七(上)第二章轴对称
鲁教版(五四制)七年级上册数学课件第二章3简单的轴对称图形第1课时(鲁教版七年级上·五四制)
灿若寒星
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【规律总结】 角平分线图形结构中的位置及数量关系
如图，OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，DE交OC于点F，
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可以得到以下结论： (1)角之间的相等关系： ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF； ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP； ∠DPO=∠EPO=∠ODF=∠OEF. (2)线段的相等关系： OD=OE，DP=EP，DF=EF. (3)位置关系：OP⊥DE.
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④由△ADB≌△ADC(SAS)，知∠B=∠C，而∠BDE+∠B=90°， ∠CDF+∠C=90°， 所以∠BDE=∠CDF，④正确.
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5.如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的
平分线交BC于点D，若AB=8，DC=2，则
△ABD的面积为________.
【解析】如图，过D作DE⊥AB于E，
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【跟踪训练】
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.
做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，
在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，
使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合.
过角尺顶点C作射线OC.由作法得△MOC≌△NOC的依据是( )
(A)AAS(B)SAS
(C)ASA(D)SSS
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【解析】选D.根据题意，在△MOC和△NOC中，有OM=ON，CM=CN， 还有公共边OC=OC，因此判断△MOC≌△NOC的依据是SSS，故选 D.
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【归纳】1.角是_轴__对__称__图形，_角__平__分__线__所在的直线是它的 对称轴. 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的 _距__离__相__等__.
鲁教版七年级数学上册第二章简单轴对称图形1
于点 D，则△BDC 的周长是（ C ）
A．8
B．9C．ຫໍສະໝຸດ 0D．11巩固新知·垂直平分线与三角形周长
【变式 2-1】如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，△ABC 的周长为 19cm，
△ABD 的周长为 13cm，则 AE 的长为（ A ）
2、如图，在△ABC 中，AC＝4cm，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 N，△BCN
的周长是 7cm，则 BC 的长为（ C ）
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
3、已知如图，在△ABC 中，BC＝8，AB 的中垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则△ADE 的周长等于_____8_____．
4 回顾总结
PART FOUR
5
PART FIVE
达标测评
1、垂直平分线的概念和性质 2、垂直平分线与三角形周长 3、将军饮马问题
1、如图，在△ABC 中 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交线段 BC 于点 E．BC
＝6，AC＝5，则△ACE 的周长是（ D ）
A．14
B．13
C．12
D．11
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解线段垂直平分线的概念和性质. 2.会利用尺规作图作出一条线段的垂直平分线. 3.应用垂直平分线的性质解决“将军饮马”等实际问题.
1
PART ONE
新课导入 唐诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望
烽火，黄昏饮马傍交河．”其中隐含着一个有 趣的数学问题．
图 24.4.10
试一试2
鲁教版七年级上册数学第二章轴对称单元试卷
绝密★启用前鲁教版七年级上册数学第二章轴对称单元试卷注意事项：1．做卷时间100分钟，满分120分 2．做题要仔细，不要漏做 一、单选题1．（3分）下列汽车标志中，不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）将一个正方形纸片依次按图(1),图(2)方式对折,然后沿图(3)中的虚线裁剪,最后将图(4)的纸再展开铺平,所看到的图案是( )A ．B ．C ．D ．3．（3分）下面四个美术字可以看作轴对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．4．（3分）下面的字母，一定不是轴对称图形的是（ ）.A ．B ．C ．D ．5．（3分）如图，等边ABC △的边长为1，,D E 分别是,AB AC 上的点，将ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC △外部，则阴影部分图形的周长是A ．3B ．4C ．5D ．66．（3分）如图，MN 是正方形ABCD 的一条对称轴，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°7．（3分）如图，将长方形ABCD 沿EF 对折，若150∠=︒，则AEF ∠的度数为（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°8．（3分）已知：如图，AOB ∠内一点P ，1P ，2P 分别P 是关于OA 、OB 的对称点，12PP 交OA 于M ，交OB 于N ，若126PPcm =，则PMN ∆的周长是（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm9．（3分）正方形的对称轴条数是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．（3分）如图，弹性小球从点P 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（（如：12∠=∠，34∠=∠））。
当小球第1次碰到长方形的边时的点为Q ，第2次碰到长方形的边时的点为M ，……第2019次碰到长方形的边时的点为图中的（ ）A ．N 点B ．Q 点C ．M 点D ．P 点二、填空题11．（4分）在平行四边形、等腰三角形、矩形、菱形四个图形中是轴对称图形的有__________个.12．（4分）如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有________个．13．（4分）在下列字型的数字中，有两条对称轴的数字是_______________.14．（4分）小明从镜子中看到电子钟显示的时间是20：51，那么实际时间为 ________.15．（4分）如图，点D 、E 分别在ABC ∆纸片的边AB 、AC 上．将ABC ∆沿着DE 折叠压平，使点A 与点P 重合.若68A ︒∠=，则12∠+∠=_____°.16．（4分）如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ¢、C '的位置上，若65EFB ∠=︒，则AED '∠=__________.17．（4分）如图，在ABC △中，点D 为BC 边上一点，点D 关于AB ，AC 对称的点分别为E 、F ，连接EF 分别交AB 、AC 于M 、N ，分别连接DM 、DN ，已知DMN 的周长是6cm ，那么EF =___________.18．（4分）如图，△ABC 的两边AC 和BC 的垂直平分极分别交AB 于D 、E 两点，若AB 边的长为10cm ，则△CDE 的周长为_____cm ．三、解答题19．（7分）如图，已知扇形OAB 与扇形O ′A ′B ′成轴对称，请你画出对称轴．20．（7分）指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．下列两个图形中各选一个小正方形也图上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．22．（7分）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的ABC ∆是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与ABC ∆成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）。
2022七年级数学上册第二章轴对称阶段核心方法等腰三角形中作辅助线常用的八种方法鲁教版五四制
解法三：如图③，在BC上截取CE＝CA，连接DE. 因为CD平分∠ACB，所以∠ACD＝∠ECD. 又因为CD＝CD，所以△ACD≌△ECD(SAS)． 所以AD＝DE，∠BAC＝∠DEC. 因为∠BAC＝2∠B，且易知∠DEC＝∠B＋∠BDE， 所以∠BDE＝∠B.所以DE＝BE， 所以AC＋AD＝CE＋BE＝BC.
所以△ABE≌△PBE(AAS)．所以 BA＝BP. 所以 BC＝CP＋BP＝CE＋AB.
(2)DE⊥DF. 解：因为△BED≌△AFD， 所以∠BDE＝∠ADF. 所以∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°. 所以∠EDF＝90°. 所以DE⊥DF.
2 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于 D，E是AD上一点，且EA＝EC.试说明：EB⊥AB.
解：如图，作EF⊥AC于点F. 因为EA＝EC，所以AF＝FC. 因为AC＝2AB，所以AF＝AB. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAE＝∠FAE. 又因为AE＝AE，所以△ABE≌△AFE(SAS)． 所以∠ABE＝∠AFE＝90°.所以EB⊥AB.
过点 E 分别作 EM⊥BA 交 BA 的延长线于点 M，EN⊥BC 于点 N. 因为 BE 平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，所以 EM＝EN. 因为∠BAC＝100°，所以∠CAM＝180°－100°＝80°.
∠EAM＝∠NDE＝80°， 在△EMA 和△END 中，∠AME＝∠DNE＝90°，
第二章
轴对称
阶段核心方法 等腰三角形中作辅助线常用的八种方法
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答案呈现
1 如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为 BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝ AF.试说明： (1)DE＝DF； (2)DE⊥DF.
