2011级高代-2期末试题评讲
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i=1 i=1 i=1
反之, 设γ1 , · · · , γn 线性无关. 用反证法证明A可逆. 否则, 齐次线性方程组AT X = 0有非零解(x1 , · · · , xn )T , 从 ∑ 而 xi γi = 0, 与γ1 , · · · , γn 线性无关矛盾.
i
B1. (本题满分50分) 解答下列各题. 1 2 0 k (1) (15分) 设A = 3 2 0 . 对任意整数k , 求A ; 写出A的所有零化多项式. 0 0 3 提示: 直接计算. 实际上, 如果注意到A是准对角阵, 计算会简便一些. 求A的所有零化多项式, 实际上等价于 求A的极小多项式, 因为任意零化多项式无非是极小多项式的倍式.
2
(2) (15分) 设A = 1 1 2 1 2 1
−1 1 . 求正交矩阵P 使得P AP 为对角阵. 问: A是否是正定矩阵？说明理由, 并写 1 2 x1 出二次型f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )A x2 的规范型. x3
3
B6. (本题满分5分) 设f 是数域F上的n维线性空间V 上的一个非退化双线性型. 对任意α ∈ V 定义V 上的函数gα 为: gα (β ) = f (α, β ), 任意β ∈ V . 证明: 映射T : α → gα 是从V 到V 的对偶空间V ⋆ 的一个同构映射. 提示: 直接验证T是线性映射. 由f 的非退化性即可验证T是单射, 从而由dim V = dim V ⋆ 即得T是同构映射.
A1
0
A3. (本题满分10分) 设A = 0 0 1 2 1 0 0
2 . 用两种方法证明A在任意数域F上都不可能相似于对角阵. 1
提示: 法一: 直接计算A的特征向量. 法二: 求出A的初等因子, 从而得到它的Jordan标准型. A4. (本题满分10分) 设A, B 为n阶实方阵. (1) (6分) 分别举出n=2时满足如下条件的例子: (i) A与B 在实数域上是相似的 . ( ) , 但在实数域上不是合同的 ( ) 1 2 1 0 提示: A = ,B= . 因为A在R上可对角化, 从而必然与B 相似; 但A与B 不可能 0 −1 0 −1 合同, 因为B 是对称的而A不对称. (ii) A与B 在实数域上是合同的 , 但在实数域上不是相似的 . ( ) ( ) 1 0 3 0 提示: A = ,B= . 因为A, B 都正定, 所以它们是合同的, 但它们的特征值不相同, 0 2 0 4 所以不可能相似. (iii) A, B 都不是正交阵, 但AB 是不为单位阵的正交阵 . √ ( ) 2 0 1 1 √ 提示: A = ,B= 2 . 2 −1 1 0 2 (2) (4分) 假设存在复可逆矩阵P 使得P −1 AP = B . 利用P 求一个实可逆矩阵Q使得Q−1 AQ = B . √ 提示: 设P = P1 + −1P2 , 其中P1 , P2 是实矩阵. 由AP = P B 得: AP1 = P1 A和AP2 = P2 B . 考虑实系数多 √ 项式f (x) = det(P1 + xP2 ). 由于P 可逆, 所以f ( −1) ̸= 0, 从而f (x)不是零多项式, 从而存在无穷多的实 数t使得f (t) ̸= 0. 任取一个这样的实数t, 则Q := P1 + tP2 是可逆实方阵, 满足AQ = QB , 即为所求. A5. (本题满分5分) 设A是n阶正交阵. 证明: 对A的任意特征值a都有|a| = 1. 提示: 这是教材上的习题; 仿照实对称矩阵的证明. A6. (本题满分5分) 设α1 , · · · , αn 是数域F上的线性空间V 的一个基, A = (aij )是F上的n阶方阵. 设γ1 , · · · , γn ∈ V ⋆ 满 足γi (αj ) = aij , 1 ≤ i, j ≤ n. 证明: γ1 , · · · , γn 是对偶空间V ⋆ 的一个基当且仅当A可逆. n n n ∑ ∑ ∑ 提示: 设A可逆. 只需证明γ1 , · · · , γn 线性无关. 设 xi γi = 0. 则 xi γi (αj ) = xi aij = 0, 即, (x1 , · · · , xn )T 是 齐次线性方程组AT X = 0的解. 但A可逆, 从而xi 全为零. 故, γ1 , · · · , γn 线性无关.
