指数函数单元复习_数学_高中PPT课件

8 3 1 1 10 解(1)原式 ( ) ( ) 2 1; 27 500 5 2 1 2 2 ( ) (500) 2 10( 5 2) 1 3 4 10 5 - 10 5 - 20 1 9 167 9
2
[悟一法]
指数幂化简与求值的原则和要求：
第二章
2.1指数函数复习课
孙建龙 招远市第九中学
考情分析：
指数运算与指数函数性质的应用，是一个重要的 知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必 考内容．
考点突破
知识点一：指数运算
1．根式的性质 n n (1)( a) ＝ a . (2)当 n 为奇数时 an＝ a . n
a a≥0 n n 当 n 为偶数时 a ＝ －a a<0
r s
＋
⑤0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数
r s a ①a a ＝ (a>0，r、s∈ R)； rs ②(ar)s＝ a (a>0 ，r、s∈R)；
③(ab)r＝ a b
r r
(a>0， b>0，r∈ R)．
做一题
例1、计算下列式子的值：
27 3 (1)( ) (0.002) 2 10( 5 2) 1 ( 2 3 ) 0 ; 8 2 1
[解析]
(1)证明：设 x1，x2∈R，且 x1<x2，
22x2－2x1 2 2 则 f(x2) － f(x1) ＝ a － x2 － (a － x1 ) ＝ x2 . 2 ＋1 2 ＋1 2 ＋12x1＋1 ∵x1<x2，∴2x2>2x1>0，∴2x2－2x1>0,又∵2x2＋1>0,2x1＋1>0， ∴f(x2)－f(x1)>0，即 f(x2)>f(x1)． 故不论 a 为何值，f(x)均为增函数．
(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正 指数幂；③化小数为分数；④注意运算的能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母
又有负分数指数幂．
通一类
1 ( 3 1)0 9 4 5 ; 52
＝ 5－2－1－ 5－22 ＝( 5－2)－1－( 5－2) ＝－1.
2
故 b 的取值范围是(－∞，－1]．
[悟一法] 指数函数的综合应用题：考查点多（函数的单调 性、奇偶性、最值）、难度大，综合性较强。需 要我们有扎实的基础知识，灵活的分析问题、寻 找解题方法。
2.函数性质综合应用
通一类 3.设 a 是实数，f(x)＝a－ 2 (x∈R)． x 2 ＋1
(1)证明：不论 a 为何实数，f(x)均为增函数； (2)试确定 a 的值，使 f(x)为奇函数．
从而 y＝ax－a－x 为减函数，所以 f(x)为增函数．
2.函数性质综合应用
a 例 3.已知 f (x )＝ 2 (ax－a－x ) (a>0 且 a≠ 1)． a －1 (1)判断 f (x )的奇偶性； (2)讨论 f (x )的单调性； (3)当 x ∈[－1,1]时， f (x )≥b 恒成立，求 b 的取值范围．
.
2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①零指数幂：a0＝ 1 (a≠0)．
1 － ②负整数指数幂： a p＝ ap
p∈N *)． ③正分数指 数幂： a
m n
( a≠ 0 ，
＝
n
am (a>0 ，
m 、n ∈N*，且 n >1)．
1 ④负分数指数幂： a ＝ a
m n
1
＝ a
m n
n
m
(a>0，m 、n ∈N*，且 n >1)． 指数幂 没有意义 ． (2)实数指数幂的运算性质
知识点二：函数图象与性质的应用
y ＝a x 图像 定义域 值域 (2) (1) R a>1 0<a<1
性质
(0，＋∞) (3)过定点 (0,1) y>1 ；(5)当 x >0 时， 0<y<1； (4)当 x >0 时， x <0 时， 0<y<1 x <0 时， y>1
(6)在 (－∞，＋∞ ) 上是 增函数 (7)在(－∞，＋∞ )上 是 减函数
当 x<0 时，函数 y＝-ax(x<0,0<a<1)的图像在(－∞，0)上 是增函数．
2.函数性质综合应用
(1)判断 f (x )的奇偶性； (2)讨论 f (x )的单调性；
做一题
a 例 3. 已知 f (x )＝ 2 (ax－a－x ) (a>0 且 a≠ 1)． a －1
(3)当 x ∈[－1,1]时， f (x )≥b 恒成立，求 b 的取值范围． 解 (1)因为函数的定义域为 R，所以关于原点对称．
解 析
＝|ax－1|与 y＝2a 有两个交点． 1 ①当 0<a<1 时，如图(1)， ∴0<2a<1即0<a< 2 .
②当 a>1 时，如图(2)，
而y＝2a>1不符合要求．
1 综上，0<a< . 2
图(1)
图(2)
[悟一法]
在解决与指数函数图像有关的问题时: 数形结合思想，分类讨论思想（主要是底数的讨论） 以及图像的变换是我们经常用到的解题方法。
1.图象的应用
xax 2．函数 y＝ (0<a<1)图像的大致形状是 ( |x |
通一类
D
)
解 析
函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且
数在(0，＋∞)上是减函数；
x a ，x>0 xa y＝ ＝ x |x| －a ，x<0 x
.
当 x>0 时，函数是一个指数函数，因为 0<a<1，所以函
又因为 f(－x)＝ a － (a x－ax)＝－f(x)， a －1
2
－x
所以 f(x)为奇函数．
(2)当 a>1 时，a2－1>0，y＝ax 为增函数，y＝a y＝ax－a－x 为增函数，所以 f(x)为增函数， 当 0<a<1 时，a2－1<0， y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数，
为减函数，从而
1.图象的应用
做一题
例 2．若关于 x 的方程 |ax－1| ＝2a (a>0 ， a≠1)有两个不等实根， 则 a 的取值范围是 A．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0,1)
1 2
(
D )
C ．(1，＋∞) D.(0, ) x 方程|a －1|＝2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y
故当 a>0，且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数，
所以在区间[ －1,1] 上为增函数，
a a 1－a 所以 f(x)min＝f(－1)＝ 2 (a－1－a)＝ 2 · ＝－1， a －1 a －1 a 所以要使 f(x)≥b 在[ －1,1] 上恒成立，则只需 b≤－1，