鲁教版(五四制)数学-七年级上册-第二章-轴对称-巩固练习(含答案)
鲁教版数学-七年级上册-第二章-轴对称-巩固练习一、单选题1.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角是，那么这个三角形是（）A. 等边三角形B. 含120°角的等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 含30°角的直角三角形2.下列图形中，可近似看成轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.已知等腰三角形的内角是40°，则另外两个内角的度数分别是（）A. 70°，70°B. 70°，70°或40°，100°C. 40°，40°D. 40°，70°4.下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.等腰三角形的顶角为120°，腰长为6，则它底边上的高等于（）A. 3B. 8C. 9D. 76.如图，在中，，，点E在BC的延长线上，的平分线BD与的平分线CD相交于点D，连接AD，则下列结论中，正确的是( )A. B. C. D. AC=AB7.第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.8.如图，已知△ABC中，AB=7，AC=5，BC=3，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条二、填空题9.如图，DE是AB的垂直平分线．（1）已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长________（2）若AD平分∠BAC,AD=AC,则∠C= ________10.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．11.（题文）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=________cm .12.如图，在ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD 平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB．一定成立的结论有________（填序号）.13.在△ABC中，与∠A相邻的外角是140°要使△ABC是等腰三角形，则∠B 的度数是________.14.如图，在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了320m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C，那么，由此可知，B、C两地相距________m．15.如图，分别以线段BC的两个端点为圆心、适当长度（大于BC长的一半）为半径作圆弧，两弧相交于点D和E；作直线DE交BC于点F；在直线DE上任取一点A（点A不与点F重合），连结AB、AC．若AB=9cm，∠C=60 ，则CF的长为________cm.三、解答题16.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．17.△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为54cm2，求DE的长．四、综合题18.如图所示：∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB•的相邻外角的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E．问：（1）图中有几个等腰三角形？为什么？（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明．19.如图，在长方形ABCD中，把△BCD沿对角线BD折叠得到△BED，线段BE与AD相交于点P，若AB=2，BC=4．（1）BD=________；（2）点P到BD的距离是________．20.已知在纸面上有一数轴(如图所示)，（1）操作一：折叠纸面,使1表示的点与-1表示的点重合，回答一下问题：①-2表示的点与________表示的点重合；②π表示的点与________表示的点重合。
七年级数学上册-第二章 轴对称 复习课件-鲁教版(五四学制)
∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，
垂足为D，若ED=5，则CE的长为（ ）
（A）10
（B）8
（C）5
（D）2.5
【解析】选A.因为ED垂直平分BC，所以EB=EC，
在Rt△BDE中，因为∠B=30°，所以EB=2ED=2×5=10，所以
CE=10.
4.已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数
等边三角形
①边：三边都相等； ②角：三个角都相 等，都等于60°； ③重要线段：与等 腰三角形的相同； ④对称性：是轴对 称图形，对称轴有 三条
名称 项目
判定
等腰三角形
①利用定义； ②等角对等边
等边三角形
①利用定义； ②三个内角都相等的三角形是 等边三角形； ③有一个角是60°的等腰三角 形是等边三角形
7.（2012·随州中考）如图，在△ABC中， AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上. 试说明（1）△ABD≌△ACD. （2）BE=CE.
【解析】（1）在△ABD和△ACD中， 因为D是BC的中点，所以BD=CD，因为AB=AC，AD=AD，所以 △ABD≌△ACD（SSS）. （2）由（1）知△ABD≌△ACD，所以∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，
2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等.
3.线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这 条线段两端点的距离相等.
4.等腰三角形、等边三角形的性质和判定.
名称 项目
等腰三角形
性质
①边：两腰相等； ②角：两个底角相等（等边对 等角）； ③重要线段：顶角的平分线、 底边的中线、底边上的高互相 重合（三线合一）； ④对称性：是轴对称图形，对 称轴为顶角的平分线底边的 中线或底边上的高所在的直线
七年级数学利用轴对称进行设计
课题 5.4 利用轴对称进行设计教材分析《利用轴对称进行设计》是七年级上册第二章《轴对称》的第三节.本节主要是通过制作镶边和剪纸活动，让学生进一步理解轴对称及其性质，在此之上，学生动手操作，做出轴对称图形，并利用轴对称大胆创新，设计图案.通过活动让学生体会到数学与生活，与艺术的交融，对培养想象能力与实际操作能力，发展数学思维有重要作用.因此，本节课的重点是利用轴对称进行图案设计.学情分析本节的授课对象是初二学生.从心理特点来看，他们活泼、好动，对直观事物的感知能力强，想象力丰富，正逐步从形象思维过渡到抽象思维;在知识储备上，他们已了解轴对称的相关概念及其性质，已经积累一定数学活动经验，具备一定的动手操作能力与图案设计能力.但他们的学科间融合意识薄弱，活动目的性不强，所以教师的引领点拨提升尤为重要.因此，本节课的难点是利用轴对称自由创新，设计图案.三维目标知识与技能目标：进一步理解轴对称及其性质，利用轴对称进行图案设计.过程与方法目标：学生通过观察猜想、操作验证、分析归纳，经历折叠、剪纸和利用轴对称进行图案设计的过程，积累数学活动经验，发展空间观念.教学重点利用轴对称分析图形的形成过程、进行图案设计，发展学生的空间观念.教学难点从数学角度理解生活中的轴对称现象、进行图案设计.教学方法合作探究导学手段教学课时1课时教学过程及教学内容随堂感悟（一）图案欣赏，感受美剪出一个图案，让学生观察，它是轴对称图形吗？你知道它是怎样设计出来的吗？再让学生欣赏一些剪纸图案.年级：七年级科目：数学主备：备课日期：使用人：（二）动手操作，发现美活动一：（书128页做一做1）活动工具：一张长24cm，宽8cm的纸条、直尺和小刀活动步骤：（1）将它分成每4cm一段；（2）一反一正像“手风琴”那样折叠起来；（3）在折好的纸上画出字母E；（4）用小刀把画出的字母E挖去问题：（1）拉开“手风琴”，你会得到怎样的图案？请你先画出你的猜想，再拉开纸条，和你的猜想一样吗？小组内交流.（2）如果先把纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤.此时会得到什么样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做.同桌两人合作完成后，小组内交流.活动工具：一张长24cm，宽8cm的纸条、直尺和小刀让学生用长24cm，宽8cm的纸条，一反一正象“手风琴”对折，让学生在折好的纸上画出字母E，刻去字母E，要求学生先画出猜想，再拉开“手风琴”纸条，和猜想进行对比.在猜想时，有的学生能猜出来，有的学生猜想不出来，学生猜想的结果也各不相同.（插入图片在学生猜想的基础上，让学生动手拉开后去验证，和刚才的猜想进行比对.活动二：（书128页做一做2）活动工具：一张正方形纸片和剪刀活动步骤：（1）将正方形沿对角线对折，得到一个等腰直角三角形；（2）再沿等腰直角三角形底边上的高对折；（3）将得到的角形纸上画一条黑线，并沿图中的黑线剪开；（4）去掉含90°的部分.问题：（1）打开折叠的纸，你会得到怎样的图案？先画出猜想，再打开验证.（2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称知识试一试，小组内交流.（3）如图：①将正方形纸按上面方式对折3次；②对照图形画上圆弧；③然后沿圆弧剪开；④去掉较小部分.展开后结果又会怎样？为什么？（4）当正方形纸对折2次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3次呢？小组内交流.学生阅读课本128页做一做2，将一张正方形纸按书中要求对折2次，画黑色线，去掉含90°角的部分.先让学生猜想：你会得到怎样的图案？你能画出来吗？接着组织学生动手操作，全班交流.有的学生能猜想出来并画下猜想的图案，有的学生猜不出来，接着对他们进行引导：“你能依据轴对称的性质进行猜想吗？”在刚才活动一的经验基础上，一部分学生会运用性质来画猜想的图案.然后让学生打开自己剪的图形，再次将猜想与操作的结果进行对比，使学生对轴对称的性质再次加深认识.将问题（3）完全交给学生，这里要将正方形对折3次，猜想的难度又增加了，但是由于学生在前面积累了活动和思维的经验，猜想时大多数学生都运用了轴对称的性质，所以正确率提高了许多.问题（4）将学生的思考又加深了一步，让他们将对称轴的条数与折纸的次数的关系进行探索和思考，为后面利用轴对称设计图案奠定基础.学生积极思考得到了如下结论.（三）设计应用，创造美1．首先是一个较为简单的图案设计：试一试你知道下面的图案是怎样剪出的吗？你能剪出类似的图案吗？完成一个作品，并与同伴进行交流.这个设计需要学生先观察到图案是以数字1，2，3，4为基础经过对称得到的，根据这一规律在脑海中勾勒出下一幅图，再利用轴对称将脑海中的图案呈现出来.2．设计生活化的标志：先介绍生活中的各种标志，让学生了解轴对称广泛应用于我们的实际生活中，为下一步进行图案设计提供一些思路启示.同学们也来做一名小小设计师：。
