新人教版八年级下压轴题

初二期末复习题
1.△ABC 、△ADE 都是正三角形，CD=BF. （1）、求证：△ACD ≌△CBF
（2）、当D 运动至BC 边上的何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且
∠DEF=30°,并证明你的结论.
分析 ⑴.证明△ACD ≌△CBF 已经有了CD=BF ，而△ABC 、△ADE 都是正
三角形又可以给我们提供,CA CB ACD CBF 60=∠=∠=条件，根据“SAS ”判定方法可以证得△ACD ≌△CBF.
⑵.根据⑴问的△ACD ≌△CBF 得出AD CF =,又△ADE 是正三角形的
DE CF =,所以CF DE =;要使四边形CDEF 为平行四边形可以证CF DE .
若四边形CDEF 为平行四边形，则FCD DEF 30∠=∠=；当EDB 30∠=时，就有FCD EDB ∠=∠,此时就能证得CF DE .由正△ADE 可以得出ADE 60∠=，则ADB 603090∠=+=,AD BC ⊥;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D 运动至BC 边上中点时，四边形CDEF 为平行四边形.
2.D 为□ABCD 外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD 为矩形
分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD 是平行 四边形的情况下，要判定ABCD 是矩形的途径有两条：其一、找
一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC BD =.
由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出AC BD =.
我们发现本题在APC Rt 和BPD Rt 的两斜边的交点O 恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O 同时是AC BD 、的中点；所以自然联想到连结PO 这条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在APC Rt 和BPD Rt 中就有：AC 2PO = BD 2PO =,故AC BD =,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD 是矩形.
3. △ABC 中，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC ，AH ⊥BC 于H 交BD 于E,DF ⊥BC 于F,求证：四边形AEFD 是菱形
分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得
解决.
下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出AD FD =,进而容易证明 ABD ≌AFD ,所以BA BF =;再证明ABE ≌AFE 可以得到EA EF =（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出 ADE AED ∠=∠,所以EA DA =,于是AE EF FD DA ===,故四边形AEFD 是菱形.
4、 如图所示，在菱形ABCD 中，,AB 4BAD 120=∠=，AEF
为正三角形，点E F 、分别在菱形的边BC CD 、上滑动，且
E F 、不与B C D 、、重合． ⑴.证明不论E F 、在BC CD 、D 上如何滑动，总有BE CF =? ⑵.当点E F 、在BC CD 、上滑动时，探讨四边形AECF 的面积
是否发生变化？如果不变，求出这个定值. 分析： F
A B C
A
B
H D E
F O
B
P
A 321
E
H A
B F
⑴.先求证AB AC =，进而求证ABC ACD 、为等边三角形，得=BAC 60AC AB ∠=，进而求证ABE
≌ACF ，即可求得BE CF = ⑵.根据
ABE ≌
ACF 可得
ABE ACF S
S =
;根据S 四边形AECF =AEC S +
ACF S
=
AEC S
+
BAE S
=ABC S
即可解得.
⑴.证明：连接AC ，如下图所示.
∵四边形ABCD 为菱形，BAD 120∠=∴,1EAC 602EAC 60∠+∠=∠+∠= ∴12∠=∠∵BAD 120∠=∴ABC 60∠=∴ABC 和ACD 都为等边三角形 ∴=460AC AB ∠=， ∴在
ABE 和
ACF 中，12AB AC ABC 3∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴
ABE ≌ACF ()ASA ∴BE CF =
⑵.解：四边形AECF 的面积不变.理由：由⑴得ABE ≌ACF ，则ABE ACF S S =.
