2014高考数学二轮复习名师知识点总结：概率

概率
【高考考情解读】1。

古典概型和几何概型的基本应用是高考的重点，选择题或填空题主要以考查几何概型、古典概型为主，试题难度较小，易于得分.2.解答题型中的古典概型问题常常与概率的基本运算性质,如互斥事件的概率加法公式、对立事件的减法公式等综合考查，试题难度不大，易于得满分。

3。

近几年高考题对概率问题的命制愈加地倾向与统计问题综合考查，涉及的统计问题有抽样、样本估计总体、回归分析和独立性检验，试题难度中等，考查知识点的同时也侧重考查逻辑思维能力、知识的综合应用能力和理解、分析问题的能力．
1．概率的五个基本性质
（1)随机事件A的概率：0≤P(A）≤1.
(2)必然事件的概率为1.
（3)不可能事件的概率为0.
(4）如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B)＝P(A）＋P（B）．(5)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A∪B)＝P(A）＋P（B)＝1,即P（A）＝1－P（B)．
2．两种常见的概型
（1）古典概型
①特点：有限性，等可能性．
②概率公式:P（A）＝事件A中所含的基本事件数试验的基本事件总数。

(2）几何概型
①特点：无限性，等可能性．
②概率公式：
P(A）＝错误!。

考点一古典概型
例1 （2013·山东)某小组共有A，B，C,D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标（单位：千克/米2)如下表所示：
(1)2人身高都在1。

78以下的概率；
（2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以
上且体重指标都在［18。

5，23.9)中的概率．
解(1)从身高低于1。

80的4名同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A，B),（A，C），（A，D），（B，C)，(B,D），（C，D）共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M，其包括的事件有3个，故P(M)＝错误!＝错误!.
(2）从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B)，（A，C)，（A,D),(A，E)，(B，C），(B，D)，(B,E），(C，D)，(C，E）,(D，E）共10个．
设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在［18。

5，
23.9）”为事件N，且事件N包括事件有：（C，D），（C，E），（D，
E)共3个．
则P(N）＝错误!。

求古典概型概率的步骤
（1）反复阅读题目，收集题目中的各种信息,理解题意;
(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；
（3）利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m;
(4）计算事件A的概率P(A)＝错误!。

（1）(2012·安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的
球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从球中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析利用古典概型求解．
设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1,c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为:(a，b1），(a，b2),(a，c1)，(a，c2)，（a,c3），(b1，b2），(b1，c1)，(b1，c2)，（b1，c3）,(b2，c1），（b2，c2)，（b2,c3）,（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3)，共15个．两球颜色为一白一黑的基本事件有:
(b1,c1），（b1，c2），（b1，c3)，(b2,c1)，（b2，c2），(b2,c3)，共6个．∴其概率为错误!＝错误!.故选B。

（2)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈｛1，2，3,4,5,6｝，若｜a－b｜≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为
（)
A.错误!
B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案D
解析根据题目条件知所有的数组（a，b)共有62＝36组，而满足条件｜a－b|≤1的数组（a，b）有:（1,1)，(2，2)，(3，3），（4，4），（5，5),(6,6)，（1,2），(2,1）,(2,3),(3，2），(3，4），(4,3),（4,5），(5,4),(5，6），(6,5)，共有16组,根据古典概型的概率公式知所求的概率为P ＝错误!＝错误!.故选D.
(3)盒中有6个小球,其中3个白球，记为a1，a2，a3,2个红球，记为b1，b2,1个黑球,记为c1，除了颜色和编号外，球没有任何区别．
①求从盒中取一球是红球的概率;
②从盒中取一球,记下颜色后放回,再取一球，记下颜色,若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率．
解①所有基本事件为：a1，a2，a3，b1，b2，c1共计6种．
记“从盒中取一球是红球”为事件A，事件A包含的基本事件为：b1，b2，
∴P（A)＝错误!＝错误!。