鲁教版七上数学-第二章轴对称综合测评一
第二章轴对称综合测评（一）时间：分钟满分：120分班级：姓名：得分：一、选择题（每小题4分，共32分）1．图1所示的图形中，轴对称图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个图12．下列说法中错误的是（）A．两个关于某直线对称的图形一定能够完全重合B．成轴对称的两个图形，其对应点的连线的垂直平分线是它们的对称轴C．对称图形的对称点一定在对称轴的两侧D．平面上两个能够完全重合的图形不一定关于某直线对称3．下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（）4．下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形底边上的中线就是底边的垂直平分线B．等腰三角形的对称轴是底边上的高C．一条线段可看做是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形D．等腰三角形的对称轴就是顶角平分线5．如图２，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｂ＝７０°，则∠Ｃ的度数是（）Ａ．４０°Ｂ．５０°Ｃ．５５°Ｄ．７０°6. 如图3，如果直线ｌ是多边形ＡＢＣＤＥ的对称轴，其中∠Ａ＝１２０°，∠Ｃ＝１１０°，那么∠Ｅ的度数为（）Ａ．６０°Ｂ．７０°Ｃ．１１０°Ｄ．１２０°7．如图4所示，将一个正方形纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d 的纸再展开铺平，所看到的图案是（）.A B C Da b c d图48．如图5，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，•有下列说法：①点P在∠A的平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的是（）A．全部正确B．仅①②正确C．仅②③正确D．仅①③正确二、填空题（每小题4分，共32分）9.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做，这条直线叫做 .10. 一路发的谐音可以用数字“１６８”表示，其中数字 可以看做是轴对称图形．11. 如图6所示，给出了图案的一半，其中虚线是这个图案的对称轴，则这个图案是＿＿＿＿＿边形.12. 如图7，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．若∠ＢＡＤ＝２０°，则∠Ｃ的度数为 ． 13. 如图8，△ＡＢＣ与△ＡＤＥ关于直线ＭＮ成轴对称，连接ＣＥ交ＭＮ于点Ｆ，∠ＢＡＣ＝９０°， ∠ＤＡＣ＝３０°，ＣＥ＝６，则∠ＣＡＥ的度数为 ，点Ｅ到直线ＭＮ的距离为 ．14. 如图9，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有 种．图9 15. 如图10，四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ分别在ＡＢ，ＢＣ上，将△ＢＭＮ沿ＭＮ翻折，得到△ＦＭＮ．若ＭＦ∥ＡＤ，ＦＮ∥ＤＣ，则∠Ｂ＝ °．16. 如图11，在△ABC 中，AC=BC ，∠B=70°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接AE ，则∠AED 的度数是 °.D E M NABC图11三、解答题（共56分）图8图1017.（6分）由16个相同的小正方形拼成的正方形网格，现将其中的两个小正方形涂黑（如图12）.请你用两种不同的方法分别在图中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.18.（8分）如图13，在正方形网格中有一个△ABC. （1）画△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC 的面积.19.（10分）如图14，在△ABC 中，利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）.①作∠CBD 的平分线BM ；②作边BC 上的中线AE ，与BC 相交于点E.AB CD图1420.（10分）（1）观察图15的①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征； （2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征．（注意：新图案与①～④的图案不能重合）图12图1321.（10分）如图16，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AD平分∠CAB.（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，DA与DE相等吗？为什么？图1622.（12分）如图17，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E,F分别是边AB,AC的中点，且EF∥BC.（1）试说明△AEF是等腰三角形；（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由.（拟题王谦）第二章轴对称综合测评（一）参考答案一、１. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. C 7. D 8. A图15图17二、９．轴对称图形对称轴１０．８１１．八１２．７０°１３．6０°３１４．３１５．８０１６．５０三、１７．解：答案不唯一，给出两种如图1所示.１８．解：（1）如图2所示，△A′B′C′即为所求作三角形.（2）S△ABC=9.１９．解：如图3所示，ＢＭ为∠ＣＢＤ的平分线，ＡＥ为边ＢＣ上的中线．２０. 解：（1）两个共同特征是：①都是轴对称图形；②它们的面积都等于4个小正方形的面积之和. （2）答案不唯一，如图4所示.２１． 解：（１）因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以∠ＣＡＢ＋∠Ｂ＝９０°． 又因为∠Ｂ＝３０°，所以∠ＣＡＢ＝６０°． 因为ＡＤ平分∠ＣＡＢ，所以∠ＣＡＤ＝３０°． （２）相等.理由如下：因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以ＤＣ⊥ＡＥ．又因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＤＣ垂直平分ＡＥ，所以ＤＡ＝ＤＥ． ２２． 解：（1）因为点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，所以AE=21AB ，AF=21AC.又因为AB=AC ，所以AE ＝AF ，所以△AEF 是等腰三角形． （2）DE ＝DF ．理由如下：方法一：因为AD 是等腰三角形ABC 底边上的高，所以AD 也是∠BAC 的平分线．因为△AEF 是等腰三角形，所以AG 是底边EF 上的高和中线，所以AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线，所以DE ＝DF.方法二：因为AD 是等腰三角形ABC 底边上的高，所以BD ＝CD.因为点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，所以BE ＝CF.又因为∠B ＝∠C ，所以△BDE ≌△CDF （SAS ），所以DE ＝DF.。
鲁教版数学七年级上册2.2《探索轴对称的性质》教学设计
鲁教版数学七年级上册2.2《探索轴对称的性质》教学设计一. 教材分析《探索轴对称的性质》这一节内容是鲁教版数学七年级上册第二章第二节的一部分。
本节课的主要内容是让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，探索并掌握轴对称的性质，能够运用轴对称的性质解决一些简单的实际问题。
教材中安排了丰富的素材，引导学生从具体的事物中抽象出轴对称的图形，从而引出轴对称的概念，接着通过大量的实例让学生体会并理解轴对称的性质，最后通过一些练习题让学生巩固所学的内容。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，他们对平面图形的认识已经比较深入，但是对于轴对称的概念和性质可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过具体的实例和操作活动，让学生逐步理解和掌握轴对称的性质。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能够运用轴对称的性质解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在探究过程中体验数学的乐趣，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的概念和性质。
2.难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的实例和操作活动，让学生在实际情境中理解和掌握轴对称的性质。
2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的团队合作意识和问题解决能力。
3.引导发现法：教师引导学生从具体的事物中抽象出轴对称的图形，从而引出轴对称的概念。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、尺子、剪刀、纸张等。
2.学具：学生用书、练习本、剪刀、纸张等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形，如剪纸、对称门等，引导学生观察和思考，引出轴对称的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示一些轴对称的图形，让学生直观地感受轴对称的性质，并引导学生用语言描述轴对称的性质。
2022秋七年级数学上册 第二章 轴对称2.3简单的轴对称图形1线段的垂直平分线及其性质课件 鲁教版
A．25° B．30°
C．35° D．40°
【点拨】因为DE垂直平分AC， 所以AD＝CD，AE＝EC，又因为DE＝DE， 所以△ADE≌△CDE.所以∠A＝∠ACD. 又因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB＝2∠ACD＝100°. 所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－50°－ 100°＝30°.故选B.