故S 四边形AECF =AEC S +ACF S =AEC S +BAE S =ABC S 是定值.作AH BC ⊥于H 点，则BH 2=
S
四边形
ABCD ＝S
ABC =11
BC AH 22
⋅=
5、(1)在图25－1中，已知∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ． ∠ABC ＝∠ADC ＝90°，则能得如下两个结论： ① DC = BC; ②AD+AB=AC.请你证明结论②；
(2)在图25－2中，把（1）中的条件“∠ABC ＝∠ADC ＝90°”改为∠ABC ＋∠ADC ＝180°，
其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立， 请给出证明;若不成立，请说明理由．
5、（1）证明：∵∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ． ∴∠DAC = ∠BAC =60 ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，
∴∠DCA ＝∠BCA ＝30°，
在Rt △
ACD 中，∠DCA ＝30°，Rt △ACB 中， ∠BCA ＝30°∴AC=2AD ， AC = 2AB ， ∴2AD=2AB
∴AD=AB
∴AD+AB=AC.
（2）解：（1）中的结论① DC = BC; ②AD+AB=AC 都成立
理由如下：如图24－2，在AN 上截取AE=AC ，连结CE ， ∵∠BAC =60°，∴△CAE 为等边三角形， ∴AC=CE ，∠AEC =60°， ∵∠DAC =60°， ∴∠DAC =∠AEC ， ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°∠ABC
C
N
M
D B
A
N M D
C
＋∠EBC ＝180°，∴∠ADC =∠EBC ， ∴ADC △≌△EBC ∴DC = BC ，DA = BE ， ∴AD+AB=AB+BE=AE ， ∴AD+AB=AC ．
6如图所示，直线l ：y=-
22
1
与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间 t 之间的函数关系式；
（3）当t 为何值时△COM ≌△AOB ，并求 此时M 点的坐标．
A 、
B 两点的坐标分别为A （4，0）、B （0，2）；（2）∵C（0，4），A （4，0）∴OC=OA=4，
当0≤t≤4时，OM=OA-AM=4-t ，S △OCM = 1 2
×4×（4-t ）=8-2t ；
当t ＞4时，OM=AM-OA=t-4，S △OCM = 1 2
×4×（t-4）=2t-8；
（3）分为两种情况：①当M 在OA 上时，OB=OM=2，△COM≌△AOB．∴AM=OA -OM=4-2=2
∴动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； M （2，0），
②当M 在AO 的延长线上时，OM=OB=2，则M （-2，0），即M 点的坐标是（2，0）或（-2，0）． 7、如图，直线y=kx+6分别与x 轴、y 轴相交于点E 和点F ，点E 的坐标为 （-8，0），点A 的坐标为（0，6）。

（1）求k 的值；
（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，当点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）探究：当P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为
，并说明理由。

解：（1）把E （-8，0）代入直线y=kx+6中得： 0=-8k+6，解得：k=
（2）直线是：y=x+6 即P 坐标是：（x ，x+6) 所以：OPA 的面积是：S=×|OA|×（x+6）
y
F
E A O x
=×6×(x+6)=x+18 （-8<x<0）（3）s=代入上式中得：=x+18 x=-6.5y=×(-6.5)+6=即当P点运动到（-6.5，）时面积是。

8、在△ABC中，∠B=60°点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，
线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示 Q（1，）是函数图象上的最低点请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题
（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；
（2）求∠B的度数；
（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围
试题分析：（1）从图乙可得当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；
图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=（2）在RT△ABH中，AH=，BH=1，
故（3）①当∠APB为钝角时，此时可得0＜x＜1；
②当∠BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB，
则BP=4，
即当4＜x≤6时，∠BAP为钝角
综上可得0＜x＜1或4＜x≤6时△ABP为钝角三角形
9、如图，已知点A，点B在第一，三象限的角平分线上，P为直线AB上的一点，PA=PB，AM、BN分别垂直与x轴、y轴，连接PM、PN．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，P、A、B在第三象限，猜想PM，PN之间的关系，并说明理由；