关于2维不变子空间首先注意到因为a相似于由一个2阶方阵和一个1阶方阵组成的准对角阵所以w可以分解为一个2维不来自子空间和一个1维不变子空间的直和
2011级高代-2期末试题
A1. (本题满分50分) 设A = 0 0 1 2 1 0 0 0 . 解答下列各题. 0
(1) (10分) 求A的Jordan标准型和极小多项式. 提示: 直接求A的初等因子. 得到Jordan标准型J 后可直接得到A的极小多项式, 因为A与J 有相同的极小 多项式. 或者, 利用A的特征多项式去求A的极小多项式. (因为, 由Hamilton-Caylay定理, A的极小多项式 是A的特征多项式的因式). (2) (10分) 设V 是所有与A可交换的矩阵组成的3阶方阵的集合. 证明V 关于矩阵的加法运算和数乘运算是一个 线性空间, 并求V 的维数. 提示: 直接计算. (3) (10分) 设A是线性映射f ∈ Hom(V1 , V2 )的矩阵. 分别求f 的核ker(f )和像im(f )的维数, 并写出它们的一个基. 提示: 直接计算. (4) (10分) 设A是线性空间W 上的线性变换A的矩阵. 写出A的所有不变子空间. 提示: 设A(α1 α2 α3 ) = (α1 α2 α3 )A, 其中α1 , α2 , α3 是V 的一个基. 0维不变子空间就是0空间; 3维不变子空间就是W 自己; 1维不变子空间就是由一个特征向量生成的子空间. 关于2维不变子空间, 首先注意到, 因为A相似于由一个2阶方阵和一个1阶方阵组成的准对角阵, 所以, W 可 以分解为一个2维不变子空间和一个1维不变子空间的直和. 所以, 对于A的任意2维不变子空间W1 , 设W1 的 一个基为β1 , β2 , 则存在β3 ∈ W 使得W = W1 ⊕ ⟨β3 ⟩且⟨β3 ⟩也是不变子空间, 从而β3 是A的一个特征向量. 设C 为过渡矩阵: (β1 β2 β3 ) = (α1 α2 α3 )C. 则 A(β1 β2 β3 ) = (β1 β2 β3 ) ( 从而, C
提示: 直接计算. (3) (10分) 设线性映射f ∈ Hom(V1 , V2 ), 其中V1 是有限维线性空间. 证明如下的维数公式: dim ker(f ) + dim im(f ) = dim V1 , 其中, ker(f )和im(f )分别是f 的核和像. 提示: 这是教材上的结论, 其证明也是在课堂上讨论过的, 用基的扩充定理. (4) (10分) 设A是数域F上的有限维线性空间W 上的线性变换, f (x)是A的特征多项式. 证明: f (x)在F上可约当且 仅当A有非平凡的不变子空间. 提示: 如果f (x)可约, 设f (x) = f1 (x)f2 (x), 其中f1 (x)和f2 (x)都是正次数的多项式且(f1 (x), f2 (x)) = 1, 那 么V = kerf1 (A) ⊕ kerf2 (A), 且kerf1 (A)就是一个非平凡的A-子空间. 反之, 设W1 是非平凡的A-子空间, 则有线性变换B := A |W1 , 且B的特征多项式就是f (x)的一个非平凡的因 式. B2. (本题满分20分) 设A是n阶实方阵. (1) (6分) 写出A是正交矩阵的3个充分必要条件(不必证明). 提示: A是正交阵当且仅当A的列向量是Rn 的关于标准内积的标准正交基; 当且仅当A是n维欧式空间V 上的 某个正交变换在一个标准正交基下的矩阵; 当且仅当A−1 是正交阵. (2) (6分) 证明: 如果A是正交矩阵, 那么2En + A可逆, 其中, En 是n阶单位阵. 提示: 因为正交阵的特征值在单位圆上, 所以−2不可能是A的特征值. (3) (8分) 设C (A)是所有与A可交换的实方阵组成的集合. 证明: C (A)关于矩阵的加法和数乘运算是一个线性空 间. 当A是正交矩阵且dim C (A) = n2 时求出A. 提示: 直接验证C (A)对加法和数乘封闭即得C (A)是线性空间. 如果dim C (A) = n2 , 那么A与所有n阶方阵 可交换, 从而必然是数量阵; 又因为A是正交阵, 所以A = En 或A = −En . 2 1 −1 1 1 0 B3. (本题满分10分) 设A = −1 0 1 , B = 0 1 1 . 证明A与B 不相似. 0 0 1 0 0 1 提示: 这是标准的练习题. 直接计算它们的初等因子. B4. (本题满分10分) 设A为n阶实方阵. 证明: A为对称矩阵当且仅当A合同于对角阵; 当且仅当A是某个n维欧式空 间V 上的一个对称变换A在V 的一个标准正交基下的矩阵. 提示: 直接验证. B5. (本题满分5分) 设A, B 是数域F上的n阶方阵, f (x), g (x)分别是它们的特征多项式且互素. 证明: g (A)和f (B )都是 可逆阵. 提示: 直接由Hamilton-Caylay定理和多项式互素即得.