作图痕迹是( D )
5 如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC 的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧， BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，所以BD＝AD，AE＝EC.所以△ADE的周长 为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
解：因为AG垂直平分BC，点D在AG上， 所以DB＝DC.
13 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点， 连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)试说明：CF＝AD.
解：因为 AD∥BC，所以∠ECF＝∠ADE. 因为 E 为 CD 的中点，所以 CE＝DE.
∠FEC＝∠AED， 在△FEC 和△AED 中，CE＝DE，
2 【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC＝6，AC＝5， 则△ACE的周长为( B ) A．8 B．11 C．16 D．17
【点拨】因为DE垂直平分AB， 所以AE＝BE. 所以△ACE的周长为AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE ＝AC＋BC＝5＋6＝11. 故选B.
6 【中考·十堰】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分 线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 ____1_9___．
鲁教版七年级数学上册第二章简单的轴对称图形2
4 回顾总结
PART FOUR
5
PART FIVE
达标测评
1、角平分线的角度计算 2、角平分线的性质应用 3、角平分线的作图问题
达标测评1
1、下列各语句中不正确的是（ ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等
巩固新知·角平分线的性质应用
【变式 2-3】如图，AD∥BC，∠ABC 的角平分线 BP 与∠BAD 的角平分线 AP 相 交于点 P，作 PE⊥AB 于点 E．若 PE＝2，则两平行线 AD 与 BC 间的距离为
_____4_____．
巩固新知·角平分线的作图问题
【例 3】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，
【变式 1-3】已知如图，∠B＝∠C＝90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠ CED＝35°，则∠EAB 是__________度．
巩固新知·角平分线的角度计算
【变式 1-3】已知如图，∠B＝∠C＝90°，E 是 BC 的中点，DE 平分∠ADC，∠
CED＝35°，则∠EAB 是__________度．
点 E，BC＝5，DE＝2，则△BCE 的面积等于（ C ）
A．10
B．7
C．5
D．4
达标测评5
5、如图，在△ABC 中，AB＝AC，CD 平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC 的度
数为___7__2_°____．
达标测评5
6、如图，在△ABC 中，∠C＝31°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，如果 DE 垂直平分
定理应用所具备的条件：
鲁教版七年级上第二章轴对称单元测试含答案解析
单元评价检测第二章（45分钟 100分）一、选择题(每小题4分，共28分)1.下列几何图形中，一定是轴对称图形的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是( )(A)13 (B)17 (C)22 (D)17或223.如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是( )(A)∠1=2∠2 (B)2∠1+∠2=180°(C)∠1+3∠2=180°(D)3∠1-∠2=180°4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是( )(A)3 (B)2 (C)√3(D)15.如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处.下面结论错误的是( )(A)AB=BE (B)AD=DC(C)AD=DE (D)AD=EC6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8，将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB，AC交于点D，F，连接BF，则△BCF的周长是( )(A)8 (B)16 (C)4 (D)107.如图，△ABP和△DCP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有以下4个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC；③直线PC⊥AB；④四边形ABCD是轴对称图形.其中正确的结论有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题(每小题5分，共25分)8.自身为轴对称图形的汉字可以组成一些词语，如“苹果”，请你也写出两个这样的词语________.9.如图，镜子中的实际号码是______.10.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是_______.11.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠BAC的平分线为AF，AF与CD交于点E，则△CEF是________三角形.12.如图，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使AD=BE，=________.AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则F GAF三、解答题(共47分)13.(10分)现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图(1)，(2)所示.观察图(1)，图(2)中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形.请在图(3)，图(4)内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征.14.(12分)如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序折叠：对折、展平，得折痕EF(如图①)；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处(如图②)；展平，得折痕GC(如图③)，沿GH折叠，使点C落在DH上的C′处(如图④)；沿GC′折叠(如图⑤)；展平，得折痕GC′，GH(如图⑥).(1)求图②中∠BCB′的大小.(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由.15.(12分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF.(1)试说明△ADE≌△BFE.(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由.16.(13分)如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？答案解析1.【解析】选C.轴对称图形有：扇形、等腰梯形、菱形.2.【解析】选C.①当4为腰时，4+4<9，故此种情况不存在；②当9为腰时，9-4<9<9+4，符合题意，故此三角形的周长=9+9+4=22.3.【解析】选B.因为AB=BC，所以∠1=∠BCA，因为AB=AD，所以∠B=∠2，因为∠1+∠B+∠ACB=180°，所以2∠1+∠2=180°.4.【解析】选B.如图，在Rt△FDB中，因为∠F=30°，所以∠FBD=60°，在Rt△ABC中，因为∠ACB=90°，∠ABC=60°，所以∠A=30°，在Rt△AED中，因为∠A=30°，DE=1，所以AE=2.连接EB.因为DE是AB的垂直平分线，所以EB=AE=2，所以∠EBD=∠A=30°，因为∠ABC=60°，所以∠EBC=30°，因为∠F=30°，所以EF=EB=2.5.【解析】选B.由折叠知AB=BE，AD=DE，∠DEB=∠A=90°，所以∠DEC=∠DEB=90°，由等腰直角△ABC得∠C=45°，所以∠CDE=45°，所以DE=EC，所以AD=EC.6.【解析】选 A.由折叠可得FB=FA，所以△BCF的周长=BC+CF+FB=BC+CF+FA=BC+AC，因为AB=AC，所以△BCF的周长=BC+AB=8.7.【解析】选D.由题意知PB=PC，∠APB=∠AB P=∠BAP=∠DPC=∠DCP=∠CDP=60°，∠PAD=∠PDA=45°，AB=AP=BP=DP=CP=CD，所以∠BPC=360°-60°-60°-90°=150°，所以∠PCB=∠PBC=15°，∠ADC+∠BCD=105°+75°=180°，所以AD∥BC，∠ABC+∠PCB=75°+15°=90°，所以直线PC⊥AB.四边形是轴对称图形，其对称轴为过点P且与AD垂直的直线.所以四个结论都正确.8.【解析】从轴对称的特点出发，具有轴对称性质的字有大、日、田、木、目、中、众、晶、森、林等.组成词语可以为森林、、黄山等.答案：森林、(答案不惟一)9.【解析】因为镜子中的号码与实际号码关于镜面对称，所以实际号码为3265. 答案：326510.【解析】因为OB平分∠ABC，所以∠ABO=∠CBO.因为DE∥BC，所以∠DOB=∠CBO，所以∠DOB=∠ABO，所以BD=DO.同理，CE=EO，则DE=DO+EO=BD+CE，所以△ADE的周长=AB+AC=9，因此，△ADE的周长是9.答案：911.【解析】因为∠CEF=∠AED=90°-∠BAF，∠CFE=90°-∠CAF.又AF平分∠BAC，所以∠BAF=∠CAF，所以∠CEF=∠CFE，所以CE=CF，所以△CEF是等腰三角形.答案：等腰12.【解析】因为AD=BE，所以CE=BD，因为△ABC为等边三角形，所以△CAE≌△BCD，所以∠DCB=∠CAE，所以∠AFG=∠CAF+∠ACF=∠DCB+∠ACF=60°，因为AG⊥CD，所以∠FAG=30°，所以F G AF =12.答案：1213.【解析】图案如图所示：14.【解析】(1)连接BB ′，由折叠知，EF 是线段BC 的对称轴，所以BB ′= B ′C.又因为BC=B ′C ，所以△B ′BC 是等边三角形，所以∠BCB ′=60°. (2)是正三角形.理由如下：由折叠知，GH 是线段CC ′的对称轴， 所以GC ′=GC ，根据题意，GC 平分∠BCB ′， 所以∠GCB=∠GCB ′=12∠BCB ′=30°， 所以∠GCC ′=∠BCD-∠BCG=60°， 所以△GCC ′是正三角形. 15.【解析】(1)因为AD ∥BC ， 所以∠ADE=∠BFE. 因为E 是AB 的中点， 所以AE=BE ， 又∠FEB=∠DEA ，所以△ADE ≌△BFE.(2)EG 与DF 的位置关系是EG ⊥DF.因为∠GDF=∠ADF ，又因为∠ADE=∠BFE ，所以∠GDF=∠BFE ，所以GD=GF.由(1)得，DE=EF ，所以EG ⊥DF.16.【解析】(1)①△BPD ≌△CQP .理由如下：因为t=1秒，所以BP=CQ=3×1=3(厘米)，因为AB=10厘米，点D 为AB 的中点，所以BD=5厘米.又因为PC=BC-BP ，BC=8厘米，所以PC=8-3=5(厘米)，所以PC=BD.又因为AB=AC ，所以∠B=∠C ，所以△BPD ≌△CQP .②因为v P ≠v Q ，所以BP ≠CQ ，又因为△BPD 与△CQP 全等，∠B=∠C ，则BP=PC=4，CQ=BD=5，所以点P ，点Q 运动的时间t=BP 3=43秒， 所以v Q =CQ t =543=154(厘米/秒). (2)设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得154x=3x+2×10，解得x=803秒. 所以点P 共运动了803×3=80厘米. 因为80=2×28+24，所以点P ，点Q 在AB 边上相遇， 所以经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇.。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第二章 轴对称2 探索轴对称的性质-章节测试习题(1)
