2020年名校版九年级数学上册教案：22.3 实践与探索 第一课时 实践与探索(一)

课题：22.3 实践与探索
第一课时实践与探索（一）
＆.教学目标：
1、学生在已有知识的基础上，能够将实际问题转化为数学模型，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。

3、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。

＆.教学重点、难点：
重点：寻找等量关系，即实际问题转化成一元二次方程的模型，并根据实际问题检验解。

难点：寻找实际问题中的等量关系，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。

＆.教学过程：
一、知识回顾
1、列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？列方程解应用题的关键是什么？
2、读诗词解题.（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
3、某商店经销一批季节性小家电，每个成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价若再每个增加1元，销售量将减少10个，若商店进货后全部销售完，赚了2000元，问：进了多少货？每个定价为多少元？
二、探究新知
§.探究应用一元二次方程解决实际应用题
问题1：小明把一张边长为cm
10的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。

（1）如果要求长方体的底面面积为2
81cm，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（2
cm）81 64 49 36 25 16 9 4
剪去的正方形边长（cm ） 折合成的长方体侧面积（2cm ）
（3）在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致。

教学思路：这一问题着重培养学生的观察、分析和合情推理的能力，重在学生对探索过程的参与和体验，在探究过程中提高学生的探究意识和用数学的意识。

解：（1）设剪去的正方形的边长为xcm ，由题意，得
()812102=-x
解得：5.01=x ，5.92=x （舍去）
因为正方形的边长为cm 10，所以剪去的正方形的边长为cm 5.0.
（2）如下表，长方体底面面积减小的过程中，剪去的正方形边长会逐渐增大，折合成的长方体侧面积先增大再减小。

折合成的长方体底面积（2cm ） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm ）
0.5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 折合成的长方体侧面积（2cm ） 4.
5 8
10.5
12
12.5
12
10.5
8
（3）折合而成的长方体的体积会有最大情况，同学们可通过作函数图象加以验证，以后学习了二次函数的知识这个问题活迎刃而解。

问题2：小明把一张边长为cm 10的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子。

如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
折合成的长方体底面积（2cm ） 81 64 49 36 25 16 9 4 剪去的正方形边长（cm ）
0.5
1 2 3.5 折合成的长方体体积（3cm ） 40.5
73.5
62.5
48
16
解析：设剪去的正方形边长为xcm ，则底面的边长为()cm x 210-，该无盖的长方体盒子的体积为()()502102
x x x V -=，可计算表中空白部分的值。

通过计算表格空白部分的值，然后观察数
据可以看到，折合成的长方体底面积越大，则剪去的正方形边长越小，随着长方体底面积的减小折合成的长方体体积先逐渐增大而后逐渐减小，也就是说折合成的长方体体积并不随剪去的正方形边长增大而增大，即在变化过程中存在一个x 的值，使折合成的长方体体积最大。

图 a
60
图 b
图 c
图 d
问题3：用一块边长为cm 60的正方形薄钢片制作一个长方体盒子。

（1）如果要做成一个没有盖的长方体盒子，可先在薄钢片的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图a 所示），然后把四边折合起来。

①求做成盒子的底面积()2cm y 与截去的小正方形的边长()cm x 之间的函数关系式； ②当做成的盒子底面积为2900cm 时，试求该盒子的体积。

（3）如果要做成一个有盖的长方体盒子，其制作方案要求同时符合下列两个条件： ①必须在薄钢片的四周各剪去一个四边形（其余部分不能裁剪）； ②折合后薄钢片既无空隙、又不重叠地围成个盒面.
请你画出符合上述制作方案的一种草图，并求当底面积为2800cm 时，该盒子的高。

