高中数学人教A版(2019) 必修一 第三章 函数概念与性质

高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质
一、单选题
1..若，则的定义域为（）
A. B. C. D.
2.下列函数既是定义域上的偶函数，又是上增函数的是（）
A. B. C. D.
3.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，且，则
的值为（）
A. B. 0 C. 4 D. 2
4.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有
成立，若，则的大小关系是（）
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
6.已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
8..设函数=ln（+1），则使得＞（-1）的的取值范围是（）
A. （-∞，1）
B. （
C. （-∞，）∪（1，＋∞）
D. （）
二、多选题
9.下列函数表示相同函数的是（）
A. B.
C. D.
10..已知函数，若存在，使得成立，则（）
A. B.
C. D.
11..已知函数（指不超过的最大整数），下列说法正确的是（）
A. B. 为增函数 C. 为奇函数 D. 的值域为
12.已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有
，则实数的取值范围可以是（）
A. B. C. D.
三、填空题
13.已知，则函数的值域为________．
14.设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是________.
15.已知函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，当x≤1时，，则不等式
的解集为________.
16.已知函数是上的增函数，那么实数a的取值范围是________．
四、解答题
17.已知函数且是奇函数．
（1）求的值；
（2）令函数，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．
18.已知函数．
（1）当是偶函数时，求a的值并求函数的值域．
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
19..函数是定义在上的奇函数，且．
（1）.确定的解析式；
（2）.判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）.解不等式．
20.已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
21.2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产.已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，(万元).当年产量不小于千件时，
(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （1）写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
22..已知为R上的奇函数．
（1）.求实数a的值：
（2）.，．若对任意的，总存在，使得成立，求实数b的取值范围．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】由题意，解得且．
故答案为：D．
【分析】结合函数定义域的求法：分母不为零，真数大于零零即可得到关于x的不等式组，求解出x的取值范围即可。

2.【答案】A
【解析】【解答】对于A中，函数的定义域为关于原点对称，
且满足，所以函数为定义域上的偶函数，
又由当时，可得，可得函数为单调递增函数，符合题意；
对于B中，当时，函数为单调递减函数，不符合题意；
对于C中，函数为非奇非偶函数，不符合题意；
对于D中，根据对数函数的图象与性质，可得函数为非奇非偶函数，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义、增函数的定义，从而找出既是定义域上的偶函数，又是
上增函数的函数。

3.【答案】A
【解析】【解答】∵是上的奇函数，
∴，即，．
，∴．
故答案为：A．
【分析】由f(1)得f(-1)，求得参数m值后可得f( -2)从而得f(2)。

4.【答案】D
【解析】【解答】解：∵对任意，，均
有
∴函数f(x)在（-∞，0）上单调递减，
又函数为上的偶函数，
∴函数f(x)在（0,+∞）上单调递增，
又∵，，
考查幂函数，易知幂函数在(0,+∞)上单调递增，
∵e2<8<9
∴
即c<a<b
故答案为：D
【分析】根据增函数的定义，结合幂函数的单调性即可判断.
5.【答案】D
【解析】【解答】根据复合函数的单调性可知，若函数在区间上单调递增，
需满足，解得：.
故答案为：D
【分析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数，对数函数的性质，即可得出答案。

6.【答案】C
【解析】【解答】解：因为幂函数的图像过点，
所以，所以，所以，
由于函数在上单调递增，
所以，解得：．
故的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用函数为幂函数可求出a的值，然后利用图像过点，求出n的值，从而得到函数的解析式，再利用函数的单调性等价转化不等式，求解即可。

7.【答案】C
【解析】【解答】，
故为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当时，，，，且，
故，排除A，D选项.
故答案为：C
【分析】先判断函数为奇函数，然后研究当x>0时，f(x)>0即可得出答案。

8.【答案】D
【解析】【解答】依题意的定义域为，且，所以为偶函数，
当时，= 为增函数，时，= 为减函数，
故由＞（-1）得
，两边平方化简得，解得，
故答案为：D.
【分析】首先由偶函数的定义即可判断出函数为偶函数，再由函数单调性的定义即可得出不等式，利用绝对值不等式的解法即可求出x的取值范围。

二、多选题
9.【答案】B,C
【解析】【解答】解：对于A：显然不是相等函数，A不符合题意；
对于B：定义域为，且定义域也为，且函数解析式一致，故是相等函数，B符合题意；
对于C：因为，所以与是同一函数，C符合题意；
对于D：与显然不是相等函数，D不符合题意。

故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合同一函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，从而选出表示同一函数的一组函数。

10.【答案】A,C
【解析】【解答】如图：
可知，，，则，
且，所以，即.
因为，所以，.
故答案为：AC.
【分析】作出函数f（x）的图象，分析出，，，，从而
，可得答案。

11.【答案】A,D
【解析】【解答】A. ①因为指不超过的最大整数，故，当且仅当为整数的时候取等号；
② 当为整数时，成立，当不为整数时，设，则由指不超过的最大整数可知，，故，A符合题意；
B. ，，故不是增函数，B不符合题意；
C. ，，不是互为相反数，C不符合题意；
D. 由A项分析可知，设，则，
故，D符合题意。

故答案为：AD
【分析】利用函数（指不超过的最大整数），故，当且仅当为整数的时候取等号，再利用分类讨论的方法求出；再利用增函数的定义、奇函数的定义判断函数的单调性和奇偶性；再利用函数值域求解方法，进而求出函数的值域，从而找出说法正确的选项。

