基于弹塑性理论的梁的载荷位置的优化设计

第一章 MSC.Marc软件和弹塑性增量简介
1.1弹塑性增量理论简介
在实际生活中，很多受力部件不是仅仅发生塑性变形塑性就被界定为不安全不稳定的受力部件。

实际生活中很多受力部件都是在弹塑性情况下被利用的。

所以很多部件再利用前都要经过一定的处理。

塑性是材料产生永久变形的能力,弹塑性材料进入塑性的特征是当荷载卸去以后存在不可恢复的永久变形,因而在涉及卸载的情况下,应力应变之不存在唯一的对应关系,这是区别非线性弹性材料的基本属性【2】。

图2.1 非线性弹性及弹塑性材料加卸载
单调加载
对于大多数材料来说，存在一个比较明显的极限应力。

应力低于时材料保持为弹性。

当应力到达以后，则材料开始进入弹塑性阶段。

如继续加载，而后又卸载，材料中将保留永久的塑性变形【2】。

如图2.2
图2.2 等向强化材料，应力应变曲线
弹塑性问题的增量方程【2】 平衡方程
几何方程
物理方程
边界条件
增量有限元格式
⎰⎰∆+∆+∆++
=
e
e
s t
t T V t
t T e
l t
t T
N
dV F N
Q σ
,,=∆++∆+i i t
j ij j ij t
F F σσ()
()
i j j
i i j t
j
i t
ij ij t
u u
u u
,,,,2
12
1∆+∆++=
∆+εεkl
ep
ijkl ij D εστ∆=∆i i t
i i t
T T T T ∆+=∆+i
i t
i i t
u u u u ∆+=∆+kl
t
t t
ep ijkl t
t t
ij
ij
d D d εσσ⎰
⎰
∆+∆+==∆Q
a K ep ∆=∆τ
⎰=
e
V ep
T e
ep BdV D B
K τ
τV
d B Q e
V t T e
i t
⎰=
σ
在计算是利用具有变刚度迭代（N-R 迭代）的增量解法【2】 ，.
迭代步骤是
(1)计算 ， 形成方程组
(2)求解方程组,得到本次迭代的位移增量修正量
(3)计算各单元应变增量和应力增量修正量
(4)根据收敛准则检验解是否满足收敛条件 单元应力增量的计算
（i ）对于弹性单元 （ii ）对于塑性单元，当单元应变增量 较小时,
当单元的应变增量 较大时, （iii ）对于弹塑性单元，单元应力增量有弹性和塑性两部分组成。

若用r 表示弹
性应力增量与总应力增量之比 ,当单元增量
较小时,
当单元应变增量较大时,
Mises 模型线性强化材料为
迭代结束时刻 ， 的计算
1.2通用有限元软件MSC.Marc 软件简介
作为国际上第一个通用非线性商用有限元软件MSC.Marc 软件从20世纪70
()()
()
n n n ep t
t Q
a
K ∆=∆∆+()
n ep t
t K ∆+()
n Q
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()
n n ep
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()
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T
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εσεεσεσεεεεεd D D r d D d D T
r i ep i e T r i ep e
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i i i
i
⎰⎰⎰
∆∆∆∆∆+∆=+=∆0
A C
A B B r ⋅-+-=
2
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23213212233222211e e e e e e S S S S S S A ∆+
∆+∆+∆+∆+∆=])~(~)~(~)~(~[2)~(~)~(~)~(~232313131212333322221111i e i
e i e i e i e i e S S S S S S S S S S S S B ∆+∆+∆+∆+∆+∆=i
s i S S S S S S C )(3
2)~~~(2)~~~(22223213212233222211σ-
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σσσσ∆+∆+=∆+r t
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t p
p
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p
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t εεε∆+=∆+{}σt
t ∆+{}
p t
t ε∆+
年代处诞生，一直紧跟有限元理论和计算机硬，软件发展的最新进展。

MSC.Marc 是功能齐全的高级非线性有限元软件的求解器，体现了有限元分析的理论方法和软件实践的完美结合。

它具有极强的结构分析能力。

可以处理各种线性和非线性结构分析包括：线性/非线性静力分析、模态分析、简谐响应分析、频谱分析随机振动分析、动力响应分析、自动的静/动力接触、屈曲/失稳、失效和破坏分析等。

它提供了丰富的结构单元、连续单元和特殊单元的单元库，几乎每种单元都具有处理大变形几何非线性,材料非线性和包括接触在内的边界条件非线性以及组合的高度非线性的超强能力。

MARC的结构分析材料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线复杂材料行为的材料模型。

分析采用具有高数值稳定性、高精度和快速收敛的高度非线性问题求解技术。

为了进一步提高计算精度和分析效率，MARC软件提供了多种功能强大的加载步长自适应控制技术，自动确定分析曲屈、蠕变、热弹塑性和动力响应的加载步长。

MARC 卓越的网格自适应技术，以多种误差准则自动调节网格疏密，不仅可提高大型线性结构分析精度，而且能对局部非线性应变集中、移动边界或接触分析提供优化的网格密度，既保证计算精度，同时也使非线性分析的计算效率大大提高。

