最新-人教A版高中数学必修四课件：312 两角和与差的正弦、余弦、正切公式一3 精品

2
3
cos 4，
5
5
s答in(案 ： ) sincos sin cos 1 sin 3 cos 1 3 3 ( 4)
3
33
2
2
25 2 5
34 3. 10
34 3. 10
4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________. 【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= . 答案：
【变式训练】设 cos( ) 1，
29
【 可sin解 知( 2题指)南 】32，由其已中知角 (
，)， 2
与(0，所 )求，角求cos
2
建 立. 关系，
2
，
22
2
( ) ( ).
2
22
【解析】因为 因为
(
，)， 2
(0， 2
)，所以
2
(
，)， 42
(
， 42
)，
所以
【题型探究】
类型一 给角求值
【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ) sin 20cos 10 cos 160sin 10=( )
A. 3
2
B. 3
2
C1.
1 D.
2
2
2.求下列各式的值. (1) ((23))ssiinn(17x8+c2o7s°29)cosisn(91s8i°n 29-x.)-sin(63°-x)·sin(x-18°).
2.两角和的余弦公式的适用条件
公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，
如
中的“ ”相当于公式中的角α，“ ”
相当于公式中的角β.
cos( )
2
2
2
2
知识点2 两角和与差的正弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同？ 问题2：在计算两角的和与差时，如何利用两角和与差的正弦公式？
sin 50
=( sin 10 sin 60 ) cos 10
cos 10 cos 60 sin 50
= sin(50) cos 10 2.
cos 10cos 60 sin 50
【方法技巧】解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部 的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行 各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相 消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变 用公式.
4
4
【解析】因为 3，所以 ，
4
4
24
因为 cos( ) 3，所以sin( ) 4 .
4
5
4
5
0 ，3 3 ， 44 4
因为 sin( 3 ) 5 ，所以cos( 3 ) 12 .
4
13
4
13
因为 (3 ) ( ) ，
4
4
所以sin(α+β)=-sin[π+(α+β)]
sin(α+β)=______________________，简记为______，其中α，β
都是_______.
(2)两角差的正弦：sinαcosβ+cosαsinβ
S(α+β)
sin(α-β)=______________________，简记为______，其中α，β
都是__任_意__角__.
22
22
1 5 4 52 7 5. 9 3 9 3 27
【补偿训练】已知 3，0 ，
4
4
4
求coss(in(α)+β)3的，值sin.( 3 ) 5 ，
4
5Байду номын сангаас
4
13
【解题探究】本题中角α+β与已知条件中的角 如何联系起来？
4
，3 4
提示：
(3 ) ( ) .
2
sin 7 cos 2 sin( 7 )sin 2
18 9
2 18 9
sin 7 cos 2 cos 7 sin 2
18 9
18 9
sin( 7 2) sin 1 .
18 9
62
(2)原式=sin(x+27°)cos(18°-x)-cos[90°-(63°-x)]· sin(x-18°) =sin(x+27°)cos(x-18°)-cos(x+27°)·sin(x-18°) =sin[(x+27°)-(x-18°)]=sin45°= .
3 2
3 2
5【.解若析co】s因 为153，
(
2
，
则
)，
cos( )
6
________.
所以 所以
cos 5 ， ( ，)，
13
2
sin 1 cos2 1 ( 5 )2 12，
13 13
答案：cos( ) coscos sinsin
6
6
6
5 3 12 1 5 3 12 .
sinαcosβ-cosαsinβ
S(α-β)
任意角
【即时小测】 1.思考下列问题 (1)sin(α+β)=sinα+sinβ一定不成立吗？ 提示：一般情况下上面式子是不成立的，但在特殊情况下如当α=0， β∈R，或α∈R，β=0时，sin(α+β)=sinα+sinβ成立.
(2)S(α+β)与S(β+α)有什么关系？S(β-α)与S(α-β)相等吗？ 在利用S(α-β)时需要注意什么？ 提示：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(β+α) =sinβcosα+cosβsinα观察可得S(α+β)与S(β+α)相等. sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ， sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα，可知一般情况下sin(α-β) ≠sin(β-α)，在利用公式时要注意做差顺序.
sin
(
3 4
)
(
4
)
sin( 3 )cos( ) cos( 3 )sin( )
4
4
4
4
5 ( 3) (12) 4 63.
13 5 13 5 65
2.计算sin40°sin80°-cos40°cos80°的值为( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选C. 3
1
3
sin40°sin80°-cos240°cos802°
3
=-cos(80°+40°)=cos60°= .