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−1
( )
A1 0
0 λ
) = (α1 α2 α3 )AC = (α1 α2 α3 )C
(
A1 0
0 λ
) ,
, 其中A1 是一个2阶方阵, λ是A的一个特征值. 所以, 对任意满足上述条件的可 0 λ 逆矩阵C 即可给出A的一个2维不变子空间. 注意到, ⟨α1 , α3 ⟩和⟨α1 , α2 ⟩显然是A的2维不变子空间. x1 (5) (10分) 求二次型g (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )A x2 的的标准型, 并写出相应的非退化线性替换. AC = x3 提示: 直接计算. 但是, 要注意A本身不是对称阵. A2. (本题满分20分) 设A是n阶实对称矩阵. (1) (10分) 写出A是正定矩阵的5个充分必要条件(不必证明). 提示: A正定当且仅当A的特征值全大于0; 当且仅当A的正惯性指数为n; 当且仅当A 合同于单位阵; 当且仅 当A的顺序主子式全大于0; 当且仅当A是n维欧式空间V 上的内积的度量矩阵. √ (2) (5分) 证明: 矩阵 −5En + A可逆, 其中, En 是n阶单位阵. 提示: 因为A的特征值全是实数. (3) (5分) 设A是欧式空间V 上的线性变换T在某个基下的矩阵. 问: T是对称变换吗? 说明理由. 提示: 不一定; 除非这个基是标正基. 1
反之, 设γ1 , · · · , γn 线性无关. 用反证法证明A可逆. 否则, 齐次线性方程组AT X = 0有非零解(x1 , · · · , xn )T , 从 ∑ 而 xi γi = 0, 与γ1 , · · · , γn 线性无关矛盾.
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B1. (本题满分50分) 解答下列各题. 1 2 0 k (1) (15分) 设A = 3 2 0 . 对任意整数k , 求A ; 写出A的所有零化多项式. 0 0 3 提示: 直接计算. 实际上, 如果注意到A是准对角阵, 计算会简便一些. 求A的所有零化多项式, 实际上等价于 求A的极小多项式, 因为任意零化多项式无非是极小多项式的倍式.
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(2) (15分) 设A = 1 1 2 1 2 1
−1 1 . 求正交矩阵P 使得P AP 为对角阵. 问: A是否是正定矩阵？说明理由, 并写 1 2 x1 出二次型f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )A x2 的规范型. x3
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B6. (本题满分5分) 设f 是数域F上的n维线性空间V 上的一个非退化双线性型. 对任意α ∈ V 定义V 上的函数gα 为: gα (β ) = f (α, β ), 任意β ∈ V . 证明: 映射T : α → gα 是从V 到V 的对偶空间V ⋆ 的一个同构映射. 提示: 直接验证T是线性映射. 由f 的非退化性即可验证T是单射, 从而由dim V = dim V ⋆ 即得T是同构映射.