此外，MARC支持全自动二维网格和三维网格重划，用以纠正过渡变形后产生的网格畸变，确保大变形分析的继续进行。

对非结构的场问题如包含对流、辐射、相变潜热等复杂边界条件的非线性传热问题的温度场，以及流场、电场、磁场，也提供了相应的分析求解能力；并具有模拟流－热－固、土壤渗流、声－结构、耦合电－磁、电－热、电－热－结构以及热－结构等多种耦合场的分析能力【1】。

为了满足高级用户的特殊需要和进行二次开发，MSC.Marc提供了方便的开放式用户环境。

这些用户子程序入口几乎覆盖了MARC有限元分析的所有环节，从几何建模、网格划分、边界定义、材料选择到分析求解、结果输出、用户都能够访问并修改程序的缺省设置。

在MSC.Marc软件的原有功能的框架下，用户能够极大地扩展MARC有限元软件的分析能力。

第二章基于弹塑性理论的梁的载荷位置的优化设计
2.1 力学模型建立
在P=3000000N 要求除集中荷载作用点以外任意点米塞斯应力小于400Mpa，设计
图3.1 力学模型
几何参数：m
⨯
⨯高
长
宽
=
m
m1
1.0
⨯
4⨯
材料参数：E=210Gpa,v=0.3
2.2 有限元模型建立
2.2.1 网格形成
根据所学有限单元的知识对几何实体梁结构进行分析，可利用二维平面对其进行分析，即平面应力问题，首先生成面，在按比例划分成网格，将其生成四节点单元，并对所生成的单元网格处理【3 4】
2.2.2 边界条件的定义
由于实体是一端为固定端的悬臂梁，所以悬臂梁的左端处设置为X方向位移为0，Y方向位移为0。

对与不同的受力情况在不同的节点处加力。

图3.2 有限元分析模型
2.3 计算结果与分析
2.3 1线性分析
弹性是指物体在外力作用下发生变形，当外力撤销后能恢复原来大小和形状的性质。

首先对悬臂梁进行线性分析。

在悬臂梁v=1、u=4处的节点加受集中载荷力P=3000000N。

在此有限元模型上，定义作业参数并提交。

在提交成功后进行后处理。

选取模型v=1 进行米塞斯应力分析图3.4。

判断是否符合弹性问题。

图 3.3线性有限元模型
图3.4 V =1处米塞斯应力
在弹性状况下受力，将力加在最右端的节点上，从图3.4可知悬臂梁非线性情况下，第426节点处就达到350Mpa，这个节点即将进入弹塑性。

从第411节点到第426节点这部分已经进入弹塑性。

即从悬臂梁的一半截面上的米塞斯应力超出弹性范围，所以此悬臂梁在弹性范围内已经无法解决，这个问题必须在非线性弹性理论情况下进行解决。

2.3 2线弹性理论基础上的弹塑性分析
由于是等向强化材料，所以需要建立两个表格，即表格一type 为eq_plastic_strain 。

表格二 type为 time。

定义载荷工况里的最大步长、迭代次数。

即首先在最右端节点处施加力并进行后处理。

悬臂梁变形图3.5，从图中可知从第411节点到417节点处已经进入弹塑性状态。

图3.5非线性v=1米塞斯应力
2.3 3 优化设计
对有限元模型进行分析。

利用二分法，在v=1处，对第421节点处加集中载荷.对其所运行结果进行处理。

观察其米塞斯应力图（图3.6）。

从图中可以知道除受力处最大米塞斯应力为361Mpa。

有图7可知在最右端加力时除受力处最大米塞斯应力为400Mpa。

为了选取最优位置再在第421节点与最右端的中间节点处加载即第431节点处。

观察其除受力处米塞斯应力的最大值。

利用二分法以此类推选去最接近400Mpa的最优位置。

图3.6非线性v=1米塞斯应力
最后得到图3.7.即当力加载在第444节点是得到最符合集中荷载作用点以外任意点米塞斯应力小于400Mpa的最小位置。

图3.7 非线性v=1米塞斯应力
从图3.7可以知道米塞斯应力最大的节点是第411节点处。

图3.8为荷载在最优点加载时部分节点米塞斯应力值。

从图形中可以看到米塞斯应力最大的位置是u=0、v=0或v=1处，在v=0.5即中轴线处米塞斯应力值最小。

图3.8 各节点米塞斯应力
2.3 4 优化设计的意义
在实际生活中，悬臂梁在工程受力分析中是比较典型的简化模型，大部分实际工程受力部件都可以简化为悬臂梁。

对于悬臂梁的优化设计对实际工程的发展是十分重要。

具有合理的优化设计，可以提高受力部件的安全性和稳定性。

对材料充分利用节省经费。

总结
通过对悬臂梁在集中荷载作用下受力分析。

对梁截面在上端和下端的米赛斯应力值最大、轴处米塞斯应力值最小，使理论得到证实。

充分利用有限单元知识，对悬臂梁划分网格得出最优位置。

参考文献
[1] 陈火红. Marc有限元实例分析教程[M]. 北京：机械工业出版社. 2003.
[2] 王勖成. 《有限单元法》[M]. 北京：清华大学出版社. 2005.
[3] 梁力，宋瑞强等. 新型挂梁结构恒载力学特性的有限元数值分析[J]. 辽宁：自然科学出版社. 2002, 23。

[4] 刘齐茂 ,李微. 基于有限单元法的钢-混凝土组合梁截面优化设计[J]. 西安建筑科技大学学报. 2005，37（4）
[5] 刘英魁. 有限元分析的发展趋势[J].2009，06.。