高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义练习含解析新人教A版选修

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义练习含解析新人教A版选修
[A 基础达标]
1．复数i＋i2在复平面内对应的点在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
解析：选B.因为i＋i2＝i－1，它在复平面内对应的点为(－1，1)，所以复数i＋i2在复平面内对应的点在第二象限．
2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列选项中正确的是( )
A．z1>z2B．z1<z2
C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
解析：选D.|z1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，
|z2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.
因为34<41，所以|z1|<|z2|.
3．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则下列结论中正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z在复平面内对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
解析：选C.因为2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，所以排除A，B，D.故选C.
4．已知复数z满足|z|2－3|z|＋2＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆B．两个圆
C．两点D．线段
解析：选B.由|z|2－3|z|＋2＝0，得(|z|－1)·(|z|－2)＝0，所以|z|＝1或|z|＝2.由复数模的几何意义知，z对应点的轨迹是两个圆．
5．(2018·衡阳期末)已知复数z在复平面内对应的点在射线y＝2x(x≥0)上，且|z|＝5，则复数z的虚部为( )
A．－2 B．2
C．－1 D．1
解析：选B.设复数z在复平面内对应的点的坐标为(a，2a)(a≥0)，则|z|＝5＝a2＋4a2
＝5a ，从而a ＝1，则复数z 的虚部为2a ＝2.
6．向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，则OZ →1＋OZ →
2对应的复数是________．
解析：因为向量OZ →1对应的复数是5－4i ，向量OZ →2对应的复数是－5＋4i ，所以OZ →
1＝(5，－4)，OZ →2＝(－5，4)，所以OZ →1＋OZ →2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以OZ →1＋OZ →
2对应的复数是0.
答案：0
7．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是________． 解析：由题意得（x －1）2
＋（2x －1）2
<10， 所以5x 2
－6x －8<0. 所以(5x ＋4)(x －2)<0， 所以－4
5
<x <2.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，2 8．在复平面内，O 为坐标原点，向量OB →
对应的复数为3－4i ，若点B 关于原点的对称点为A ，点A 关于虚轴的对称点为C ，则向量OC →
对应的复数为________．
解析：因为点B 的坐标为(3，－4)， 所以点A 的坐标为(－3，4)， 所以点C 的坐标为(3，4)， 所以向量OC →
对应的复数为3＋4i. 答案：3＋4i
9．当实数m 取何值时，在复平面内与复数z ＝(m 2
－4m )＋(m 2
－m －6)i 对应的点满足下列条件？
(1)在第三象限； (2)在虚轴上；
(3)在直线x －y ＋3＝0上．
解：复数z ＝(m 2
－4m )＋(m 2
－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2
－4m ，m 2
－m －6)． (1)点Z 在第三象限，则
⎩⎪⎨⎪⎧m 2
－4m <0，m 2－m －6<0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m <4，－2<m <3，
所以0<m <3.
(2)点Z 在虚轴上，则
⎩
⎪⎨⎪⎧m 2
－4m ＝0，m 2－m －6≠0， 解得m ＝0或m ＝4. 所以m ＝0或m ＝4.
(3)点Z 在直线x －y ＋3＝0上， 则(m 2
－4m )－(m 2
－m －6)＋3＝0， 即－3m ＋9＝0，所以m ＝3.
10．已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R )．若OZ 1
→与OZ 2→
共线，求a 的值．
解：因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3，4)，OZ 2→
＝(2a ，1)．因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→
，即(2a ，1)＝k (－3，4)＝(－3k ，4k )，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＝－3k ，1＝4k ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝14，a ＝－3
8.
即a 的值为－38
.
[B 能力提升]
11．已知复数z 满足|z |＝ 2，则|z ＋3－4i|的最小值是( ) A ．5 B ．2 C ．7
D ．3
解析：选D.|z |＝2表示复数z 在以原点为圆心，以2为半径的圆上，而|z ＋3－4i|表示圆上的点到(－3，4)这一点的距离，故|z ＋3－4i|的最小值为（－3）2
＋42
－2＝5－2＝3.
12．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 由题意，得x ＋y i －x 2
＋y 2
＝－1＋i ， 即(x －x 2
＋y 2
)＋y i ＝－1＋i. 根据复数相等的条件，
得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以z ＝i.
答案：i
13．已知复数z 1＝cos θ＋isin 2θ，z 2＝3sin θ＋icos θ，求当θ为何值时， (1)z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称； (2)|z 2|< 2.
解：(1)在复平面内，z 1与z 2对应的点关于实轴对称，则⎩⎨⎧cos θ＝3sin θ，sin 2θ＝－cos θ
⇒
⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π
6
，θ＝2k π＋76π或2k π＋116π或k π＋π
2(k ∈Z )， 所以θ＝2k π＋7
6
π(k ∈Z )．
(2)由|z 2|<2，得（3sin θ）2
＋cos 2
θ<2， 即3sin 2θ＋cos 2θ<2，所以sin 2
θ<12，
所以k π－π4<θ<k π＋π
4
(k ∈Z )．
14．(选做题)复数z 1＝3＋4i ，z 2＝0，z 3＝c ＋(2c －6)i 在复平面内对应的点分别为A ，B ，
C ，若∠BAC 是钝角，求实数c 的取值范围．
解：在复平面内三点坐标分别为A (3，4)，B (0，0)，C (c ，2c －6)，由∠BAC 是钝角，得cos ∠BAC <0，且A ，B ，C 不共线，
cos ∠BAC ＝|AB |2
＋|AC |2
－|BC |
2
2|AB |·|AC |<0，
即|AB |2
＋|AC |2
－|BC |2
<0. 由两点间的距离公式，
得25＋(3－c )2
＋(4－2c ＋6)2
－[c 2
＋(2c －6)2
]<0， 解得c >49
11
.
其中当c ＝9时，此时A ，B ，C 三点共线，故c ≠9. 所以c 的取值范围是⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
c ⎪⎪⎪c >
4911且c ≠9.。