∴从盒中取一球是红球的概率为1 3 .
②记“两次取球得分之和为5分”为事件B，总事件包含的基本事件为：（a1，a1)，(a1，a2），(a1，a3)，（a1，b1）,(a1，b2），（a1，c1)，(a2，a1），（a2，a2），（a2，a3),(a2,b1），（a2,b2)，（a2，c1），(a3，a1)，(a3，a2),（a3,a3）,(a3，b1),（a3,b2），(a3，c1)，（b1，a1）,（b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b1)，(b1，b2),（b1，c1)，(b2，a1),（b2,a2）,（b2,a3），（b2，b1)，(b2，b2），（b2,c1），(c1，a1)，(c1，a2),（c1，a3)，（c1,b1)，(c1，b2），（c1,c1)，共计36种．
而事件B包含的基本事件为：(b1，c1），（b2，c1),（c1，b1），(c1，b2)，共计4种．
∴P（B）＝错误!＝错误!.
∴“两次取球得分之和为5分”的概率为错误!.
考点二几何概型
例2 （2013·四川）节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是
( ) A。

错误!B。

错误! C.错误! D.错误!
答案C
解析设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯
第一次亮的时刻
为x、y，x、y相互独立,由题意可知错误!,如图所示．
∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(｜x－y｜≤2）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．
（1)在区间［0，2]上任取两个实数a，b，则函数f（x）＝x3＋ax－b在区间［－1,1］上有且仅有一个零点的概率是
（）
A.错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
（2）(2012·湖北)如图,在圆心角为直角的扇形OAB
中，分别以OA，
OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点,
则此点取自阴影
部分的概率是( )
A．1－错误! B.错误!－错误!
C。

错误!D。

错误!
答案(1）D （2）A
解析(1）因为f′(x）＝3x2＋a，由于a≥0，故f′
（x)≥0恒成立，
故函数f（x）在[－1，1]上单调递增，故函数f（x）
在区间［－1,1］上有且
只有一个零点的充要条件是错误!即错误!
设点(a，b)，则基本事件所在的区域是错误!画出平面区域，如图所示，根据几何概型的意义,所求的概率是以图中阴影部分的面积和以2为边长的正方形的面积的比值，这个比值是错误!。

故选D.
(2）方法一解题关键是求出空白部分的面积，用几何概型求解．
设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C,OA的
中点为D，如
图，连接OC，DC.
不妨令OA＝OB＝2，
则OD＝DA＝DC＝1。

在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝错误!＋错误!×1×1
－
错误!＝1，
所以整体图形中空白部分面积S2＝2。

又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π,
所以阴影部分面积为S3＝π－2.
所以P＝错误!＝1－错误!.
方法二连接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面积．
设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，令OA＝2.
由题意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC,
所以S空白＝S△OAB＝错误!×2×2＝2.
又因为S扇形OAB＝错误!×π×22＝π，
所以S阴影＝π－2.
所以P＝错误!＝错误!＝1－错误!.
考点三互斥事件与对立事件
例3 某项活动的一组志愿者全部通晓中文，并且每个志愿者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语)．已知从中任抽一人，其通晓中文和英语的概率为错误!，通晓中文和日语的概率为错误!.若通晓中文和韩语的人数不超过3人．
(1)求这组志愿者的人数；
（2）现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿者1名,通晓韩语的志愿者1名，若甲通晓英语，乙通晓韩语，求甲和乙不全被选中的概率．
解(1）设通晓中文和英语的人数为x,通晓中文和日语的人数为y，通晓中文和韩语的人数为z，且x，y，z∈N*，则
错误!解得错误!
所以这组志愿者的人数为5＋3＋2＝10.
（2)设通晓中文和英语的人为A1，A2,A3,A4，A5，甲为A1，通晓中文和韩语的人为B1，B2,乙为B1，则从这组志愿者中选出通晓英语和韩语的志愿者各1名的所有情况为（A1，B1)，（A1,B2），(A2,B1），(A2,B2)，(A3,B1),(A3，B2)，(A4，B1），(A4,B2),（A5，B1)，(A5，B2）,共10种，
同时选中甲、乙的只有(A1，B1）1种．
所以甲和乙不全被选中的概率为1－错误!＝错误!.
求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件,还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．
(2013·江西）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1、A2、A3、A4、A5、A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X〉0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．
(1)写出数量积X的所有可能取值；
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．
解(1）X的所有可能取值为－2，－1，0,1。

