人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试题

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元同步练习试题
一、选择题
1．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．CP 平分∠BCD
B ．四边形 ABED 为平行四边形
C ．CQ 将直角梯形 ABC
D 分为面积相等的两部分
D ．△ABF 为等腰三角形 2．如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，对角线AC 、BD 交于点O ，
E 是线段BO 上一动点，
F 是射线DC 上一动点，若∠AEF ＝120°，则线段EF 的长度的整数值的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 的中点，BE DP ⊥的延长线于点E ，连接AE ，过点A 作FA AE ⊥交DP 于点F ，连接BF 、FC.下列结论中：ABE ①≌ADF ；PF EP EB =+②；BCF ③是等边三角形；ADF DCF ④∠∠=；APF CDF S
S .=⑤其
中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④⑤
D ．①③⑤
4．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点(且点P 不与点B 、C 重合)，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点.设AM 的长为x ，则x 的取值范围是( )
A ．4≥x ＞2.4
B ．4≥x≥2.4
C ．4＞x ＞2.4
D ．4＞x≥2.4
5．如图，正方形纸片ABCD ，P 为正方形AD 边上的一点(不与点A ，点D 重合)．将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接,,BP BH BH 交EF 于点M ，连接PM ．下列结论：①BE PE =；
②BP EF =；③PB 平分APG ∠；④PH AP HC =+；⑤MH MF =，其中正确结论的个数是( )
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
6．如图，分别以Rt ACB ∆的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE ．给出下列结论：
①CE BG =；
②EC BG ⊥
③22222FG BF BD BC +=+
④222222BC GE AC AB +=+其中正确的是（ ）
A ．②③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
7．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD ＝12AC ，M 、N 、P 分别是OA 、OB 、CD 的中点，下列结论：
①CN ⊥BD ；
②MN ＝NP ；
③四边形MNCP 是菱形；
④ND 平分∠PNM ．
其中正确的有（ ）
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4 个
8．如图，在菱形ABCD 中，5AB cm =，120ADC =∠︒，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1/cm s ，点F 的速度为2/cm s ，经过t 秒DEF ∆为等边三角形，则t 的值为（ ）
A ．34
B ．43
C ．32
D ．53
9．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②△APD 一定是等腰三角形；③AP ⊥EF ；
④22
PD=EF ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①③④
B ．①②③
C ．①③
D ．①②④
10．如图，正方形ABCD 中，延长CB 至E 使2CB EB =，以EB 为边作正方形EFGB ，延长FG 交DC 于M ，连接AM ，AF ，H 为AD 的中点，连接FH 分别与
AB ，AM 交于点,N K ．则下列说法：①ANH GNF △≌△；②DAM NFG ∠=∠；③2FN NK =；④:2:7AFN DMKH S S =△四边形．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．
12．如图，正方形ABCD 中，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．
13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．
14．如图，在矩形ABCD 中，∠ACB =30°，BC =3E 是边BC 上一动点（点E 不与B ，C 重合），连接AE ，AE 的中垂线FG 分别交AE 于点F ，交AC 于点G ，连接DG ，GE ．设AG =a ，则点G 到BC 边的距离为_____（用含a 的代数式表示），ADG 的面积的最小值为_____．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
16．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
18．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．
19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，
AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若1n =，
①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；
②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．
（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN
的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；
（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF
的值为_______（结果用含n 的式子表示）．
22．如图，四边形OABC 中，BC ∥AO ，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）当t 为何值时，四边形BNMP 为平行四边形？
（2）设四边形BNPA 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =；
（2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ
AM . 24．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，
3AB =． （1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ：
①若522
CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =
； （2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最
小值．
25．如图①，已知正方形ABCD 的边长为3，点Q 是AD 边上的一个动点，点A 关于直线BQ 的对称点是点P ，连接QP 、DP 、CP 、BP ，设AQ =x ． （1）BP ＋DP 的最小值是_______，此时x 的值是_______；
