截面的几何性质

截面的几何性质
§5
主惯性轴与主惯性矩
材料力学
§5
主惯性轴及主惯性矩
截面的几何性质
z0
z y A
dA
0
o
z
y0
0
y
若 Iy
0 z0
0, 则 y0 , z0 轴称为主惯性轴（主轴）。
对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩
如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。
材料力学
§5
主惯性轴及主惯性矩
截面的几何性质
方向 0的求解: 1 I y0 z0 ( I y I z ) sin 2 0 I yz cos 2 0 0 2
tg 2 0 2I yz I y Iz
代入,得主惯矩为
I y0 I z0
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
例3－1：T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。
20cm
z
y1
解: (1)求形心
任选参考坐标系,如 y1
y1
3
I C
zc
y
S y1 A zc
而
17
S y1 S S
I y1
II y1
II
3
zc
A AI AII
zc S y1 A

I II Sy S y1 1
y1
y1
z
z1

o
A
解:
y1 y cos z sin z1 z cos y sin

y
I y1 z12 dA A ( z cos y sin ) 2 dA
z 2 cos 2 dA 2 sin cos yzdA sin 2 y 2 dA
4 2 2 2 2
将d=80mm，a=100mm代入得
I x 2 346710 mm
4
4 4
4
I x 533310 2 346710 1227010 mm
4
材料力学
4
截面的几何性质
§4
转轴公式
材料力学
§4
转轴公式
截面的几何性质
z1
z y A
dA
设一平面图形,已知 A, I z , I y , I yz , , 求 I z1, I y1, I y1z1
A A A A
0
材料力学
0
§3
平行移轴公式
z1
2
截面的几何性质
y1
平行移轴公式
z
y C b dA z
z1
I y1 I y b A I z1 I z a A
2
a
A
y
I y1z1 I yz abA
注意：
o
y1
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴，截面对任意 两平行轴的惯性矩间的关系，应通过平行的形心轴惯 性矩来换算； （2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中，以对通过形心 轴的惯性矩最小。

I y Iz 2 Iy Iz 2

A

z
y1
cos 2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
o
y
I y1 I z1 I y I z const
角从原始坐标轴量起，逆时针转向为正,反之则为负。
材料力学
§4
转轴公式
截面的几何性质
z1
z
y A dA
3 20 (1.5) 3 17 (3 8.5) AI AII 3 20 3 17
6.1cm
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
(2)求 I zc , I yc
1 1 3 I zc I I 3 20 17 33 3 12 12
yc zc

A
ydA A
A
Sz A
y
z
yc
A
zdA S A
C
A
o
zc
y
（3）求静矩的另一公式：
Sz yc A
S y zc A
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
（3）若 yc 0, zc 0, 则 S z 0, S y 0.
z
y、z轴称为形心轴。 若已知 S z 0, S y 0,
zc
y
zc
4030 cm4
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
例3－2：试求图a所示截面对于对称轴的惯性矩Ix。
解: 将截面看成由一个矩形 和两个半圆形组成。
设矩形对x轴的惯性矩 为Ix1,每一个半圆对x轴 的的惯性矩为Ix2。则有
I x I x1 2I x 2
而
d ( 2a ) 3 I x1 5333104 mm 12
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
所以 I P 只与原点o有关，即
I y I z const
I z 0, I y 0 I p恒 0
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
4、惯性积
z y
I yz yzdA
A
dA
z
截面对y、z两轴的惯性积
4 m 单位：
A

（1） y
讨论
o
I yz 可0；0；0；
4
2
2
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
每个半圆形对x轴的惯性矩为
I x2 2d d 2d d 2d d 2 I xc a a A 3 128 3 8 3 8 d 2 d 2 a 2 2ad 4 32 2 3
m4
§1
定义
截面的几何性质
z
dz z h
例1－1、矩形，求 S z , S y , I z , I y , I yz , iy , iz
解： （1） S z y （2）
c
0, S y 0.
2 A
h 2
I y z dA z 2bdz
1 3 b 3 bh z 12 3 h
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
每个半圆形对与x轴平行 轴xc的惯性矩为Ixc。 每个半圆形对其底边x'轴 的惯性矩为 1 d 4 I x 2 64 利用平行移轴公式得
d 2d d 2 2d I xc I x A 128 3 8 3
y
a
A
C
b
求 I z1 , I y1及I y1z 1
( y1 y, z1 z)
解： z z b, 1
y1
o
y1 y a,
代入定义式：
材料力学
§3
平行移轴公式
2 2
截面的几何性质
z1
I y1 z1 dA ( z b) dA
A A
y1
z y C b dA z
z1
z dA 2 zbdA b dA
i 1 m m m m
m
I z I zi , S y S yi , S z S zi , I yz I yzi
i 1 i 1 i 1 i 1
材料力学
§2
组合图形的几何性质
截面的几何性质
z D d y
空心圆
I P I P大 I P小
1 1 4 D d 4 32 32 1 D 4 (1 4 ) 32 d D 1 D 4 (1 4 ) 64
（2）若图形有一对称轴，则
I yz 0
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
z
AII AI
AIIA
AII
AIII
yzdA
AIV
yzdA
I yz yzdA A yzdA A yzdA A yzdA 0
AI
II III IV
2
h 2 h 2
b
同理
1 3 I z y dA hb A 12
2
3 h, iy A 6
材料力学
Iy
Iz 3 iz b A 6
§1
定义
截面的几何性质
（3）
I yz yzdA 0
A
z
例1－2、圆形。
已知
则 而 所以
1 I P dA d 4 A 32
材料力学
§2
组合图形的几何性质
截面的几何性质
例如:
A AI AII AIII
z I II III y
则
I y z dA
2 A
z 2 dA z 2 dA z 2 dA
AI AII AIII
同理
I yI I yII I yIII I yi