（2)数量积为－2的有错误!·错误!5，共1种；
数量积为－1的有错误!·错误!,错误!·错误!，错误!·错误!,错误!·错误!，
错误!·错误!，错误!·错误!，共6种；
数量积为0的有错误!·错误!,错误!·错误!，错误!·错误!，错误!·错误!，共4种；
数量积为1的有错误!·错误!，错误!·错误!，错误!·错误!，错误!·错误!，共4种．
故所有可能的情况共有15种．
所以小波去下棋的概率为P1＝错误!；
因为去唱歌的概率为P2＝错误!,
所以小波不去唱歌的概率为P＝1－P2＝1－错误!＝错误!.
1．互斥事件与对立事件的关系
（1）对立一定互斥，互斥未必对立；
(2)可将所求事件化为互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)来求，也可通过对立事件公式P(错误!)＝1－P(A）来求P(A）．
2．古典概型与几何概型
1．电子钟一天显示的时间是从00:00到23：59，每一时刻都由四个数字构成,则一天中
任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
( )
A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!
答案C
解析因为时钟一分钟显示一次，故总的显示方法数为24×60＝1 440(种），四个数字之和为23的有09：59,18：59，19：49，19:58四种情况,故所求概率为错误!＝错误!。

2．袋中装有大小相同且形状一样的四个球,四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．
答案错误!
解析从四个不同的数中选三个的情况有（2，3，4)，(2,3，6），(2,4，6），(3,4,6)，共四种，满足成等差数列的情况有(2,3,4)和（2,4,6）,共两种．故所求概率为错误!＝错误!.
3．（2012·天津)某地区有小学21所，中学14所，大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率．
解(1)由分层抽样定义知，
从小学中抽取的学校数目为6×错误!＝3；
从中学中抽取的学校数目为6×错误!＝2；
从大学中抽取的学校数目为6×
7
21＋14＋7
＝1.
故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1。

（2）①在抽取到的6所学校中,3所小学分别记为A1,A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1,A2}，{A1,A3},｛A1，A4｝，｛A1，A5｝，｛A1，A6}，｛A2,A3}，｛A2，A4}，｛A2,A5｝，{A2，A6},{A3,A4｝,｛A3，A5}，｛A3，A6},{A4，A5}，{A4,A6}，｛A5，A6}，共15种．
②从6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2｝，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种，
所以P(B)＝错误!＝错误!.
（推荐时间：60分钟）
一、选择题
1．(2013·课标全国Ⅰ）从1,2，3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
（）
A。

错误! B.错误!
C。

错误!D。

错误!
答案B
解析基本事件的总数为6，
构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.
所以，所求概率P＝错误!＝错误!，故选B。

2．（2013·安徽)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ）
A 。

23 B.25
C 。

35
D 。

错误! 答案 D
解析 由题意,从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙)，(甲，乙，丁),(甲，乙,戊),（甲，丙，丁），(甲，丙,戊），（甲，丁，戊），(乙，丙，丁)，（乙，丙,戊)，(乙，丁，戊），（丙，丁，戊),共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有（丙，丁，戊）这1种，故其对立事件“甲或乙被录用"的可能结果有9种，所求概率P ＝错误!.
3． (2012·北京）设不等式组错误!表示的平面区域为D ，在区域D
内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ）
A.错误!
B.错误!
C 。

错误!
D 。

错误!
答案 D
解析 根据题意作出满足条件的几何图形求解．
如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示
的区域D，且区
域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2
的区域,易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π
4
,故选D.
4．第16届亚运会于2010年11月12日在中国广州举行,运动会期间有来自A大学2名和B大学4名的大学生志愿者，从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，则至少有一名A 大学志愿者的概率是（)
A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
答案C
解析若这2名学生来自两所大学,
则P1＝错误!＝错误!;
若这2名大学生来自A大学,
则P2＝错误!.
故至少有一名A大学志愿者的概率是8
15
＋错误!＝错误!.
5．一个袋中有3个黑球，2个白球共5个大小相同的球，每次摸出一球，放进袋里再摸第二次，则两次摸出的球都是白球的概率为（)
A。

错误! B.错误!
C.错误!D。

错误!
答案D
解析有放回地摸球，基本事件总数为25；两次都是白球所包含的基本事件为4。

所以两次摸出的球都是白球的概率为错误!。

6．若利用计算机在区间（0,1）上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝22a－错误!有不等实数根的概率为
（)
A.错误!B。

错误!
C.3
4
D.错误!
答案B
解析方程x＝2错误!－错误!，即x2－2错误!x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2错误!)2－4×2b>0，即a>b。

