高中数学素材——多角度审视等差数列

多角度审视等差数列
某某省利津县第一中学 胡彬 257400
我们在审视等差数列时,不应该仅仅局限于教材上的等差数列定义,若是这样就会造成思维上的局限性,在思考许多等差数列问题时,使得本来很直接的问题,却抓不住问题的本质,需要拐弯抹角才能达到目的.而实际上看待等差数列这一定义应该是多方面的,比如可以用通项公式、前n 项和公式及等差中项公式来定义等差数列.只有吃透这些定义才能透过表面抓本质.下面我们先用不同的方式来定义等差数列,然后再来看看在这些定义下如何去观察问题.
一. 用数列任意连续两项定义等差数列.
这种定义方式就是课本上的定义:一般的,如果一个数列从第二想起,每一项与前一项的差都是同一个常数.那么这个数列就叫做等差数列,其中常数为公差d .如用符号可表示为:-n a ()()d a a N n n d a n n n =-∈≥=+*-11,2或常数.对于这种定义方式是我们最熟悉,也是最常用的,在此就不过多的探讨.
二. 用数列的通项公式定义等差数列.
等差数列的通项公式为()d n a a n 11-+=即d a dn a n -+=1,从这一公式出发我们可以这样来定义等差数列:一个数列为等差数列的充要条件是通项公式n a 是关于n 的一次函数如()为常数不为零即公差且为公差其中B ,0A ,A d d B An a n ≠+=或通项公式n a 是一个常数函数如()为常数为零此时公差C ,C d a n =.
例1.已知数列{}n a 的通项公式为99631,14a a a a n a n +⋅⋅⋅+++-=求.
解:由通项公式为14-=n a n 的形式可得出:该数列是一个公差为4,首项为3的等差数列. 于是99631,,a a a a ⋅⋅⋅也是一个等差数列,其首项为3, 公差为8,共11项.
所以 99631a a a a +⋅⋅⋅+++=4738553382
1011311=⋅+=⋅⨯+⨯ 三. 用数列的前n 项和公式定义等差数列. 等差数列的前n 项和公式为()d n n na S n ⋅-+
=211即n d a n d S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2212,从这一公式出发我们可以这样来定义等差数列:一个数列为等差数列的充要条件是前n 项和公式是关于
n 的二次函数如Bn An S n +=2⎪⎭
⎫ ⎝⎛≠不为零即公差且为其中d d 0A ,2A 或=n S Cn ()为常数为零此时公差C ,d .在理解这一定义时,千万要注意公差0≠d 的情况,比如
数列的前n 项和公式为n n S n 522-=,则可断定该数列为公差为4的等差数列,但如果数列
的前n 项和公式为1522+-=n n S n ,则该数列就不是等差数列了,就因为多了一个常数项1.
例2. 已知数列{}n a 的前n 项和公式为.,33,322n a n n S n n 求且=+=
解:由数列{}n a 的前n 项和公式为n n S n 322+=的形式可得出:该数列是一个公差为4,首
项为5(
)531211=+⋅==S a 的等差数列. 于是可得数列的通项公式()14415+=-+=n n a n ,而33=n a
83314==+∴n n 可得.
四. 用等差中项公式来定义等差数列.
我们知道三个数c b a ,,为等差数列的充要条件是这三个数满足等差中项公式:c a b +=2. 那么一个数列{}n a 为等差数列的充要条件是该数列任意连续三项都满足等差中项公式即()*++∈+=N n a a a n n n 212.
例 3. 已知各项不相等的数列{}n a 满足:()
*++∈+=N n a a a n n n 212,且该数列的第二、第三、第六项成等比数列,求其公比.
解:由各项不相等的数列{}n a 满足:()
*++∈+=N n a a a n n n 212,可知该数列是一个公差d 不为零的等差数列.
而该数列的第二、第三、第六项成等比数列,即所求公比q 可表示为:
233623a a a a a a q --===. 由等比定理可知332336
==--=d
d a a a a q . 我们在此用了四种方式定义了等差数列,同样也可以用多种方式去审视等比数列.。