解析：（1）()3600240426022
+-=-=x x x y ，当做成的盒子底面积为2900cm 时，剪去的小正方形的边长为cm 15.也即折合成的长方体的高为cm 15，所以该盒子的体积为
⨯900()31350015cm =.
（2）利用长方体的平面展开图（如图b ）进行计算，具体如下：
符合制作方案的一种草图如图c 所示（图中阴影部分为底和盖，且21S S =）
在钢片的四个角上分别截去两个相同的小正方形与两个相同的小长方形，然后沿虚线折合起来即可。

设截去的小正方体的边长为xcm ，根据题意，得： ()8002
260260=⎪⎭
⎫
⎝
⎛--x x
解得：101=x ，502=x ∵300 x ∴10=x
因此做成的有盖的长方体的高为cm 10.
附：该题的其他制作方案如图d 所示，其中321S S S +=，盒子高仍为cm 10.
三、讲解例题，巩固新知
§.例1、用64米长的铁丝围成长方形，能围成220平方米的长方形吗？能围成240平方米的
长方形吗？最大能围成多大面积的长方形？
解析：长方形的面积等于长乘以宽，所以用含未知数的代数式表示长方形的长和宽，即可列出方程，只要方程有解，这样的长方形就存在。

解：设长方形的一边为x 米，则它的邻边为()x -32米，由题意，得：
（1）()22032=-x x ，解得：101=x ，222=x ，故能围成围成220平方米的长方形。

（2）()24032=-x x ，解得：201=x ，122=x ，故能围成围成240平方米的长方形。

（3）最大能围成面积为256平方米的长方形.
同步练习：某农户利用一面墙（墙的长度不限），再用m 20长的篱笆围成一个矩形养鸡场（一
边靠墙）。

（1）若要围成面积为250m 的矩形养鸡场，请你求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？ （2）养鸡场的面积能达到260m 吗？若能，请求出此矩形养鸡场的长和宽各是多少？若不能，请说明理由。

§.例2、如图，有矩形场地ABCD 一块，要在中央修一矩形花圃EFGH ，使其面积为这块土
地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条.如何确定道路的宽度？
请同学们利用自己掌握的数学知识来解决这个实际问题，相信你一定能行！
教学思路：这是一道开放性问题，可展现学生的创新能力，是激发学生学习积极性和竞争意识的好素材。

在教学中要引导学生大胆想办法，鼓励学生发表自己的见解，最好形成多方争论的局面。

设计本题的主要目的不是求解，而是展现学生的思维广度和解决问题的灵活性。

解析：关键是用绳子量22b a b a +-+，再对折两次即可。

量法为：用绳子量出AD AB + （即b a +）之长，从中减去BD 之长（对角线22b a BD +=），得BD AD AB L -+=，再将L 对折两次即得到道路的宽4
BD AD AB BD -+=，即422b a b a +-+.
解：设道路的宽为x ，a AB =，b AD =，则
()()ab x b x a 2
122=--
解得：4
221b a b a x +-+=，42
22b a b a x +++=（舍去）
同步练习：某林场计划修一条长m 750，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为26.1m ，上口宽比渠深多m 2，渠底比渠深多m 4.0.
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土248m ，需要多少天才能把这条渠道挖完？
四、巩固练习
教材34P 练习 2~1
五、课堂小结
通过本节课的学习，要求同学们
1、学会用一元二次方程解决面积类似问题，关键是要找准题目中的数量关系。

2、在探索的过程中，培养自己大胆探索质疑和敢于发表自己见解的学习习惯。

六、课外作业
1、教材35P 习题3.23 1
2、选用课时作业：
（A ）要建一个面积为2150m 的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为m 35.
（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用？
（B ）某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长为cm 30、宽为cm 20的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面的面积相等，求彩纸的宽度。

（C ）行驶中的汽车刹车后由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离叫做“刹车距离”。

经测试汽车的刹车距离sm 与车速h xkm /之间的关系为：2002.001.0x x s +=。

一天，司机小王驾驶的汽车在限速()h km /120的高速公路上与前边的卡车追尾相撞，交警测得他当时的刹车距离是
m 5.46，然后断定是他因超速行驶应负主要责任，这是为什么？。