A1
0
A3. (本题满分10分) 设A = 0 0 1 2 1 0 0
2 . 用两种方法证明A在任意数域F上都不可能相似于对角阵. 1
提示: 法一: 直接计算A的特征向量. 法二: 求出A的初等因子, 从而得到它的Jordan标准型. A4. (本题满分10分) 设A, B 为n阶实方阵. (1) (6分) 分别举出n=2时满足如下条件的例子: (i) A与B 在实数域上是相似的 . ( ) , 但在实数域上不是合同的 ( ) 1 2 1 0 提示: A = ,B= . 因为A在R上可对角化, 从而必然与B 相似; 但A与B 不可能 0 −1 0 −1 合同, 因为B 是对称的而A不对称. (ii) A与B 在实数域上是合同的 , 但在实数域上不是相似的 . ( ) ( ) 1 0 3 0 提示: A = ,B= . 因为A, B 都正定, 所以它们是合同的, 但它们的特征值不相同, 0 2 0 4 所以不可能相似. (iii) A, B 都不是正交阵, 但AB 是不为单位阵的正交阵 . √ ( ) 2 0 1 1 √ 提示: A = ,B= 2 . 2 −1 1 0 2 (2) (4分) 假设存在复可逆矩阵P 使得P −1 AP = B . 利用P 求一个实可逆矩阵Q使得Q−1 AQ = B . √ 提示: 设P = P1 + −1P2 , 其中P1 , P2 是实矩阵. 由AP = P B 得: AP1 = P1 A和AP2 = P2 B . 考虑实系数多 √ 项式f (x) = det(P1 + xP2 ). 由于P 可逆, 所以f ( −1) ̸= 0, 从而f (x)不是零多项式, 从而存在无穷多的实 数t使得f (t) ̸= 0. 任取一个这样的实数t, 则Q := P1 + tP2 是可逆实方阵, 满足AQ = QB , 即为所求. A5. (本题满分5分) 设A是n阶正交阵. 证明: 对A的任意特征值a都有|a| = 1. 提示: 这是教材上的习题; 仿照实对称矩阵的证明. A6. (本题满分5分) 设α1 , · · · , αn 是数域F上的线性空间V 的一个基, A = (aij )是F上的n阶方阵. 设γ1 , · · · , γn ∈ V ⋆ 满 足γi (αj ) = aij , 1 ≤ i, j ≤ n. 证明: γ1 , · · · , γn 是对偶空间V ⋆ 的一个基当且仅当A可逆. n n n ∑ ∑ ∑ 提示: 设A可逆. 只需证明γ1 , · · · , γn 线性无关. 设 xi γi = 0. 则 xi γi (αj ) = xi aij = 0, 即, (x1 , · · · , xn )T 是 齐次线性方程组AT X = 0的解. 但A可逆, 从而xi 全为零. 故, γ1 , · · · , γn 线性无关.
关于2维不变子空间首先注意到因为a相似于由一个2阶方阵和一个1阶方阵组成的准对角阵所以w可以分解为一个2维不来自子空间和一个1维不变子空间的直和
2011级高代-2期末试题
A1. (本题满分50分) 设A = 0 0 1 2 1 0 0 0 . 解答下列各题. 0
(1) (10分) 求A的Jordan标准型和极小多项式. 提示: 直接求A的初等因子. 得到Jordan标准型J 后可直接得到A的极小多项式, 因为A与J 有相同的极小 多项式. 或者, 利用A的特征多项式去求A的极小多项式. (因为, 由Hamilton-Caylay定理, A的极小多项式 是A的特征多项式的因式). (2) (10分) 设V 是所有与A可交换的矩阵组成的3阶方阵的集合. 证明V 关于矩阵的加法运算和数乘运算是一个 线性空间, 并求V 的维数. 提示: 直接计算. (3) (10分) 设A是线性映射f ∈ Hom(V1 , V2 )的矩阵. 分别求f 的核ker(f )和像im(f )的维数, 并写出它们的一个基. 提示: 直接计算. (4) (10分) 设A是线性空间W 上的线性变换A的矩阵. 写出A的所有不变子空间. 提示: 设A(α1 α2 α3 ) = (α1 α2 α3 )A, 其中α1 , α2 , α3 是V 的一个基. 0维不变子空间就是0空间; 3维不变子空间就是W 自己; 1维不变子空间就是由一个特征向量生成的子空间. 关于2维不变子空间, 首先注意到, 因为A相似于由一个2阶方阵和一个1阶方阵组成的准对角阵, 所以, W 可 以分解为一个2维不变子空间和一个1维不变子空间的直和. 所以, 对于A的任意2维不变子空间W1 , 设W1 的 一个基为β1 , β2 , 则存在β3 ∈ W 使得W = W1 ⊕ ⟨β3 ⟩且⟨β3 ⟩也是不变子空间, 从而β3 是A的一个特征向量. 设C 为过渡矩阵: (β1 β2 β3 ) = (α1 α2 α3 )C. 则 A(β1 β2 β3 ) = (β1 β2 β3 ) ( 从而, C
