高考数学二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文

第1讲 坐标系与参数方程
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.
真 题 感 悟
1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.
解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
.
由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).
由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12
|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪
⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
当α＝－π
12时，S 取得最大值2＋ 3.
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.
2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)，
直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t
(t 为参数).
(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.
曲线C 的标准方程是x 2
9
＋y 2
＝1，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2
＝1，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－21
25，y ＝2425
.
则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).
则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |
17，
其中tan φ＝3
4
.
又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.
考 点 整 合
1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设
M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，⎩
⎪⎨⎪
⎧ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y
x （x ≠0）.
2.直线的极坐标方程
若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0
－α).
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；
(3)直线过M ⎝
⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；
(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；
(3)当圆心位于M ⎝
⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.
4.直线的参数方程
经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).
设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →
的数量. 5.圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ
(θ为参数，
0≤θ≤2π).
(2)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2
＋(y －2)2
＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；
(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π
4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.
解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，
C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝π4代入ρ2
－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2
－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.
由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为1
2
.
【迁移探究1】 本例条件不变，求直线C 1与曲线C 3交点的极坐标.
解 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π
4，解之得θ＝π
4且ρ＝－2 2. 所以直线C 1与曲线C 3交点的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－22，π4. 【迁移探究2】 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程.
解 ∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上，
∴(－ρ)2
＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，
故所求圆C 2关于极点的对称圆方程为ρ2
＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.
探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2
＝x 2
＋y 2
，tan θ＝y x
(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.
2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【训练1】 (2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2
＝2ρcos θ. ∴x 2
＋y 2
＝2x ，则(x －1)2
＋y 2＝1， ∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆.
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心. ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径，因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2. 热点二 参数方程及其应用
【例2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C ：x 24＋y 2
9＝1，直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝2－2t (t 为参数).
(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数).
直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.
(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
d ＝
5
5
|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝4
3
.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为
225
5
； 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为25
5
.
探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
【训练2】 (2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ
为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22
t (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值. 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2
2
t ，y ＝22t (t 为参数)，
消去参数t ，得x ＋y －1＝0.
曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，
y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，
利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2
－4y ＝0.
令ρ2
＝x 2
＋y 2
，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2
－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.
由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1. 热点三 极坐标与参数方程的综合应用
【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧x ＝3cos α，
y ＝sin α
(α
为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解 (1)C 1的普通方程为x 2
3＋y 2
＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).
因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.
又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，
最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12.
探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.
2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.
【训练3】 (2017·哈尔滨模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)，以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4.
(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6
与曲线C 交于
O ，P 两点，求△PAB 的面积.
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.
普通方程为(x －2)2＋y 2
＝4.
从而曲线C 的极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，
∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.
(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，
联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，
∴|AB |＝2，
∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋π6＝2 3.
1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.
3.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，
t 的几何意义是P 0P →
的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意
两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为1
2
(t 1＋t 2).
1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2
(t 为参数)，
曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2
，
y ＝22s
(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的
最小值.
解 由⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2
消去t .
得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，
因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2
，22s ).
则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2
－42s ＋8|5＝2（s －2）2
＋4
5，
∴当s ＝2时，d 有最小值
4
5
＝455.
2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知
曲线的极坐标方程为ρ＝2
1－sin θ.
(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2
＋y 2
，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝
2
1－sin θ
化为ρ－ρsin θ＝2，
∴曲线的直角坐标方程为x 2
＝4y ＋4.
(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，
根据题意，不妨设P (θ0，ρ0)，则Q (θ＋π，ρ1)，且ρ0＝3ρ1，即2
1－sin θ0
＝
3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π
6， 直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π
6
(ρ∈R ).
3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝kt (t 为参数)，直线
l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线
C .
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.
解 (1)由l 1：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝kt (t 为参数)消去t ，
化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2
－y 2
＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2
－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2， 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2
－y 2
＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32
2，
y ＝－2
2，
∴ρ2＝x 2＋y 2
＝184＋24
＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.
4.(2017·新乡三模)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0). (1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和. 解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.
故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2k －1，y ＝2k
2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫
k 为参数，且k >12. (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2
＝4ρcos θ，∴x 2
＋y 2
＝4x . 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2
2k －1，y ＝2k 2k －1
代入x 2
＋y 2
＝4x 整理得k 2
－4k ＋3＝0，
∴k 1＋k 2＝4.
故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.
5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t
(t 为参数，a >0).
在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在
C 3上，求a .
解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2
＋(y －1)2
＝a 2
，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组
⎩
⎪⎨⎪⎧ρ2
－2ρsin θ＋1－a 2
＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2
＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2
θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2
＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.
a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.
所以a ＝1.
6.(2017·乐山二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ(t 为
参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α，圆C 的圆心到直线l 的距离为3
2.
(1)求θ的值；
(2)已知P (1，0)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求
1
|PA |＋1|PB |的值. 解 (1)由直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ(t 为参数，0≤θ<π)，消去参数t ，得x sin
θ－y cos θ－sin θ＝0.
圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α，即ρ2
＝－4ρcos α. 可得圆C 的普通坐标方程为x 2
＋y 2
＋4x ＝0，
可知圆心为(－2，0)，圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|－2sin θ－sin θ|
sin 2θ＋cos 2
θ＝3sin θ. 由题意：d ＝32，即3sin θ＝32，则sin θ＝1
2，
∵0≤θ<π， ∴θ＝π6或θ＝5π
6
.
(2)已知P (1，0)，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，
y ＝t sin θ代入
圆C 的普通坐标方程x 2＋y 2
＋4x ＝0，
得(1＋t cos θ)2
＋(t sin θ)2
＋4(1＋t cos θ)＝0， ∴t 2
＋6t cos θ＋5＝0.
设A ，B 对应参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－6cos θ，t 1·t 2＝5， ∵t 1·t 2>0，t 1，t 2是同号. ∴1
|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝33
5.。