（3）点P、A在第三象限，点B在第一象限，如图2其他条件不变，（2）中的结论还成立吗，请证明你的结论．
（1）∵点A，点B在第一，三象限的角平分线上，
∴直线AB的解析式是y=x；
（2）PM=PN且PM⊥PN，
理由是：过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，过A
作AQ⊥y轴于Q，
∵A在第一、三象限的角平分线上，PM⊥x轴于M，
∴AM=AQ，∠AMO=90°，∠MOA=45°，
∴∠MAO=∠MOA=45°，
∴OM=AM，
同理OQ=AQ，
∴OM=OQ，
同理OE=OF，PE=PF，
在△MEP和△NFP中
ME＝NF
∠MEP＝∠NFP＝90°
PE＝PF
∴△MEP≌△NFP（SAS），∴PM=PN，∠EPM=∠NPF，∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，x轴⊥y轴，∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°，即PM⊥PN；
（3）成立；
证明：延长BN交AM于E，连接EP，
∵A、B在第一、三象限角的角平分线上，
∴∠MOA=∠BON=45°，
∵∠BNO=∠AMO=90°，∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°，
∴AE=BE，BN=ON，∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°，
∴四边形EMON是矩形，∴ME=ON=BN，∠AEB=90°，
∵P为AB中点，AE=BE，
∴∠MEP=∠NBP=45°，EP=PB，∠EPB=90°，
在△EMP和△BNP中
EP＝BP
∠MEP＝∠NBP
EM＝BN
∴△EMP≌△BNP（SAS），
∴PM=PN，∠EPM=∠NPB，
∵∠EPB=90°，∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°，
即PM⊥PN．
10、如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（6，0），点C在第一象限
内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F．
（1）求直线BD的函数表达式；
（2）求线段OF的长；
（3）连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．
（1）∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，OC=BC=OB，
∵点B的坐标为（6，0），∴OB=6，
在Rt△OBD中，∠OBC=60°，OB=6，∴∠ODB=30°，∴BD=12，∴
OD=
122?62
=6
3
，
∴点D的坐标为（0，6
3
），
设直线BD的解析式为y=kx+b，则可得∴直线BD的函数解析式为y=-
3
x+6
3
．
（2）∵∠OCB=60°，∠CEF=90°，∴∠CFE=30°，∴∠AFO=30°（对顶角相等），又∵∠OBC=60°，∠AEB=90°，
∴∠BAE=30°，∴∠BAE=∠AFO，∴OF=OA=2．
（3）连接BF，OE，如图所示：∵A（-2，0），B（6，0），
∴AB=8，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，AB=8，
∴BE=
1
2
AB=4，∴CE=BC-BE=2，∴OF=CE=2，
在△COE和△OBF中，
CE＝OF
∠OCE＝∠BOF＝60°
CO＝OB
，
∴△COE≌△OBF（SAS），
∴OE=BF．
11、如图，A（1，0），B（4，0），M（5，3）．动点P从点A出发，沿x轴
以每秒1个单位长的速度向右移动，且过点P的直线l：b
=也随之移动．设移动时
-
y+
x
间为t秒．
（1）当t=1时，求l的解析式；
（2）若l与线段BM有公共点，确定t的取值范围；
（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在y轴上．
解：（1）直线y=-x+b交x轴于点P（1+t，0），
由题意，得b＞0，t≥0，．当t=1时，-2+b=0，解得b=2，
故y=-x+2．
（2）当直线y=-x+b过点B（4，0）时，0=-4+b，解得：b=4，0=-（1+t）+4，
解得t=3．当直线y=-x+b过点M（5，3）时，3=-5+b，解得：b=8，0=-（1+t）+8，解得t=7．故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．
（3）如图，过点M作MC⊥直线l，交y轴于点C，交直线l于点D，则点C为点M在坐标轴上
的对称点．
设直线MC的解析式为y=x+m，则3=5+m，解得m=-2，
故直线MC 的解析式为y=x-2．当x=0时，y=0-2=-2， 则C 点坐标为（0，-2），∵（0+5）÷2=2.5，（3-2）÷2=0.5， ∴D 点坐标为（2.5，0.5），当直线y=-x+b 过点D （2.5，0.5）时， 0.5=-2.5+b ，解得：b=3， 0=-（1+t ）+3， 解得t=2．
∴t 为2时，点M 关于l 的对称点落在y 轴上．
10. (2015·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形.请解决下列问题：
（1）已知：如图1，四边形ABCD 是等对角四边形，A C ∠≠∠，070A ∠＝，B ∠0
＝75，则C ∠＝ ，
D ∠＝ .