章节测试题1.【答题】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B 的度数为（）A. 48°B. 54°C. 74°D. 78°【答案】B【分析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．【解答】∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°-78°-48°=54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B=∠B′=54°．选B．2.【答题】如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB//CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据轴对称图形的性质，四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，然后根据内错角相等，两直线平行即可判定AB∥CD，根据等角对等边可得AB=BC，然后判定出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC；只有四边形ABCD是正方形时，AB⊥BC才成立．【解答】∵l是四边形ABCD的对称轴，∴∠CAD=∠BAC，∠ACD=∠ACB，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，AB=BC，故①②正确；又∵l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=CD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，故④正确，∵菱形ABCD不一定是正方形，∴AB⊥BC不成立，故③错误，综上所述，正确的结论有①②④共3个．选C．3.【答题】一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码______．【答案】M17936【分析】根据镜面对称判断即可．【解答】本题是轴对称中的镜面对称问题，水面相当于一个平面镜，∵镜面对称的性质是在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．故答案为：．4.【答题】如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD ＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是______．【答案】130°【分析】根据轴对称的性质判断即可．【解答】∵滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°-150°-40°-40°＝130°．故答案为130°5.【答题】如图，四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，AC=5，DB=7，则四边形ABDC的周长为______【答案】24【分析】根据轴对称的性质判断即可．【解答】∵四边形ABDC的对称轴是AD所在的直线，AC=5，DB=7，∴AB=AC=5，CD=BD=7，∴四边形ABDC的周长=AC+CD+BD+AB=5+7+7+5=24．故答案为24．6.【答题】如图，将一条两边都互相平行的纸带进行折叠，设∠1为45°，则∠2＝______°．【答案】67.5【分析】根据翻折的性质判断即可．【解答】由题意：∠1＝∠3＝45°，由折叠可知：∠4＝∠5＝（180°-45°）＝67.5°，∴∠2＝∠5＝67.5°，故答案为67.5．7.【题文】如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB=15，DE=10，∠D=70°．求∠B的度数及BC、AD的长度【答案】∠B=70°，BC=10、AD=15【分析】根据轴对称的性质解答即可．【解答】∵△ABC和△ADE关于直线l对称，∴AB=AD，BC=DE，∠B=∠D又∵AB=15，DE=10，∠D=70°∴∠B=70°，BC=10，AD=15，答：∠B=70°，BC=10、AD=15．8.【题文】如图，l是该轴对称图形的对称轴．（1）试写出图中二组对应相等的线段：______；（2）试写出二组对应相等的角：______；（3）线段AB、CD都被直线l______．【答案】（1）AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO；（2）∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC；（3）垂直平分．【分析】根据轴对称的性质解答即可．【解答】（1）∵AC与BD，AE与BE，CF与DF，AO与BO是对应线段，∴AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO，故答案为：AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO．（2）∵∠BAC与∠ABD，∠ACD与∠BDC是对应角，∴∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC．故答案为：∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC．（3）∵A与B，C与D是关于直线l的对称点，∴线段AB、CD都被直线l垂直平分，故答案为：垂直平分．9.【答题】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A. 100°B. 90°C. 50°D. 30°【答案】A【分析】【解答】10.【答题】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合．已知AE=3，BE=5，则AD的长为______．【答案】8【分析】【解答】11.【答题】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称．（1）△ABC______△A′B′C′．（2）A点的对称点是______，C′点的对称点是______．（3）连接BB′交l于点M，连接AA′交l于N，可得BM=______，AA′与BB′的位置关系是______．（4）直线l______AA′．【答案】（1）≌；（2）A'C；（3）B'M平行；（4）垂直平分.【分析】【解答】12.【题文】如图，在方格纸中画出△ABC关于l对称的△A′B′C′．【答案】略.【分析】【解答】13.【题文】例1 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D，C分别在M，N的位置上．若∠EFG=55°，求∠1和∠2的度数．【答案】见解答.【分析】根据两直线平行内错角相等可得∠DEF=∠EFG，再根据翻折的性质和平角的定义列式计算可求出∠1，然后根据两直线平行同旁内角互补列式计算即可求出∠2．本题考查平行线的性质、翻折变换的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．【解答】∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFG=55°．由翻折的性质得∠DEF=∠MEF，∴∠1=180°-55°×2=70°．∵AD∥BC，∴∠2=180°-∠1=180°-70°=110°．14.【题文】例2 如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=44°，∠BAD=28°．将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．【答案】见解答.【分析】（1）由折叠可得∠BAD=∠DAE=28°，即∠BAE=56°．根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，可求∠AFC的度数．（2）根据三角形内角和定理可得∠ADB＝108°，从而可求∠ADF的度数．由折叠可得∠ADE＝∠ADB=108°，从而可得∠EDF的度数．本题考查翻折问题、三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求角的大小是解题的关键．【解答】（1）由折叠的性质得∠BAD=∠DAE=28°，∴∠BAE=56°．∵∠AFC=∠ABC+∠BAE，∴∠AFC=44°+56°=100°．（2）由折叠的性质可得∠ADB=∠ADE．∵∠ADF是△ABD的外角，∴∠ADF＝∠B+∠BAD．∵∠B=44°，∠BAD=28°，又∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°，∴∠ADF=44°+28°＝72°，∠ADB=∠ADE=180°-44°-28°=108°．∵∠ADE=∠EDF+∠ADF，∴∠EDF=∠ADE-∠ADF=108°-72°=36°．15.【答题】下列说法正确的是（）A. 若两个图形关于某条直线对称，则对称点一定在这条直线的两侧B. 若两个图形关于某条直线对称，则对称点在这条直线上C. 全等的两个图形一定成轴对称D. 成轴对称的两个图形一定全等【答案】D【分析】【解答】16.【答题】如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EC，ED为折痕，折叠后点A′，B′，E在同一直线上，则∠CED的度数为（）A. 90°B. 75°C. 60°D. 95°【答案】A【分析】【解答】17.【答题】如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于M，交OB于N．若CD＝18cm，则△PMN的周长为______cm．【答案】18【分析】【解答】18.【答题】如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°．将其折叠，使点A落在边BC上A1处，折痕为CD，则∠A1DB=______°．【答案】10【分析】【解答】19.【题文】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点）以及过格点的直线l．（1）将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的三角形；（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形；（3）∠C+∠E＝______．【答案】【分析】【解答】（1）△A'B'C'即为所求．（2）△D'E'F'即为所求．（3）45°．20.【题文】如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；（2）求AA1的长度．【答案】【分析】【解答】（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）AA1的长度为10．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第二章 轴对称1 轴对称现象-章节测试习题(24)