在如图所示的平面直角坐标系内，(a,b）的所有可能结
果是边长为1
的正方形（不包括边界),而事件A“方程x＝2错误!－错误!有不等实数
根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界）．
由几何概型公式可得P（A)＝错误!＝错误!.
二、填空题
7．点A为周长等于3的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点B,则劣弧错误!的长度小于1的概率为________．
答案错误!
解析如图,设A，M，N为圆周的三等分点，当B点取
在优弧错误!上时，
对劣弧错误!来说，其长度小于1，故其概率为错误!. 8．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．答案错误!
解析P＝错误!＝错误!。

9．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3，4的正四面体，其底面落于桌面,记所得的数字分别为x，y，则错误!为整数的概率是________．
答案错误!
解析 将抛掷甲、乙两枚质地均匀的正四面体所得的数字x ，y 记作有序实数对（x ,y ），共包含16个基本事件，其中错误!为整数的有
（1，1）,(2，2），(3，3），(4，4)，（2,1),（3，1），(4，1)，(4,2），共8个基本事件，故所求的概率为错误!＝错误!。

10．已知区域Ω＝{(x ,y ）｜x ＋y ≤10，x ≥0，y ≥0}，A ＝｛(x ，y ）
|x －y ≥0,x ≤5,y ≥0},若向区域Ω上随机投1个点，则这个点落入区域A 的概率P (A )＝________。

答案 错误!
解析 作出如图所示的可行域，易得区域Ω的面积
为错误!×10×10＝50，
区域A （阴影部分)的面积为12
×5×5＝错误!.故该点落在区域A 的概率
P (A )＝错误!＝错误!.
三、解答题
11．某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队
员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
（1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解从图中可以看出，3个球队共有20名队员．
（1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件A。

所以P(A）＝错误!＝错误!。

故随机抽取一名队员，只属于一支球队的概率为错误!.
（2）记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件B。

则P（B）＝1－P(错误!）＝1－错误!＝错误!.
故随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队的概率为错误!。

12．在一次“知识竞赛"活动中,有A1,A2，B，C四道题,其中A1，A2为难度相同的容易题,B为中档题，C为较难题．现甲、乙两位同学均需从四道题目中随机抽取一题作答．
（1）求甲、乙两位同学所选的题目难度相同的概率；
（2）求甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度的概率．
解由题意可知，甲、乙两位同学分别从四道题中随机抽取一题，所有可能的结果有16个,它们是：（A1，A1)，(A1，A2)，(A1,B），(A1，
C），（A2，A1)，(A2，A2),（A2，B)，(A2，C）,（B，A1)，（B，A2），（B，B），（B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，（C,C)．
(1）用M表示事件“甲、乙两位同学所选的题目难度相同”，则M包含的基本事件有：(A1，A1），（A1，A2)，（A2，A1），（A2,A2），（B，B),(C，C)，共6个，所以P（M)＝错误!＝错误!.
(2)用N表示事件“甲所选题目的难度大于乙所选题目的难度"，则N包含的基本事件有：(B，A1)，（B，A2)，(C，A1)，（C，A2），(C,B)，共5个，所以P（N)＝错误!.
13．现有8名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3数学成绩优秀，B1,B2，B3物理成绩优秀，C1，C2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．
(1)求C1被选中的概率；
（2）求A1和B1不全被选中的概率．
解(1）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间为
Ω＝{（A1,B1，C1)，(A1，B1，C2），(A1，B2,C1），(A1,B2,C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2），(A2，B1,C1），(A2，B1,C2），（A2，B2，C1)，(A2,B2，C2)，（A2,B3,C1），（A2,B3,C2），（A3，B1，C1），（A3，B1,C2），
（A3，B2，C1），（A3，B2,C2）,(A3,B3，C1），（A3,B3，C2）}．
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等．
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“C1恰被选中”这一事件，则
M＝｛（A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，（A1，B3,C1）,（A2,B1,C1），（A2,B2，C1)，(A2，B3，C1）,（A3，B1,C1），(A3，B2，C1），(A3,B3，C1）｝．事件M由9个基本事件组成，因而P（M)＝错误!＝错误!。

(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一事件，
则其对立事件错误!表示“A1，B1全被选中”这一事件，
由于错误!＝{(A1，B1,C1)，(A1，B1，C2）},事件错误!由2个基本事件组成，所以P（错误!）＝错误!＝错误!。

由对立事件的概率公式得
P（N）＝1－P(错误!)＝1－错误!＝错误!。