提示: 直接计算. (3) (10分) 设线性映射f ∈ Hom(V1 , V2 ), 其中V1 是有限维线性空间. 证明如下的维数公式: dim ker(f ) + dim im(f ) = dim V1 , 其中, ker(f )和im(f )分别是f 的核和像. 提示: 这是教材上的结论, 其证明也是在课堂上讨论过的, 用基的扩充定理. (4) (10分) 设A是数域F上的有限维线性空间W 上的线性变换, f (x)是A的特征多项式. 证明: f (x)在F上可约当且 仅当A有非平凡的不变子空间. 提示: 如果f (x)可约, 设f (x) = f1 (x)f2 (x), 其中f1 (x)和f2 (x)都是正次数的多项式且(f1 (x), f2 (x)) = 1, 那 么V = kerf1 (A) ⊕ kerf2 (A), 且kerf1 (A)就是一个非平凡的A-子空间. 反之, 设W1 是非平凡的A-子空间, 则有线性变换B := A |W1 , 且B的特征多项式就是f (x)的一个非平凡的因 式. B2. (本题满分20分) 设A是n阶实方阵. (1) (6分) 写出A是正交矩阵的3个充分必要条件(不必证明). 提示: A是正交阵当且仅当A的列向量是Rn 的关于标准内积的标准正交基; 当且仅当A是n维欧式空间V 上的 某个正交变换在一个标准正交基下的矩阵; 当且仅当A−1 是正交阵. (2) (6分) 证明: 如果A是正交矩阵, 那么2En + A可逆, 其中, En 是n阶单位阵. 提示: 因为正交阵的特征值在单位圆上, 所以−2不可能是A的特征值. (3) (8分) 设C (A)是所有与A可交换的实方阵组成的集合. 证明: C (A)关于矩阵的加法和数乘运算是一个线性空 间. 当A是正交矩阵且dim C (A) = n2 时求出A. 提示: 直接验证C (A)对加法和数乘封闭即得C (A)是线性空间. 如果dim C (A) = n2 , 那么A与所有n阶方阵 可交换, 从而必然是数量阵; 又因为A是正交阵, 所以A = En 或A = −En . 2 1 −1 1 1 0 B3. (本题满分10分) 设A = −1 0 1 , B = 0 1 1 . 证明A与B 不相似. 0 0 1 0 0 1 提示: 这是标准的练习题. 直接计算它们的初等因子. B4. (本题满分10分) 设A为n阶实方阵. 证明: A为对称矩阵当且仅当A合同于对角阵; 当且仅当A是某个n维欧式空 间V 上的一个对称变换A在V 的一个标准正交基下的矩阵. 提示: 直接验证. B5. (本题满分5分) 设A, B 是数域F上的n阶方阵, f (x), g (x)分别是它们的特征多项式且互素. 证明: g (A)和f (B )都是 可逆阵. 提示: 直接由Hamilton-Caylay定理和多项式互素即得.
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A1 0
0 λ
) = (α1 α2 α3 )AC = (α1 α2 α3 )C
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A1 0
0 λ
) ,
, 其中A1 是一个2阶方阵, λ是A的一个特征值. 所以, 对任意满足上述条件的可 0 λ 逆矩阵C 即可给出A的一个2维不变子空间. 注意到, ⟨α1 , α3 ⟩和⟨α1 , α2 ⟩显然是A的2维不变子空间. x1 (5) (10分) 求二次型g (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 )A x2 的的标准型, 并写出相应的非退化线性替换. AC = x3 提示: 直接计算. 但是, 要注意A本身不是对称阵. A2. (本题满分20分) 设A是n阶实对称矩阵. (1) (10分) 写出A是正定矩阵的5个充分必要条件(不必证明). 提示: A正定当且仅当A的特征值全大于0; 当且仅当A的正惯性指数为n; 当且仅当A 合同于单位阵; 当且仅 当A的顺序主子式全大于0; 当且仅当A是n维欧式空间V 上的内积的度量矩阵. √ (2) (5分) 证明: 矩阵 −5En + A可逆, 其中, En 是n阶单位阵. 提示: 因为A的特征值全是实数. (3) (5分) 设A是欧式空间V 上的线性变换T在某个基下的矩阵. 问: T是对称变换吗? 说明理由. 提示: 不一定; 除非这个基是标正基. 1