初三三角函数、几何证明

初三期中复习(一)
考点归纳：
一、三角函数
1、运用特殊三角函数值进行计算和化简
2、锐角三角函数间的转化
3、三角函数的实际应用
（一）锐角三角函数之间的几种关系
1.平方和关系：
2.倒数关系：;
3.商的关系：;
4.互余关系：
(二)锐角三角函数值的特殊性质
1.有界性：
2.增减性：若
反之亦然.
(三)坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、方位角等基本概念
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做
俯角
坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡度（或坡比）
设坡角为α，坡度为i，则i=h:l 坡度一般写成1∶m的形式
坡度越大，则坡角越大，坡面就越陡
a,及其夹角 ，拓展：任意三角形的面积公式：对于△ABC，已知两边b
那么有θsin 2
1
⋅=
∆ab S ABC 二、几何证明及计算。

1、线段、角度之间的关系
2、周长及面积的计算
例题解析：
考点一、三角函数的计算 1、31
8330tan )60(sin )2010(+-︒-︒+--π
2、
12009
|3.14π| 3.1412cos 451)(1)2-⎛⎫-+÷+-++- ⎪ ⎪
⎝⎭°
3、
4、已知0°＜α＜45
°，sin cos 16
αα⋅=，则=αsin
︒
-︒︒+︒60tan 45cot 30cot 45tan
5.已知的值.
6.计算：2sin 48°+2sin 42°—tan 44°·tan 45°·tan 46°
7、2sin 1°＋2sin 2°＋···＋2sin 88°＋2sin 89°。

考点二：锐角三角函数性质的应用 1.在下列不等式中，错误的是（ ）
A ．sin45○＞sin30○
B ．cos60○＜cos30○
C ．tan45○＞tan30○
D ．cos30○＜cos60○
2.已知
，则锐角A 的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.若∠A 为锐角，且2
3cos <A ，则∠A 的取值范围是（ ）
（A ） 小于300 （B ）大于300 （C ）大于450且小于600 （D ）大于600
4.若0°＜α＜90°，则α
α
αα22sin 1cos sin cos 1-+-的值为__________
30°
30°H M G
D
E F C
B A
考点三、三角函数的实际应用
6.如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处
挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .
（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据
）.
⑴若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；
⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即
∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？
7． (2013四川内江，20,10分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE 的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A 点处测得树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得树顶端D 的仰角为60°.已知A 点的高度AB 为3米.台阶AC 坡度为1
（即AB ：BC =1
），且B 、C 、E 三点在同一条直线上.请根据以上条件求出树DE 的高度（测倾器的高度忽略不计）.
考点四、几何证明及计算
C
B
A
【例1】 在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，点P 是三角形内的任意一点，PD ⊥BC
于D,PE ⊥AC 于E ， PF ⊥AB 于F ，AB=a ，(1)求证：PD+PE+PF 为定值.(2)求出这个定值。

变式练习：1. 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E DF ⊥AC 于F ，若△ABC 的面积为7，DE=2，AB=4，则AC= .
例2、两个全等的含300、600 角的三角板ADE 和三角板ABC 如图放置，E 、A 、C 三点在同一直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME 、MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由。

变式议练：1.已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=900，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的一动点，且BP=AQ ，D 是BC 的中点。

⑴求证：△PDQ
是等腰直角三角形；
C
⑵点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由。

【例3】在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200,D 、F 分别是AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC,E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长。

【例4】已知∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE=CF.
【例5】△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点D ，过点D 作EF ∥BC,分别交AB 、AC 于点E 、F 两点，若AB=6，AC=5，求△AEF 的周长。

【例6】在四边形ABCD 中，BD>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ，求证: ∠A 与∠C 互补.
F
A D
B C
例7、已知平行四边形的边长分别为6和8，角B的角平分线交DC与点E，求DE的长度。