（2）如图②，若QP 的延长线交CD 边于点M ，并且∠CPD =90°．
①求证：点M 是CD 的中点；②求x 的值．
（3）若点Q 是射线AD 上的一个动点，请直接写出当△CDP 为等腰三角形时x 的值．
26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．
①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．
27．已知E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 上的点，AF ，DE 相交于点G ，当E ，F 分别为边BC ，CD 的中点时，有：①AF=DE ；②AF ⊥DE 成立．
试探究下列问题：
（1）如图1，若点E 不是边BC 的中点，F 不是边CD 的中点，且CE=DF ，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）
（2）如图2，若点E ，F 分别在CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE=DF ，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE 和BF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．
28．点E 在正方形ABCD 的边BC 上，点F 在AE 上，连接FB ，FD ，∠ABF=∠AFB ． （1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF ；
（2）如图2，过点F 作垂线交AB 于G ，交DC 的延长线于H ，求证：DH=2 AG ； （3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC 的长．
29．如图①，在ABC 中，AB AC =，过AB 上一点D 作//DE AC 交BC 于点E ，以E 为顶点，ED 为一边，作DEF A ∠=∠，另一边EF 交AC 于点F ．
（1）求证：四边形ADEF 为平行四边形；
（2）当点D 为AB 中点时，ADEF 的形状为 ；
（3）延长图①中的DE 到点,G 使,EG DE =连接,,,AE AG FG 得到图②，若,AD AG =判断四边形AEGF 的形状，并说明理由．
30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．
（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；
（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；
（3）当325
t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；
B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；
C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．
D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；
【详解】
解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，
，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，
，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故D选项结论正确；
连接QD，
在△BCQ和△DCQ中，
，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S△BCQ=S△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故C选项结论不正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．
【详解】
解：如图，连结CE
，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF ＝∠EFC ，
∴CE ＝EF ，
∴AE ＝EF ，
∵AB ＝4，∠ABE ＝30°，
∴在Rt △ABO 中，AO ＝2，
∵OA ≤AE ≤AB ，
∴2≤AE ≤4，
∴AE 的长的整数值可能是2，3，4，即EF 的长的整数值可能是2，3，4．
故选：C ．
【点睛】
考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE ≌△CBE ．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB AD =，再根据同角的余角相等求出BAE DAF ∠∠=，再根据等角的余角相等求出ABE ADF ∠∠=，然后利用“角边角”证明ABE ≌ADF ；根据全等三角形对应边相等可得AE AF =，判断出AEF 是等腰直角三角形，过点A 作AM EF ⊥于M ，根据等腰直角三角形点的性质可得AM MF =，再根据点P 是AB 的中点得到AP BP =，然后利用“角角边”证明APM 和BPE 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE AM =，EP MP =，然后求出PF EP EB =+；根据全等三角形对应边相等求出DF BE AM ==，再根据同角的余角相等求出DAM CDF ∠∠=，然后利用“边角边”证明ADM 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==；再求出CD CF ≠，判定BCF 不是等边三角形；求出CF FP >，AM DF =，然后求出APF CDF S
S <．
【详解】
在正方形ABCD 中，AB AD =，DAF BAF 90∠∠+=， FA AE ⊥，
BAE BAF 90∠∠∴+=，
BAE DAF ∠∠∴=，
BE DP ⊥，
ABE BPE 90∠∠∴+=，
又
ADF APD 90∠∠+=，BPE APD(∠∠=对顶角相等)，
ABE ADF ∠∠∴=，
在ABE 和ADF 中，
BAE DAF AB AD
ABE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ABE ∴≌()ADF ASA ，故①正确；
AE AF ∴=，BE DF =，
AEF ∴是等腰直角三角形，
过点A 作AM EF ⊥于M ，则AM MF =，
点P 是AB 的中点，
AP BP ∴=，
在APM 和BPE 中，
90BPE APD BEP AMP AP BP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
APM ∴≌()BPE AAS ，
BE AM ∴=，EP MP =，
PF MF PM BE EP ∴=+=+，故②正确；
BE DF =，FM AM BE ==，
AM DF ∴=，
又
ADM DAM 90∠∠+=，ADM CDF 90∠∠+=，
DAM CDF ∠∠∴=，
在ADM 和DCF ， AD DC DAM CDF AM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ADM ∴≌()DCF SAS ，
CF DM ∴=，ADF DCF ∠∠=，CFD DMA 90∠∠==，故④正确； 在Rt CDF 中，CD CF >，
BC CD =，
CF BC ∴≠，
BCF ∴不是等边三角形，故③错误；
CF DM DF FM EM FM EF FP ==+=+=≠，
又AM DF =，
APF CDF S S ∴<，故⑤错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选B ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出