1 2
3【 si.n解设α析=】，(因2其，为中)，co若s( αsi，α<n是0)可，第53得，二则象s限in内(又的根3角据)等，两于根角_据_和_s_i的_n_2正_α_弦+. c公os式2α得=1，
(tan 10 3) cos 10 . sin 50
【解题探究】1.典例1中cos160°如何处理？ 提示：利用诱导公式将cos160°转化为-cos20°. 2.(1)典例2(1)中当代数式中的结构不满足公式S(α±β)时，常借助什 么工具给予变形？ 提示：当代数式中的结构不满足公式S(α±β)时，常借助诱导公式给予 变形，之后再求值.
【变式训练】 2cos 10 sin 20的值是( )
A.
B. sin 70 C.
D.
【解1 析】选C.原式=3
2
=
2
2cos(30
20)
3 sin
20
2
sin 70
= 2(cos 30cos 20 sin 30sin 20) sin 20
sin 70
= ( 3cos 20 sin 20) sin 20
1 (12 )2 5 ，cos( ) 1 sin2 ( ) 1 ( 3 )2 4 .
13 13
5
5
( 3) 12 ( 4) 5 16 . 5 13 5 13 65
【方法技巧】给值(式)求值的策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角” 的和或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角” 的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
sin 70
3cos 20 3. cos 20
类型二 给值(式)求值
【典例】1.(2015·荆州高一检测)若
则cos(α-β)的值为( )
A.
B.
C.
2.(2015·青岛高一检测)已知
sin sDin.1 1
3，cos cos 1，
2
2
求sin2α的值.
1
3
3
2
2
4
3，cos( ) 12，
2
所以2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)=
所以cosαcosβ+sinαsinβ= ，即
co(1s(α-3β))2 = ( 1. )2，
2
2
2 3，
3
2 3
2
2.因为 3，所以0 ， 3 .
2
4
4
2
所又以coss(in2 α)=s11i23n，[(sαin-(β)+)(α+53β，)]所=以sisnin((α-β))cos(α+β)+
cos(
) 2
1，sin( 9
2
)
2， 3
sin( ) 1 cos2 ( ) 1 1 4 5，
2
2
81 9
cos( ) 1 sin2 ( ) 1 4 5，
2
2
93
所以
cos 2
cos (
) ( 22
)
cos( )cos( ) sin( )sin( )
2
4
13
sin( ) 3， 5
【解题探究】1.典例1中，如何将
联系起来？
sin sin 1
提示：对两式分别平方，然后相加.
3，cos cos 1
2
2
2.如何利用已知角表示待求角？
提示：2α=(α-β)+(α+β).
【解析】1.选B.因为
sin sin 1
3，
所co以s(sicnosα-sin1β，)2+(cosα-cosβ)2 2
2 2
(3)方法一：原式= ( sin 10 3) cos 10
cos 10
sin 50
= sin 10 3cos 10 cos 10
cos 10
sin 50
=
2(
1 2
sin
10
3 cos 10) 2
sin 50
= 2sin(10 60) 2.
sin 50
方法二：原式= (tan 10 tan 60) cos 10
2.两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用：把sin(α±β)，从左向右展开. (2)逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要 用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变用；二是角的变 用，也称为角的拆分变换，如β=(α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β).
co1s(cαo-sβ2 ()sin)(α+1β)(12 )2 5 ，
13 13
5 ( 4) 12 ( 3) 56 . 13 5 13 5 65
【延伸探究】典例2中的条件不变，如何求sin2β的值.
【解析】因为
3，所以0 ， 3 .
2
4
4
2
所c以oss(in2β)= s1i2n，[(sαin+(β)-()α-β3)，] 所以sin( ) 1 cos2( ) =sin(α+β)c1o3s(α-β)-cos(α+5 β)sin(α-β)
【总结提升】 1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点 (1)公式中的α，β均为任意角. (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公 式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例. (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和 与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”.
13 2 13 2
26
5 3 12 26
【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：运用两角和的余弦公式时需要注意什么？ 问题2：两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗？能不能是角 的组合？
【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号，不能混淆， 即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ. (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简.
(2)观察典例2(2)，角“27°+x”与角“63°-x”有什么关系？ 提示：角“27°+x”与角“63°-x”和为90°. (3)典例2(3)中对tan 10°如何处理？ 提示：采用切化弦，即tan 10°=
sin 10 cos 10
【解析】1.选D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30°= . 2.(1)原式=1
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
【知识提炼】 1.两角和的余弦公式 cos(α+β)=______________________，简记为______，其中α，β 都是_______.
cosαcosβ-sinαsinβ
C(α+β)
任意角
2.两角和与差的正弦公式
(1)两角和的正弦：