（2）在探究等对角四边形性质时：
①小红画了一个如图2所示的等对角四边形ABCD ，其中ABC ADC ∠∠＝，AB ＝AD ，此时她发现CB ＝CD 成立，请你证明该结论；
②由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等” .你认为她的猜想正确吗？若正确，请给与证明；若不正确，请举出反例.
（3）已知：在等对角四边形ABCD 中，0
60DAB ∠＝，0
90ABC ∠＝，AB ＝5，AD ＝4，求对角线AC 的长.
图1
图2
答案：（1）0140C ∠＝ 075D ∠＝ ………………………………… 2分 （2）①证明：连接BD ， ∵AB ＝AD ，∴ABD ADB ∠∠＝.
∵四边形ABCD 为等对角四边形，∴ABC ADC ∠∠＝.
∴CBD CDB ∠∠＝，即CB ＝CD . ………………………………… 5分 ②不正确 ………………………………… 6分 如图，在等对角四边形ABCD 中，A C ∠∠＝，B D ∠≠∠，AB ＝BC ，但显然AD DC ≠
………………………………… 8分
（3）当090ABC ADC ∠∠＝＝时，如图 延长BC 、AD 相交于点E ∵0
60DAB ∠＝，∴0
30E ∠＝. ∵AB ＝5，∴AE ＝10，BE ＝53. 又∵AD ＝4， ∴DE ＝6. 在Rt DCE ∆中，0
43cos30
DE
CE =
= ∴BC ＝BE －CE ＝53433-= 在Rt ABC ∆中，2227AC AB BC =
+= ……………………………… 11分
当0
60DAB DCB ∠=∠=时，如图
过D 点作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为点E 、F ，则四边形BEDF 为矩形
在Rt ADE ∆中，0
1cos 60422AE AD ==⨯
=，DE ＝03sin 604232
AD =⨯= ∴DF ＝BE ＝AB －AE ＝5－2＝3
在Rt CDF ∆，03
3tan 603
DF CF =
==
∵BF ＝DE ＝23， ∴BC ＝BF +CF ＝33 在Rt ABC ∆中，22213AC AB BC =
+= ……………………………… 14分
4.（2015·江西赣三中·2014—2015学年第二学期中考模拟）如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，
E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE =∠BAD ，AE ⊥AC ． （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；
（2）如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长．
答案：（1）证明：∵ A D E B A D
∠=∠， 第3题 ∴ AB ∥ED ．…分
∵ BD 垂直平分AC ，垂足为F ，
∴B D A C ⊥，AF=FC ．
又∵ A E A C ⊥，
∴ 90E A C D F C ∠=∠=︒． ∴AE ∥BD ．
∴ 四边形ABDE 是平行四边形．
（2）解：如图2，连接BE 交AD 于点O ． ∵ DA 平分∠BDE ，
∴ ∠ADE=∠1． 又∵ A D E B A D
∠=∠， ∴ ∠1=∠BAD ． 第3题 ∴ AB= BD ．∴ ABDE 是菱形．∵ AB=5，AD=6，
∴ BD=AB=5，A D B E ⊥，1
32
O
A A D ==． 在Rt △OA
B 中，22
4O B A B O A =-=．
图2
新人教版八年级下压轴题
11 / 11 ∵ 1122
A B D S A D O B B D A F =⋅=⋅， ∴ 645A F ⨯=．
解得 4.8A F =． ∵ BD 垂直平分AC ，
∴ 29.6A C A F ==．。