AM=1
2
EF=
1
2
AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】
解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=1
2
EF=
1
2
AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=1
2
×6×8=
1
2
×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角
形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=1
2 AP．
5．B
解析：B
【分析】
①③利用正方形的性质、翻折不变性即可解决问题；
②构造全等三角形即可解决问题；
④如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．证明△ABP≌△QBP（AAS），以及△BCH≌△BQH 即可判断；
⑤利用特殊位置，判定结论即可；
【详解】
解：根据翻折不变性可知：PE＝BE，故①正确；
∴∠EBP＝∠EPB．
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH−∠EPB＝∠EBC−∠EBP．
即∠PBC＝∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∴∠APB＝∠BPH，即PB平分APG
，故③正确；
如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．
∵∠FKB＝∠KBC＝∠C＝90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KF＝BC＝AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠ABP＋∠BEO＝90°，∠BEO＋∠EFK＝90°，∴∠ABP＝∠EFK，
∵∠A＝∠EKF＝90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF＝BP，故②正确，
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB ＝∠BPH ，
在△ABP 和△QBP 中，
∠APB ＝∠BPH ，∠A ＝∠BQP ，BP ＝BP ，
∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．
∴AP ＝QP ，AB ＝BQ ．
又∵AB ＝BC ，
∴BC ＝BQ ．
又∵∠C ＝∠BQH ＝90°，BH ＝BH ，
∴△BCH ≌△BQH （HL ）
∴QH=HC ，
∴PH=PQ+QH=AP+HC ，故④正确；
当点P 与A 重合时，显然MH ＞MF ，故⑤错误，
故选：B ．
【点睛】
本题考查正方形的性质、翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题属于中考选择题中的压轴题．
6．C
解析：C
【分析】
利用SAS 证明△AGB ≌△ACE ，即可判断①；证明∠BNM=∠MAE=90︒，即可判断②；假设③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC =BC ，而AC 与BC 不一定相等，即可判断③；利用勾股定理证得2222BC EG BE CG +=+，从而证得结论④成立．
【详解】
∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴AC=AG ，AB=AE ，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，
在△AGB 和△ACE 中，
∵AG AC GAB CAE AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△AGB ≌△ACE(SAS)，
∴GB=CE ，故①正确；
设BA 、CE 相交于点M ，
∵△AGB ≌△ACE ，
∴∠GBA=∠CEA ，
又∵∠BMN=∠EMA ，
∴∠BNM=∠MAE=90︒，
∴EC BG ⊥，故②正确；
设正方形ACFG 和正方形ABDE 的边长分别为a 和b ,
∵ACB 为直角三角形，且AB 为斜边，
∴22222AB AC b a BC -=-=，
假设22222FG BF BD BC +=+成立，
则有()22222a a BC b BC ++=+，
整理得：()2222a BC b a =-，即2a BC BC =，
∴a BC =，即AC BC =，
∵AC 与BC 不一定相等，
∴假设不成立，故③不正确；
连接CG ，BE ，设BG 、CE 相交于N ，
∵EC BG ⊥，
∴222222222222BC EG BN NC EN NG BN EN NC NG BE CG +=+++=+++=+， ∵四边形ACFG 和四边形ABDE 都是正方形，
∴222BE AB =，222CG AC =，
∴222222BC EG AB AC +=+，故④正确；
综上，①②④正确，
故选：C ．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
证出OC ＝BC ，由等腰三角形的性质得CN ⊥BD ，①正确；证出MN 是△AOB 的中位线，得MN ∥AB ，MN ＝12AB ，由直角三角形的性质得NP ＝12
CD ，则MN ＝NP ，②正确；周长四边形MNCP 是平行四边形，无法证明四边形MNCP 是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND ＝∠PND ，则ND 平分∠PNM ，④正确；即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，BC ＝AD ，OA ＝OC ＝
12AC ， ∵AD ＝12
AC ， ∴OC ＝BC ，
∵N 是OB 的中点，
∴CN ⊥BD ，①正确；
∵M 、N 分别是OA 、OB 的中点，
∴MN 是△AOB 的中位线，
∴MN ∥AB ，MN ＝
12AB ， ∵CN ⊥BD ，
∴∠CND ＝90°，
∵P是CD的中点，
∴NP＝1
2
CD＝PD＝PC，
∴MN＝NP，②正确；
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
又∵NP＝PC，MN＝NP，
∴MN＝PC，
∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；
∵MN∥CD，
∴∠PDN＝∠MND，
∵NP＝PD，
∴∠PDN＝∠PND，
∴∠MND＝∠PND，
∴ND平分∠PNM，④正确；
正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
连接BD，证出△ADE≌△BDF，得到AE=BF，再利用AE=t，CF=2t，则BF=BC-CF=5-2t求出时间t的值．
【详解】
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AB=AD，∠ADB=1
2
∠ADC=60°，
∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，
又∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=∠DEF=60°，又∵∠ADB=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，
AD BD
A DBC
ADE BDF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ADE≌△BDF(ASA)，∴AE=BF，
∵AE=t，CF=2t，
∴BF=BC−CF=5−2t，
∴t=5−2t
∴t=
5
3
，
故选：D.