章节测试题1.【答题】下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C【分析】根据轴对称图形及对称轴的定义求解．【解答】第一个是轴对称图形，有2条对称轴；第二个是轴对称图形，有2条对称轴；第三个是轴对称图形，有2条对称轴；第四个是轴对称图形，有3条对称轴；∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；选C．2.【答题】正方形的对称轴的条数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【分析】根据正方形的对称性解答．【解答】正方形有4条对称轴．选D．3.【答题】正方形是轴对称图形，它的对称轴有（）A. 2条B. 4条C. 6条D. 8条【答案】B【分析】正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，由此可知其对称轴．【解答】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．选B．4.【答题】下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，找到各选项中的对称轴即可．【解答】A、有一条对称轴，故本选项正确；B、没有对称轴，故本选项错误；C、有两条对称轴，故本选项错误；D、有两条对称轴，故本选项错误；选A．5.【答题】下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（）A. 13B. 11C. 10D. 8【答案】B【分析】根据轴对称及对称轴的定义，分别找到各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案．【解答】第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11．选B．6.【答题】下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A. 等边三角形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】D【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，分别判断出各图形的对称轴条数，继而可得出答案．【解答】A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴；选D．7.【答题】如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A. 1条B. 2条C. 4条D. 8条【答案】C【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：所给图形有4条对称轴．选C．8.【答题】娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（）A. 圆B. 等边三角形C. 矩形D. 等腰梯形【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可．【解答】A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误．选C．9.【答题】正方形是轴对称图形，它的对称轴共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】D【分析】正方形既是矩形，又是菱形，具有矩形和菱形的轴对称性，由此可知其对称轴．【解答】正方形的对称轴是两对角线所在的直线，两对边中点所在的直线，对称轴共4条．选D．10.【答题】下列图形中，对称轴有且只有3条的是（）A. 菱形B. 等边三角形C. 正方形D. 圆【答案】B【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】A、有2条对称轴，即对角线所在的直线，不符合题意；B、有三条对称轴，即三边的垂直平分线，符合题意；C、有4条对称轴，即两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，不符合题意；D、有无数条对称轴，即过圆心的每一条直线，不符合题意．选B．11.【答题】下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）A. 圆B. 正六边形C. 正方形D. 等边三角形【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】A、有无数条对称轴；B、有六条对称轴；C、有四条对称轴；D、有三条对称轴．选D．12.【答题】如图，正五边形共有（）条对称轴．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【分析】根据正五边形的对称性，顶点与对边中点所在的直线即为对称轴．【解答】解：如图所示，共有5条对称轴．选C．13.【题文】如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．【答案】见解答．【分析】本题考查轴对称的概念，有多种画法，答案不唯一，本题要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，∴观察此图就要着重画图中那一个小正方形的轴对称图形．【解答】解：参考图如下图：说明：如果补成轴对称图形，但添加不止一个小正方形，给2分．14.【题文】如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确画出它的一条对称轴（保留画图痕迹）．【答案】【分析】根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可．【解答】解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．15.【题文】一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有______条对称轴；（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：______．【答案】见解答．【分析】（1）根据凸六边形进行画图，然后猜想即可；（2）根据题意画出图形，再结合轴对称图形的定义进行分析即可；（3）根据（1）中所得的数据可得答案．【解答】解：（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，故答案为：1，2，3或6；（2）不可以．理由如下：根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l1，l2，其中l1经过A和CD的中点．若l2⊥l1，则l2与五边形ABCDE的两个交点关于l1对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；若l2不垂直于l1，则l2关于l1的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．∴凸五边形不可以恰好有两条对称轴．（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．16.【综合题文】在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：17.【答题】一个等边三角形的对称轴有______条．【答案】3【分析】根据对称轴：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．对称轴绝对是一条点化线，可得答案．【解答】解：如图：一个等边三角形的对称轴有3条，故答案为：3．18.【答题】任写一个对称轴条数不低于3条的几何图形：______．【答案】圆【分析】根据轴对称图形的定义及性质求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：对称轴条数不低于3条的几何图形有圆，等边三角形；故答案为：圆．19.【答题】等边三角形是一个轴对称图形，它有______条对称轴．【答案】3【分析】根据轴对称图形和对称轴的概念求解．【解答】解：等边三角形是一个轴对称图形，它有3条对称轴．故答案为：3．20.【答题】如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有______条．【答案】5【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：五角星的对称轴共有5条，故答案为：5．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级上册第二章 轴对称本章综合与测试-章节测试习题
章节测试题1.【答题】下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】【解答】2.【答题】如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC. 以点B为圆心、BC为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A. AE＝ECB. AE=BEC. ∠EBC=∠BACD. ∠EBC＝∠ABE【答案】C【分析】【解答】3.【答题】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠2=40°，则∠1的度数为（）A. 115°B. 120°C. 130°D. 140°【答案】A【分析】【解答】4.【答题】已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）A. 15°或75°B. 140°C. 40°D. 140°或40°【答案】D【分析】【解答】5.【答题】如图，直线EF垂直平分BC，且BD=5，BF=4，则△BCD的周长为（）A. 9B. 14C. 18D. 20【答案】C【分析】【解答】6.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A. 18°B. 24°C. 30°D. 36°【答案】A【分析】【解答】7.【答题】如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA=2，则PQ的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】【解答】8.【答题】如图，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，点B，E，C在一条直线上知下列结论：①BD是∠ABE的平分线；②AB⊥AC；③∠C=30°；④线段DE是△BDC的中线；⑤AD+BD=AC. 其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【分析】【解答】9.【答题】如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB．