2019高考(押题)数学一轮复习 第11章 计数原理和概率 第2课时 排列与组合练习 理

第2课时排列与组合
1．若A2n3＝10A n3，则n＝( )
A．1 B．8
C．9 D．10
答案 B
解析原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.
2．(2017·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )
A．10 B．16
C．20 D．24
答案 C
解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A52＝20种坐法．
3．(2017·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种B．10种
C．18种D．20种
答案 B
解析分两类：第一类是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C41＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C42＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．
4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A．324 B．328
C．360 D．648
答案 B
解析首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A92＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A41A81A81＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．
5．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )
A．A55·A42种B．A55·A52种
C．A55·A62种D．A77－2A66种
答案 A
解析先排大人，有A55种排法，再排小孩，有A42种排法(插空法)．故有A42·A55种不同的排法．6．(2018·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )
A．60种B．20种
C．10种D．8种
答案 C
分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果．
解析根据题意，可分两步：
第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；
第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C53＝10(种)情况．
故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C.
解题技巧破解此类题的关键点：一是“定元”，确定要求不相邻的元素及其个数；二是“插空”，先排无位置要求的几个元素(注意是“有序”还是“无序”)，再把规定不相邻的元素插入无位置要求的元素的两端和元素之间的空位；三是“计数”，根据两个计数原理求出不同的排列总数．
易错提醒本题的易错点有两处：一是“有序”“无序”识别不清，如本题，先安排四盏不亮的路灯时误以为“有序”，得到A44种不同的排法，导致结果出错；二是插入的空位漏算头尾两处，导致出错．7．(2014·四川，理)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种B．216种
C．240种D．288种
答案 B
解析根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．
第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；
第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．
所以共有120＋96＝216种方法．
8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有( )
A．288个B．240个
C．144个D．126个
答案 B
解析对个位是0和个位不是0两类情形分类计算；对每一类情形按“个位——最高位——中间三位”分步计数：①个位是0并且比20 000大的五位偶数有1×4×A43＝96个；②个位不是0并且比20 000大的五位偶数有2×3×A43＝144个；故共有96＋144＝240个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
9．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是( )
A．20种B．19种
C．10种D．9种
答案 B
解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A52，error拼写错误的种数为A52－1＝19.
10．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为( )
A．56 B．63
C．72 D．78
答案 D
解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.
11．(2018·沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有( )
A．24 B．28
C．36 D．48
答案 D
解析分类计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分．
(1)当红红之间有蓝时，则有A22A42＝24种；
(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C31＝24种．
因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法．故选D.
12．安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和10月2日的不同的安排方法共有__________种．
答案 2 400
解析共有A52A55＝2 400种不同的安排方法．
13．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．
答案200
解析分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200种．
14．(2017·沧州七校联考)由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．
答案210
解析若个位数和百位数是0，8，则方法数是A22A82＝112；若个位数和百位数是1，9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C71C71＝98，故总数是112＋98＝210.
15．(2017·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．
答案180
解析从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180.
16．用0，1，2，…，9十个数字组成五位数，其中3个奇数与2个偶数且数字不重复的五位数有________个．答案11 040
解析一类：含有数字0：C53C41C41A44＝3 840.
二类：没有数字0：C53C42A55＝7 200.
由分类加法计数原理得：共有11 040.
17．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求
(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？
(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？
答案(1)24 (2)30
解析(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24种．
(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的不同选法种数为C42C42－C42＝30种．
18．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？
(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
答案(1)100 800个(2)14 400个(3)5 760个
解析(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；
第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况；
第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800个．
(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14 400个．
(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760个．
1．(2018·广东佛山一中月考)以正六边形的顶点和中心为三角形的顶点，可以构造不同的三角形的个数为( )
A．35 B．32
C．30 D．27
答案 B
解析从7个点中选3个点有C73种情况，其中三点共线的情况有3种，故可以构造不同的三角形的个数为C73－3＝32.
2．(2018·山东师大附中模拟)甲、乙、丙三人轮流值日，从周一到周六每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可以排出不同的值日表有( )
A．50种B．72种
C．48种D．42种
答案 D
解析C41·C42·C22＋C42·C32·C22＝42，故选D.
3．某电视台从录制的5个新闻报道和4个人物专访中选出5个，准备在7月1日于7月5日中每天播出一个，若新闻报道不少于3个，则不同的播出方法共有( )
A．81种B．810种
C．9 600种D．9 720种
答案 D
解析(C53C42＋C54C41＋C55)·A55＝9 720种．
4．(2017·山东师大附中模拟)从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种B．80种
C．100种D．140种
答案 A
解析从9名医生中任选3名有C93＝84种，都是男医生和都是女医生的有C53＋C43＝14种，男、女医生都有的选法为84－14＝70种．
5．(2016·四川)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )
A．24 B．48
C．60 D．72
答案 D
解析C31×A44＝72.选D.
6．(名师原创)“整治裸官”“小官巨贪”“拍蝇打虎”“境外追逃”“回马枪”成为2016年中国反腐的5个焦点．某大学新闻系学生用2017年元旦的时间调查社会对这些热点的关注度，若准备按顺序分别调查其中的4个热点，则“整治裸官”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为________．
答案72
解析先从“小官巨贪”“拍蝇打虎”“境外追逃”“回马枪”这4个热点中选出3个，有C43种不同的选法；在调查时，“整治裸官”安排的顺序有A31种可能情况，其余三个热点顺序有A33种，故不同调查顺序的总数为C43A31A33＝72.
7．(2017·天津)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
答案 1 080
解析一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C41C53A44＝960(个)，四个数字都是奇数的四位数有A54＝120(个)，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有960＋120＝1 080(个)．
8．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法．(用数字作答)
答案660
解析分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C84－C64＝55种不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有A42＝12种不同的选法．根据分步乘法计数原理知共有55×12＝660种不同的选法．。