【点睛】
本题考查全等三角形，等边三角形，菱形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质为解题关键．
9．C
解析：C
【分析】
过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE 后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，
DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得
2
2
DP EC
=，即可得到答案．
【详解】
证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB ，FP=GF-GP=AB-GB ，
∴AG=PF ，
∴△AGP ≌△FPE ，
∴AP=EF ；故①正确；
延长AP 到EF 上于一点H ，
∴∠PAG=∠PFH ，
∵∠APG=∠FPH ，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP ⊥EF ；故③正确；
∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD 是等腰三角形，
除此之外，△APD 不是等腰三角形，故②错误．
∵GF ∥BC ，
∴∠DPF=∠DBC ，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC ，
∴在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，
EC =，故④错误． ∴正确的选项是①③；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
10．A
解析：A
【分析】
根据正方形的性质，以及中点的性质可得△FGN ≌△HAN ，即证①；利用角度之间的等量关系的转换可以判断②；根据△AKH ∽△MKF ，进而利用相似三角形的性质即可判断③；设AN=12AG=x ，则AH=2x ，FM=6x ，根据△AKH ∽△MKF 得出2163
AH x MF x ==，再利用三角形的面积公式求出△AFN 的面积，再利用DHKM ADM AKH S S
S =-即可求出四边形DHKM
的面积，作比即可判断④．
【详解】 ∵四边形EFGB 是正方形，CE=2EB ，四边形ABCD 是正方形
∴G 为AB 中点，∠FGN=∠HAN=90°，AD=AB
即FG=AG=GB=12
AB
又H 是AD 的中点 AH=
12
AD ∴FG=HA 又∠FNG=∠HNA
∴△FGN ≌△HAN ，故①正确；
∵∠DAM+∠GAM=90°
又∠NFG+∠FNG=90°
即∠FNG=∠GAM
∵∠FNG+∠NFG+90°=180°
∠AMD+∠DAM+90°=180°
∠FNG=∠GAM=∠AMD
∴DAM NFG ∠=∠，故②正确；
由图可得：MF=FG+MG=3EB
△AKH ∽△MKF ∴
13
KH AH KF MF == ∴KF=3KH
又∵NH=NF 且FH=KF+KH=4KH=NH+NF
∴NH=NF=2KH
∴KH=KN
∴FN=2NK ，故③正确；
∵AN=GN 且AN+GN=AG
∴可设AN=12
AG=x ，则AH=2x ，FM=6x 由题意可得：△AKH ∽△MKF 且相似比为：
2163AH x MF x == ∴△AKH 以AH 为底边的高为：
11242x x ⨯= ∴212
AFN S AN FG x =⨯⨯= 112225DHKM ADM AKH S S S AD DM AH x =-=⨯⨯-⨯⨯ 211172422222
x x x x x =⨯⨯-⨯⨯= ∴2:7
AFN DHKM S S =，故④正确； 故答案选择A ．
【点睛】
本题考查了矩形、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，难度较大，需要熟练掌握相关基础知识．
二、填空题
11．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12
EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为52 故答案为
52
． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
12．2【分析】
作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．
【详解】
∵AE 是DAC ∠的角平分线，
∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '
由轴对称可以得到PQ P Q '=，
∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，
如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，
∴4DP '=，
由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，
在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=
+=+==．
故答案是：42．
【点睛】
本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP '去求解．
13．3﹣
322
【分析】 作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE 的长，根据勾股定理可得BE 的长，设AE ＝x ，证明△ABE ≌△EQF （AAS ），得FQ ＝BE ＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D 作DH ⊥AE 于H ，过E 作EM ⊥AD 于M ，连接DE ，
∵EF ⊥AE ，DF ⊥EF ，
∴∠DHE ＝∠HEF ＝∠DFE ＝90°，
∴四边形DHEF 是矩形，
∴DH ＝EF ＝AE ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B ＝∠BAD ＝90°，
∵∠AME ＝90°，
∴四边形ABEM 是矩形，
∴EM ＝AB ＝2，
设AE ＝x ，
则S △ADE ＝
11AD EM AE DH 22
⋅=⋅， ∴3×2＝x 2，
∴x ，
∵x ＞0，
∴x ，
即AE ，
由勾股定理得：BE ，
过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，
∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，
∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，
∴∠FEQ ＝∠BAE ，
∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，
∴△ABE ≌△EQF （AAS ），
∴FQ ＝BE ，
∴PF ＝2，
∴S △ADF ＝
1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2
． 【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
14．42a - 【分析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB =2，AC =4，从而得CG 的长，作辅助线，构建矩形ABHM 和高线GM ，如图2，通过画图发现：当GE ⊥BC 时，AG 最小，即a 最小，可计算a 的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B =90°，
∵∠ACB =30°，BC =，
∴AB =2，AC =4，
∵AG =a ，