12.【答案】A,D
【解析】【解答】二次函数图象的对称轴为直线，
∵任意且，都有，
即在区间上是单调函数，∴或，
∴或，即实数的取值范围为.
故答案为：AD
【分析】根据题意由二次函数的性质结合已知条件且，都有即可得出函数f(x)的单调性，由单调性的性质即可得出a的取值范围即可。

三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：因为，所以，所以，令，则，
所以，所以，
因为抛物线的对称轴方程为，所以时，函数单调递增，
所以．
故答案为：
【分析】令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得。

14.【答案】
【解析】【解答】由函数定义域及，可知函数为奇函数，在上对任意实数都有成立，函数在上为增函数，
又函数为奇函数，函数在为增函数，
又，则，作出函数草图如图所示：
或，
根据的图像可知的解为：。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合奇函数的定义，判断出函数为奇函数，因为在上对任意实数都有成立，再利用增函数的定义判断出函数为增函数，再利用函数的奇偶性结合函数的单调性，再结合函数的图像，从而求出不等式的解集。

15.【答案】（或）
【解析】【解答】由对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，
则函数关于对称，
当x≤1时，，函数单调递增，
所以当时，函数单调递减，
所以不等式，
即，即，
两边平方解不等式可得，
所以不等式的解集为（或）.
故答案为：（或）
【分析】由对任意的实数x，有f(1-x)=f(1+x)，则函数关于对称，当x≤1时，，函数
单调递增，再利用函数图象的对称性，得出当时，函数单调递减，再利用函数的单调性得出不等式等价于，再利用平方法求出不等式的解集。

16.【答案】1＜a≤3
【解析】【解答】因为函数是上的增函数，
所以，解得1＜a≤3，
所以实数a的取值范围是1＜a≤3.
故答案为：1＜a≤3.
【分析】结合题意由指数函数与一次函数单调性的性质即可得到关于a的不等式组求解出a的取值范围即可。

四、解答题
17.【答案】（1）函数的定义域为,又是奇函数
所以
当时，，
满足是奇函数，所以
（2）
由，则，所以，所以
即的值域为
方程在上有解，则，解得
所以满足条件的实数的取值范围：
【解析】【分析】（1）由函数的定义域为,且是奇函数，则，从而可求出答案；（2）由题意，先求出函数的值域，方程在上有解，则，求解可得答案。

18.【答案】（1）解：由是偶函数可得，
即，则，
即恒成立，所以.
经验证，时，为上的偶函数，符合题意.
因为，所以，
故函数的值域是
（2）解：因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，
所以在上单调递增，且时，，
根据二次函数的性质，可得，解得
【解析】【分析】(1)结合题意由偶函数的定义即可得到整理即可得到恒成立求出a的值并验证；再由二次函数的性质得到结合对数函数的单调性即可得出函数f(x)的值域。

(2)利用复合函数的单调性结合二次函数和对数函数的单调性即可得出关于a的不等式组，求解出a的取值范围即可。

19.【答案】（1）由函数是定义在上的奇函数知，
所以解得，经检验，时，是上的奇函数，满足题意
又，解得，故，．
（2）在上为增函数．证明如下：
在内任取且，则，
因为，，，，
所以
即，所以在上为增函数．
（3）∵，∴，又∵是上的奇函数，
∴，结合在上为增函数，
得，解得：，即．
【解析】【分析】(1)由解得，验证时，为奇函数，由解得，可得函数的解析式；
(2) 在内任取且，推出可知在上为增函数；
(3)根据函数为奇函数，将化为，结合单调性和定义域可解得结果。

20.【答案】（1）解：因为定义域为的函数是奇函数，
所以．
（2）因为当时，，所以，
又因为函数是奇函数，所以，所以，
综上，
（3）由，得，
因为是奇函数，所以，
又在上是减函数，所以，
即对任意恒成立，
令，则，
由，解得，
故实数的取值范围为．
【解析】【分析】(1)由已知条件把点的坐标代入计算出结果即可。

(2)利用奇函数的定义整理化简即可得出函数的解析式。

(3)根据题意由已知条件得到不等式，再由奇函数的定义整理得到
即对任意恒成立，结合二次函数的性质对判别式进行限制得到
求解出k的取值范围即可。

21.【答案】（1）解：因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为万元，
依题意得：
当时，，
当时，，
所以
（2）解：当时，，
此时，当时，即万元.
当时，，
此时，即万元，
由于，
所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元.
【解析】【分析】(1)根据题意由利润与销售额和成本之间的关系结合题意即可得出函数的解析式。

(2)由二次函数的性质以及基本不等式分别求出不同区间下的函数的最值，经过比较即可得出满足题意的函数的最大值。

22.【答案】（1）解：∵为R上的奇函数，∴，
解得：
经检验：当时，满足为奇函数
所以
（2）解：由（1）知
由复合函数单调性知：在上单调递增
所以当时，，即
设在的值域为A，知
对b讨论：当时，显然不符合
当时，因为与在上均单调递增，同理根据复合函数单调性知：所以在上单调递增
所以当时，
故有：
解得：.
【解析】【分析】（1）由奇函数性质求得a，代入检验即可得；
（2）确定函数的单调性求得时，是的值域B，的值域为A，由可得b的范围。