若EC=2，则EF=______．【答案】4【分析】【解答】10.【答题】已知（a-1）2+|b-2|=0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为______．【答案】5【分析】【解答】11.【答题】在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AC于点D，连接BD．若CD=BC，∠A=35°，则∠C=______．【答案】40°【分析】【解答】12.【答题】如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E 点．若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=______cm．【答案】16【分析】【解答】13.【题文】（10分）请在以下三个网格图中各补画一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．【答案】【分析】【解答】所补画的图形如图所示．14.【题文】（12分）如图，已知AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC于点E，ED的延长线交CA的延长线于点F．求证：△ADF是等腰三角形．【答案】【分析】【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥BC，∴∠FEB=∠FEC=90°．∵∠B+∠EDB=∠C+∠EFC=90°，∴∠EFC=∠EDB．∵∠EDB=∠ADF，∴∠EFC=∠ADF．∴△ADF是等腰三角形．15.【题文】（12分）如图，点C是线段AB上除点A，B外的任意一点，分别以AC，BC 为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD 交CE于N，连接MN．（1）求证：AE=BD；（2）求证：MN∥AB．【答案】【分析】【解答】（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°．∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB，∴AE=BD．（2）由（1）得△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN．∵∠ACD=∠ECB=60°，而A，C，B三点共线，∴∠DCN=60°．在△ACM和△DCN中，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC=NC．∵∠MCN=60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC=∠DCN=60°，∴∠NMC=∠DCA，∴MN∥AB．16.【题文】（14分）在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，点E，图1、图2、图3是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间的有怎样的大小关系，并以图2为例加以说明；（2）△PBE是否能构成等腰三角形？若能，指出所有的情况（求出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．【答案】【分析】【解答】（1）PD=PE．证明如下：如图，连接PC．∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°．又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°，∴∠DPC=∠EPB，∴△DPC≌△EPB（ASA）．∴PD=PE．（2）能．①当EP=EB时，．②当EP=PB时，若点E在BC上，则点E和C重合，CE=0．③当BE=BP时，若点E在BC上，则；若点E在CB的延长线上，则．17.【答题】下列四个图案中，轴对称图形的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】【解答】18.【答题】如图，将正方形纸片三次对折后，沿AB剪掉一个等腰直角三角形，则展开铺平得到的图形是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】【解答】19.【答题】如图，AD是△ABC的角平分线，∠C=20°，AB+BD=AC. 将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为E，那么∠AED等于（）A. 80°B. 60°C. 40°D. 30°【答案】C【分析】【解答】20.【答题】如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（）A. 6cm2B. 8cm2C. 16cm2D. 不能确定【答案】B 【分析】【解答】。
七年级数学上册第二章轴对称达标检测卷鲁教版五四制
第二章达标检测卷一、选择题(本大题共12道小题,每小题3分,共36分)1．下面所给的图形是轴对称图形的是( )2．如图,弹性小球从点P出发,沿所示方向运动,每当小球碰到长方形的边时反弹,反弹时入射角等于反射角(即∠1＝∠2,∠3＝∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点,第2次碰到长方形边上的点记为B点,……第2 020次碰到长方形边上的点为图中的( ) A．A点B．B点C．C点D．D点3．如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,若∠A＝50°,∠C＝20°,则∠B′的度数为( ) A．110° B．70° C．90° D．30°4．下列说法正确的是( )A．等腰三角形的一个角的平分线是它的对称轴B．有一个内角是60°的三角形是轴对称图形C．等腰直角三角形是轴对称图形,它的对称轴是斜边上的中线所在的直线D．等腰三角形有3条对称轴5．如图,A,B,C三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( )A．AC,BC两边上的高的交点处 B．AC,BC两边上的中线的交点处C．AC,BC两边垂直平分线的交点处 D．∠A,∠B两内角平分线的交点处6．如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A＝60°,∠ABD＝24°,则∠ACF的度数为( )A．48° B．36° C．30° D．24°7．小明和哥哥并排站在镜子前,小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图所示,那么哥哥球衣上的号码实际是( )A．25 B．52 C．55 D．228．如图,将长方形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线CD按箭头方向向下对折,然后剪下一个小三角形．将纸片打开,则打开后的图形是( )9．如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC的长为5,腰AB的垂直平分线交AB于点D,交AC 于点E,连接BE,则△BEC的周长为( )A．11 B．12 C．13 D．1410．如图所示的轴对称图形中,对称轴的总数量是( )A．16条 B．15条 C．14条 D．13条11．如图,3×3方格图中,将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形共有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．如图,四边形ABCD中,∠C＝50°,∠B＝∠D＝90°,E,F分别是BC,DC上的点,当△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°二、填空题(本大题共6道小题,每小题3分,共18分)13．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,BC＝6,AC＝8,AB＝10,动点P在边AB上运动(不与端点重合),点P关于直线AC,BC对称的点分别为P1,P2.则在点P的运动过程中,线段P1P2的长的最小值是________．14．在等腰三角形ABC中,AB＝AC,腰AB上的高与AC的夹角为40°,则该等腰三角形顶角的度数为____________．15．如图,在△ABC中,AB＝3,AC＝4,BC＝5,EF是BC的垂直平分线．点P是EF上的动点,则|PA －PB|的最大值为________．16．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,点E,F为AD上的两点,若△ABC的面积为12,则图中阴影部分的面积是________．17．如图,在Rt△ABC中,∠B＝90°,AD平分∠BAC,交边BC于点D,如果BD＝2,AC＝7,那么△ADC 的面积等于________．18．如图,∠ABC＝30°,点D是∠ABC内的一点,且DB＝9,若点E,F分别是射线BA,BC上异于点B 的动点,则△DEF的周长的最小值是________．三、解答题(本大题共7道小题,19－21题每题8分,22－24题每题10分,25题12分,共66分) 19．作图题：(不写画法,保留作图痕迹)如图,在小河的同旁有甲、乙两个村庄,现计划在河岸AB上建一个水泵站,向甲、乙两村供水,用以解决村民用水问题．(1)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的距离相等,请你在图①中,确定水泵站M在河岸AB上建造的位置；(2)如果要求水泵站到甲、乙两个村庄的供水管道使用的材料最省,请你在图②中,确定水泵站M在河岸AB上建造的位置．20．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC,∠BAD＝40°,AD＝AE.求∠CDE的度数．21．如图,在等边三角形ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,作BO,CO的垂直平分线分别交BC于点E和点F.小明说：“E,F是BC的三等分点．”你同意他的说法吗？请说明理由．22．如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AE＝CE.试说明：(1)△AEF≌△CEB；(2)∠ABF＝2∠FBD.23．如图,在四边形ABCD中,AC与BD互相垂直平分,垂足为点O.(1)四边形ABCD是不是轴对称图形？如果是,它的对称轴是什么？(2)图中有哪些相等的线段？(3)作出点O到∠BAD两边的垂线段,并说明它们的大小关系．24．如图,在△ABC中,AB＝AC＝2,∠B＝40°,点D在线段BC上运动(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE＝40°,DE交线段AC于点E.(1)当∠BDA＝115°时,∠BAD＝________°,∠DEC＝________°,点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变________．(填“大”或“小”)(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE？请说明理由．(3)在点D的运动过程中,是否存在△ADE是等腰三角形的情形？若存在,请直接写出此时∠BDA的度数；若不存在,请说明理由．25．如图,已知等腰△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝120°,AD⊥BC于D,点P是BA延长线上一点,点O 是线段AD上一点,OP＝OC.