∴CG=4a
-，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=1
2
CG=
4
2
a
-
，
则点G到BC边的距离为4
2
a
-
，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH=
4
2
2
a
-
-=
2
a
，
∴S△ADG
113
23
222
a a
AD MG
=⋅=⨯⨯=，
当a最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴4
2
a
a -
=，
∴
4
3
a=，
∴△ADG 3423
3
=，
故答案为：4
2
a
-
，
23
3
．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
15．72；
【分析】
连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，
∵O是正方形DBCE的对称中心，
∴BO=CO，∠BOC=90°，
∵FO⊥AO，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，
∴∠AOC=∠FBO，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO，
在△AOC和△FOB中，
AOC FOB
AO FO
ACO FBO
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AOC≌△FOB（ASA），
∴AO=FO，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°=14×
2
2
=2
故答案为72．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．
16．16或10
【分析】
等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=16，AD=BC=18．
分两种情况讨论：
（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形
（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠A=90°
又GH∥AD，
∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形AGHD是矩形，
∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，
又B'D=B'C，
∴DH＝HC＝18
CD ，AG=DH=8，
3
∵AE=3，
∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，
EG=AG-AE=8-3=5，
在Rt△EGB'中，由勾股定理得：
GB′＝22
13512，
∴B'H=GH×GB'=18-12=6，
在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D＝22
6810
+=
综上，DB'的长为16或10．
故答案为： 16或10
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．17．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F 为正方形ABCD 的对角线的交点，CF ⊥DF ，
此时CF 最小，
此时CF=12AG=22； 故答案为：22．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
18．5
【分析】
先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12
MN FC =
即可． 【详解】
∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，
∴四边形BCEF 是矩形，
∵1PE =，
∴3CE =，
连接FM FC 、，如图所示：
∵四边形ABCP 是正方形，
∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，
∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，
∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，
又∵N 是FC 中点，12MN FC =
， ∵225FC BF BC =+=
∴ 2.5MN =，
故答案为：2.5 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在
于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
19．2 【解析】 【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB 为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB ∥FC ，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴22112FG GC FC =+=+=，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ===， ∴22223122BF BC CF =-=-=．
∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅=⨯=．
故答案为：102.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2）21n ；（3）241n -
【分析】
（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．
②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题． （3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD 是矩形，n=1，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵AF ⊥DE ，
∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF ，
∴△ADE ≌△BAF （ASA ），
∴AE=BF ；
②结论：AG=BF+AE ．
理由：如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，
由（1）可知AE=BK ，
∵AH=AD ，AK ⊥HD ，
∴∠HAK=∠DAK ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DAK=∠AKG ，
∴∠HAK=∠AKG ，
∴AG=GK ，
∵GK=GB+BK=BF+AE ，
∴AG=BF+AE ；
（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，
当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF
的值最大， 当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值()222na 1a n +=+，
当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，
∴ME NF 的最大值21a n +⋅21n +， 21n +；
（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，。