2
d
y
I y Iz I p I y Iz
1 1 4 d I y Iz I p 64 2
材料力学
截面的几何性质
§2
组合图形的几何性质
材料力学
§2
组合图形的几何性质
截面的几何性质
z I
D
d II
III
y
根据定义： 整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积…）等于各个 分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积…）之和。
y1
z
z1

o
A
y1

y
I y1z1 y1 z1 dA A ( y cos z sin )( z cos y sin )dA
( z 2 y 2 ) sin cos dA (cos 2 sin 2 ) yzdA
A A
材料力学
1 ( I y I z ) sin 2 I yz cos 2 2
截面的几何性质
截面的几何性质
材料力学
截面的几何性质
§1
定义
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
1、静矩
z
y dA z
S z ydA
A
截面对z轴的静矩
A
S y zdA
A
截面对y轴的静矩
o y
单位： m 3
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
讨论 （1）静矩可0；0；0。
（2）若截面形心C已知，由静力学可知：
2
I y Iz
§1
定义
截面的几何性质
z y y' A
且
2 z2 y2
A
dA
z'
I P 2 dA ( z2 y2 )dA
A

z
I y I z
y
o
I y Iz
即
对过o点同一平面内任意一 对o点极惯矩 = 对相互垂直轴的惯矩之和
（3）若
I yz 0, 则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。
对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。
通过形心的主轴称为形心主惯性轴。
材料力学
§1
定义
截面的几何性质

区别
（1）对象 静矩、惯性矩是对轴而言。 极惯性矩是对点而言。 惯性积是对一对坐标而言。 （2）单位
静矩
m
3
惯性矩、惯性积和极惯性矩
材料力学
所以
iy
Iy A
,
Iz iz A
iy , iz ——惯性半径 （单位：m ）
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
3、极惯性矩
z y
I P dA
2 A
dA
截面对o点的极惯性矩
4 m 单位：
A

z

y
讨论
o
（1） 2 z 2 y 2
IP
材料力学
A
2 2 2 2 ( z y ) dA z dA y dA A A A dA
2 2 A A A
a
I y 2bSy b A
2
A
y
同理
I y1 I y b A
2
I z1 I z a2 A
A A
o
y1
I y1z1 y1 z1dA ( z b)( y a)dA yz dA azdA bydA abdA I yz abA
A A A
材料力学
I y cos2 I yz sin 2 I z sin 2
§4
转轴公式
截面的几何性质
同理
z1
z
I z1 I z cos2 I yz sin 2 I y sin 2
改写为
y
y1
dA
z1
I y1 I z1
并且
Iy Iz 2 Iy Iz 2
C
y
A
则可确定z轴、y轴通 过截面形心。
材料力学
§1
定义
截面的几何性质
2、惯性矩
z
dA I z y²
A dA z
y
截面对z轴的惯性矩
A
I y z² dA
A
o
截面对y轴的惯性矩
y
单位： m 4
材料力学
§1
定义
截面的几何性质

讨论
（1）惯性矩恒0； （2） I y i y 2 A, I z iz 2 A
其中
I y I z I z大 I z小
材料力学
§2
组合图形的几何性质
截面的几何性质
z I II y
y1
I y I yi
i 1
3
III
材料力学
截面的几何性质
§3
平行移轴公式
材料力学
§3
平行移轴公式
截面的几何性质
z1
y1
z y dA z
z1
已知: I z , I y , I yz , (y、z轴过形心C)
I zc II zc
z
20cm I C II 3
y1
y1
2048 cm4
17 I yc I I 1 [ 20 33 20 3 ( zc 1.5) 2 ] 12 1 8.5) 2 ] [ 3 17 3 17 3 ( zc 12
I yc II yc