(1)求∠APO＋∠DCO的度数；(2)试说明：AC＝AO＋AP.答案一、1.A 2.D3．A 【点拨】因为△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,所以∠B′＝∠B.因为∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°,所以∠B′＝110°.4．C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.C10．B 【点拨】图①有4条对称轴,图②有3条对称轴,图③有4条对称轴,图④有4条对称轴,所有图形共有15条对称轴．11．C 【点拨】将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆,使整个图形为轴对称图形,这样的轴对称图形如图所示,共有3个．12．D【点拨】如图,作A关于BC和CD的对称点A′,A″,连接A′A″,交BC于E,交CD 于F,连接AE,AF,则A′A″的长即为△AEF的周长的最小值．连接AC.因为∠ABC＋∠BCA＋∠BAC＝180°,∠ADC＋∠DCA＋∠DAC＝180°,∠ABC＝90°,∠ADC＝90°,∠BCA＋∠DCA＝50°,所以∠BAC＋∠DAC＝130°,即∠DAB＝130°.所以∠A′＋∠A″＝180°－∠DAB＝50°.又易知∠A′＝∠EAA′,∠FAD＝∠A″,所以∠EAA′＋∠A″AF＝50°.所以∠EAF＝130°－50°＝80°.二、13.9.6 【点拨】如图所示,连接CP.因为点P 关于直线AC ,BC 对称的点分别为P 1,P 2, 所以P 1C ＝PC ＝P 2C . 所以线段P 1P 2的长等于2CP .当CP ⊥AB 时,CP 的长最小,此时线段P 1P 2的长最小． 因为∠ACB ＝90°,BC ＝6,AC ＝8,AB ＝10, 所以CP ＝AC ·BCAB＝4.8. 所以线段P 1P 2的长的最小值是9.6.14．50°或130° 【点拨】当顶角为锐角时,如图①,CD ⊥AB ,∠CDA ＝90°,∠ACD ＝40°, 所以∠A ＝90°－∠ACD ＝90°－40°＝50°；当顶角为钝角时,如图②,CE ⊥AB 交BA 的延长线于点E ,∠CEA ＝90°,∠ACE ＝40°,所以∠CAE ＝90°－∠ACE ＝90°－40°＝50°. 所以∠BAC ＝180°－50°＝130°.15．3 【点拨】如图,延长BA 交EF 于P ′,此时|PA －PB |的值最大, 则|P ′A －P ′B |＝AB ＝3.16．6 【点拨】因为AB ＝AC ,AD ⊥BC , 所以△ABC 关于直线AD 对称． 所以S △BEF ＝S △CEF . 因为△ABC 的面积为12,所以图中阴影部分的面积＝12S △ABC ＝6.17．7 【点拨】过点D 作DE ⊥AC 于点E . 因为AD 平分∠BAC ,所以DE ＝BD ＝2. 所以S △ADC ＝12AC ·DE ＝12×7×2＝7.18．9 【点拨】如图所示,作D 关于BA ,BC 的对称点M ,N .连接BM ,BN ,MN ,则当E ,F 是MN 与BA ,BC 的交点时,△DEF 的周长最短,最短的值是MN 的长． 因为D ,M 关于BA 对称, 所以BM ＝BD ,∠ABM ＝∠ABD . 同理可得∠NBC ＝∠DBC ,BN ＝BD . 所以∠MBN ＝2∠ABC ＝60°,BM ＝BN . 所以△BMN 是等边三角形． 所以MN ＝BM ＝BD ＝9.所以△DEF 的周长的最小值是9. 三、19.解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．20．解：因为AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以AD 平分∠BAC .所以∠CAD ＝∠BAD ＝40°.因为AD ＝AE ,所以∠ADE ＝12(180°－∠CAD )＝70°.因为AD ⊥BC ,所以∠ADC ＝90°.所以∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－70°＝20°.21．解：同意．理由如下：如图,连接OE ,OF .由题意,知BE ＝OE ,CF ＝OF ,∠OBC ＝∠OCB ＝30°,所以∠BOE ＝∠OBC ＝30°,∠COF ＝∠OCB ＝30°,∠BOC ＝120°.易得∠EOF ＝60°,∠OEF ＝60°,∠OFE ＝60°.所以△OEF 是等边三角形．所以OE ＝OF ＝EF .所以EF ＝BE ＝CF .所以E ,F 是BC 的三等分点．22．解：(1)因为AD ⊥BC ,CE ⊥AB ,所以∠AEF ＝∠CEB ＝90°,∠AFE ＋∠EAF ＝90°,∠CFD ＋∠ECB ＝90°.又因为∠AFE ＝∠CFD ,所以∠EAF ＝∠ECB .在△AEF 和△CEB 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠AEF ＝∠CEB ，AE ＝CE ，∠EAF ＝∠ECB ，所以△AEF ≌△CEB (ASA )．(2)由△AEF ≌△CEB ,得EF ＝EB ,所以∠EBF ＝∠EFB .在△ABC 中,AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以BD ＝CD .所以FB ＝FC .所以∠FBD ＝∠FCD .因为∠EFB ＝180°－∠BFC ＝∠FBD ＋∠FCD ＝2∠FBD ,所以∠EBF ＝2∠FBD ,即∠ABF ＝2∠FBD .23．解：(1)四边形ABCD 是轴对称图形,对称轴是AC 所在直线和BD 所在直线．(2)相等的线段有：AB ＝BC ＝CD ＝AD ,AO ＝OC ,OB ＝OD .(3)如图,分别过点O 作OE ⊥AD 于点E ,OF ⊥AB 于点F .易知AO 平分∠BAD ,又因为OE ⊥AD ,OF ⊥AB ,所以OE ＝OF .24．解：(1)25；115；小(2)当DC ＝2时,△ABD ≌△DCE .理由如下：因为DC ＝2,AB ＝2,所以DC ＝AB .因为AB ＝AC ,∠B ＝40°,所以∠C ＝∠B ＝40°.因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝∠DAC ＋∠C ,∠DEC ＝180°－∠AED ＝∠DAC ＋∠ADE ,且∠C ＝40°,∠ADE ＝40°,所以∠ADB ＝∠DEC .在△ABD 和△DCE 中,⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠DEC ，∠B ＝∠C ，AB ＝DC ，所以△ABD ≌△DCE (AAS )．(3)存在．∠BDA ＝110°或∠BDA ＝80°.25．解：(1)连接BO ,如图①所示．因为AB ＝AC ,AD ⊥BC ,所以BD ＝CD .所以OB ＝OC .所以∠DBO＝∠DCO.又因为OP＝OC,所以OB＝OP.所以∠APO＝∠ABO.所以∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABC. 因为∠BAC＝120°,AB＝AC,所以∠ABC＝∠ACB＝30°,所以∠APO＋∠DCO＝30°；(2)过点O作OH⊥BP于点H,如图②所示．因为∠BAC＝120°,AB＝AC,AD⊥BC,所以∠HAO＝∠CAD＝60°.又因为OH⊥BP,所以∠OHA＝90°.所以∠HOA＝30°.所以AO＝2AH.因为BO＝PO,OH⊥BP,所以BH＝PH.又因为HP＝AP＋AH,所以BH＝AP＋AH.又因为AB＝BH＋AH,所以AB＝AP＋2AH.又因为AB＝AC,AO＝2AH,所以AC＝AP＋AO.。
鲁教版七年级数学上【课件】2 探索轴对称的性质
答：分别相等
合作交流探究新知
做一做：
右图是一个轴对称图形：
对称轴
（1）你能找出它的对
A
称轴吗?
（2）连接点A与点A1的 线段与对称轴有什么关 系？连接点B与点B1的 线段呢？
连接的线段被对称轴垂直平分
合作交流探究新知
（3）线段AD与线段A1D1有 什么关系？线段BC与B1C1呢？ 为什么？
答：相等
（4）∠1与∠2有什么关 系? ∠ 3与∠4呢？说说 你的理由？
答：相等
合作交流探究新知
综合以上问题，你能得到什么结论？
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分
A'
2.对应线段相等
C'
A C
3.对应角相等
B' B
课堂小结布置作业 小结：
通过这堂课的学习，你掌握了轴对称的哪些性质？
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.对应线段相等,对应角相等
这条直线就是对称轴
合作交流探究新知
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔 尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
合作交流探究新知
（1）两个“14”有什么关系？ 答：关于直线l对称 （2）设折痕所在直线为l，连结点E和E′的
线段和l有什么关系？点F和F′呢？都被直线l
垂直平分
（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？
第二章 轴对称
2 探索轴对称的性质
课堂导入
思考：
温故 知新
轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两
旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫这个图形的对称轴。
轴对称:对于两个图形，把一个图形沿着某一条直线对 折，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这
巧用轴对称解决最短路线问题
巧用轴对称解决最短路线问题
作者：于胜军
来源：《中学生数理化·教与学》2018年第01期
第一，几何模型见鲁教版初中数学七年级上册第二章第48页.
原题：如图1，直线l是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮水，然后再到B地军营视察.那么，他走什么样的路线行程最短呢？
解析：作点A（或B）关于直线l的对称点A′（或B′），连接A′B（或AB′）交直线l于点P，连接AP，其最短路线为A-P-B.
第二，模型应用.
1.轴对称的知识解决四边形中的最短路线问题
变式1：如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE.P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是多少？
分析：利用点B关于AC的对称点D进行求解.
解：如图2，连接DE交AC于点P，此时PB+PE的值最小.由轴对称得PB+PE=DE.在
Rt△DAE中，AE=2，BE=6，AD=AE+BE=8.由勾股定理得DE=10，即PB+PE的最小值为10.
2.轴对称的知识解决圆中的最短路线问题
分析：作点D关于直径AB的对称点D′求解.
3.轴对称的知识解决函数中的最短路线问题
（1）求该函数的解析式.
（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.
（1）求这条抛物线的函数表达式.
（2）已知在对称轴上存在一点P，使△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
（2）连接AC，BC.因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小.B 点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=-1的交点即为所求的点P.
由待定系数法可知直线AC的表达式为y=-23x-2.。