S +=
，则2121
121n n c S n n n n n ⎛⎫=
==- ⎪-++⎝⎭
， 则11111112122334
1n T n n ⎛
⎫=-
+-+-+
- ⎪+⎝
⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
21n n =+． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．
18.【答案】（1）πA 3=；（2）4
． 【解析】 【分析】
（1）将()f x 化简为()π2sin 23f x x ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭，代入26A f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A ；（2）根据正弦定理求得a ，再结合余弦定理，利用基本不等式求得最值.
【详解】（1）()πsin 222sin 23f x x x x ⎛
⎫=+=+
⎪⎝
⎭
2sin 22sin 26263A A f A πππ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又A 为锐角 3
A π
=
（2）
ABC ∆的外接圆半径为11
由正弦定理得：
22sin a
R A
==
2sin 2sin
23
2
a A π
∴===⨯
=由余弦定理：2
2
2
π2cos
3
a b c bc =+- 得：2232b c bc bc bc bc =+-≥-= 即3bc ≤（当且仅当b c =时取等号）
则三角形的面积11sin 322S bc A =
≤⨯=
（当且仅当b c =时取等号）
【点睛】本题考查三角函数式的化简、正余弦定理解三角形、三角形面积最值问题.解决面积最值问题的关键是能够根据公式将问题变为长度之积的最值问题，从而利用基本不等式求得结果.
19.【答案】(1)见解析；(2)
【解析】
试题分析：（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，由正三角形性质得PO AD ⊥，由矩形的性质得CO AD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AD ⊥平面POC ，从而可得结论；（2）,,OC OD OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面PBC 的法向量与平面PDC 的法向量，利用空
间向量夹角的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）取AD
中点为O ，连接,PO CO ，PAD ∆为等边三角形，PO AD ∴⊥.底面ABCD 中，
可得四边形ABCO 为矩形，CO AD ∴⊥，0,PO CO AD ⋂=∴⊥平面POC ，PC ⊂平面
,POC AD PC ⊥.又//AD BC ，所以AD PC ⊥.
（2）由面PAD ⊥面,ABCD PO AD ⊥知，PO ∴⊥平面ABCD ，,,OP OD OC 两两垂直，直线PC 与平面PAD 所成角为30，即30CPO ∠=，由2AD =，知PO =
，得1CO =.分别以,,OC OD OP 的方
向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，则(
,P ()0,1,0,D
()()1,0,0,1,1,0C B -，()0,1,0,BC = (
)
()1,0,3,1,1,0PC CD =-=-， 设平面PBC 的法向量为
(),,n x y z =.00
y x =⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，则(
)
3,0,
1n =
，设平面PDC 的法向量为()
,,m x y z =，0
x y x -=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，则(
)
3,3,1m =
，cos ,27m n m n m n
⋅=
==,∴由图可知二面角A SB C --的余弦值.
的
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20.【答案】（1）5
32
；（2）乙品种杨梅的总利润较大. 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图中矩形面积和为1，计算第四组的频率，再求出第三组矩形面积的一半，求和即可求出对应的概率值，再利用独立重复试验概率公式可得结果；（2）根据直方图求随机变量的概率，可得随机变量ξ的分布列，求出乙品种杨梅的总利润的数学期望，与过去种植的甲品种杨梅平均每年的总利润为28万元比较得出结论和建议.
【详解】（1）频率分布直方图中第四组的频率为()11000.0020.0040.0030.1-⨯++= 该地区在梅雨季节的降雨量超过350mm 的概率为500.0030.10.25⨯+= 所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过350mm 的概率为
23
233
31119151444646432
C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或0.15625.） （2）据题意，总利润为()20320.01n n -元，其中500,700,600,400n =. 所以随机变量ξ（万元）的分布列如下表：
故总利润ξ（万元）的期望
270.2350.431.20.322.40.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 5.414.09.36 2.2431=+++=（万元）
因为3128>，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润ξ（万元）的期望更大.
【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.
21.【答案】（1）22
x y 184
+=；
（2）存在定点()Q 0,4满足题意． 【解析】 【分析】
（1）利用已知条件22b c a a ==
，求解a ，b ，即可得到椭圆方程． （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：y ＝kx+1，联立直线与椭圆方程，设A ，B 坐标，假设存在定点Q （0，t ）符合题意，利用韦达定理，把PQA PQB ∠∠=转化为k QA ＝﹣k QB ，求解即可．
【详解】（1）因为过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的弦长为，得2
2b a =，
，
所以c a 2
=得2b 4=，2
a 8=，所以椭圆C 的方程为：22x y 184+=； ()2当直线l 斜率存在时，设直线l 方程：y kx 1=+，
由22x 2y 81
y kx ⎧+=⎨=+⎩得()222k 1x 4kx 60++-=，()22
16k 242k 10=++>，
设()()1221122122
4k x x 2k 1
A x ,y ,
B x ,y ,{6
x x 2k 1
-+=
+-=+，
假设存在定点()Q 0,t 符合题意，
PQA PQB ∠=∠，QA QB k k ∴=-，
()()()()()()211212************QA QB 12121212
x y x y t x x x kx 1x kx 1t x x 2kx x 1t x x y t y t k k x x x x x x x x +-++++-++-+--∴+=
+=== ()
()2k 4t 4k 2k 1t 063
--=+-==-， 上式对任意实数k 恒等于零，4t 0∴-=，即t 4=，()Q 0,4∴． 当直线l 斜率不存在时，A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点()0,2-，()0,2， 显然此时PQA PQB ∠=∠， 综上，存在定点()Q 0,4满足题意
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程和椭圆中的定点问题，及韦达定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
22.【答案】（1）2a =（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a 的值即可；（2）对函数f(x)求导，根据函数单调性得到函数的最大值且最大值大于0，可知函数()f x 有两个零点，根据零点存在性定理可知两个零点121
0x x a
<<<，因为10a e <<
，即1e a >，所以问题转化为只要证明x 1＞2
a
-x 2即可． 【详解】（1）切线的斜率()'11k f a ==-
()1f a =-，()()10
112
f a
k -=
=---
解12
a
a -=-
，得2a = （2）①解()1'0f x a x =-=，得1
x a
=
当10x a <<
时，()'0f x >；当1
x a
>时，()'0f x <， 所以()f x 在1
x a
=
处取得最大值1ln 1f a a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
()10f a =-<，因为10a e <<，所以1ln 10f a a ⎛⎫
=--> ⎪⎝⎭
，()f x 在区间11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，
因为()f x 在区间10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在区间10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
有唯一零点.
由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点.
②不妨设121
0x x a <<
<，作函数()()2F x f x f x a ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，20x a <<，
则10F a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()()2
212'''02ax F x f x f x a x ax -⎛⎫=+-=
≥ ⎪-⎝⎭ 所以()110F x F a ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
，即()1120f x f x a ⎛⎫
-
-< ⎪⎝⎭，()112f x f x a ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
又()()12f x f x =，所以()122
f x f x a ⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
因为1210x x a <<
<，所以1221,,x x a a ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减，
所以
122x x a -<，122
x x a
+> 又10a e <<，1
e a
>，所以122x x e +>
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，综合性较强.。