课时训练(21) 相似三角形及其应用

课时训练(二十一)相似三角形及其应用
(限时:45分钟)
|夯实基础|
1.[2019·陇南]如图K21-1,将图形用放大镜放大,应该属于()
图K21-1
A.平移变换
B.相似变换
C.旋转变换
D.对称变换
2.[2019·重庆A卷]如图K21-2,△ABO∽△CDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是()
图K21-2
A.2
B.3
C.4
D.5
3.[2019·重庆B卷]下列命题是真命题的是()
A.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为2∶3
B.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的周长比为4∶9
C.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为2∶3
D.如果两个三角形相似,相似比为4∶9,那么这两个三角形的面积比为4∶9
4.[2019·贺州]如图K21-3,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于
()
图K21-3
A.5
B.6
C.7
D.8
5.[2019·杭州]如图K21-4,在△ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DE∥BC,M为BC边上一点(不与点B,C重合),连接AM交DE于点N,则()
图K21-4
A.AD
AN =AN AE
B.BD
MN =MN CE
C.DN
BM =NE MC
D.DN
MC =NE BM
6.[2019·巴中]如图K21-5,平行四边形ABCD中,F为BC中点,延长AD至E,使DE∶AD=1∶3,连接EF交DC于点G,则S△DEG∶S△CFG=()
图K21-5
A.2∶3
B.3∶2
C.9∶4
D.4∶9
7.[2019·吉林]在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为90 m,则这栋楼的高度为m.
8.[2019·北京房山期末]如图K21-6,在△ABC中,∠ACD=∠B,若AD=2,BD=3,则AC长为.
图K21-6
9.[2018·南充]如图K21-7,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F,若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=.
图K21-7
10.[2018·岳阳]《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为5步,股(长直角边)长为12步,问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是步.
图K21-8
11.[2018·菏泽]如图K21-9,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是.
12.如图K21-10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,求DE的长.
图K21-10
13.如图K21-11,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正方形EFGH的一边FG在BC上,顶点E,H分别在AB,AC上,已知BC=40 cm,AD=30 cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC;
(2)求这个正方形的边长与面积.
图K21-11 14.如图K21-12,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR分别交AC,CD于点P,Q.
(1)求证:△ABP∽△DQR;
(2)求BP
的值.
QR
|拓展提升|
15.[2019·黄冈]如图K21-13,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.
(1)求证:△DBE是等腰三角形;
(2)求证:△COE∽△CAB.
图K21-13
【参考答案】
1.B
2.C
3.B
4.B [解析]∵DE ∥BC , ∴△ADE ∽△ABC ,
∴AD AB
=DE BC
,即23=4
BC
,解得BC=6,故选B .
5.C [解析]根据DE ∥BC ,可得△ADN ∽△ABM ,△ANE ∽△AMC ,再应用相似三角形的性质可得结论. ∵DN ∥BM ,∴△ADN ∽△ABM ,∴DN
BM =AN
AM ,∵NE ∥MC ,∴△ANE ∽△AMC ,∴NE
MC =AN
AM ,∴DN
BM =NE
MC .故选C .
6.D [解析]因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD=BC.因为DE ∶AD=1∶3,F 为BC 中点,所以DE ∶CF=2∶3,因为平行四边形ABCD 中,DE ∥CF ,所以△DEG ∽△CFG ,相似比为2∶3,所以S △DEG ∶S △CFG =4∶9.故选D .
7.54
8.√10 [解析]∵∠ACD=∠B ,∠CAD=∠BAC ,∴△ACD ∽△ABC , ∴AC
AB =AD
AC ,即
AC
2+3=2
AC
,
∴AC=√10或AC=-√10(舍去).
9.2
3 [解析]∵DE ∥BC ,AD=1,BD=2,BC=4,∴AD AB =DE
BC ,即13=DE
4,解得:DE=4
3. ∵BF 平分∠ABC ,∴∠ABF=∠FBC , 又∵DE ∥BC ,∴∠FBC=∠F , ∴∠ABF=∠F ,∴BD=DF=2, ∵DF=DE +EF ,∴EF=2-43=2
3. 故答案为:2
3.
10.60
17 [解析]如图①,∵四边形CDEF 是正方形,∴CD=ED=CF .
设ED=x ,则CD=x ,AD=12-x.
∵DE ∥CF ,∴∠ADE=∠C ,∠AED=∠B , ∴△ADE ∽△ACB , ∴DE BC =AD
AC ,∴x 5=
12-x
12
,∴x=60
17.
如图②,四边形DGFE 是正方形,过C 作CP ⊥AB 于P ,交DG 于Q ,∵S △ABC =1
2
AC ·BC=1
2
AB ·CP ,则12×5=13CP ,∴
CP=60
13
.
设ED=y ,同理得:△CDG ∽△CAB ,∴DG AB =CQ CP
,
∴y
13
=
6013-y 6013
,y=
780229<6017
,
∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是60
17步,故答案为:60
17. 11.(2,2√3) [解析]如图,作AE ⊥x 轴于E , ∵∠OCD=90°,∠AOB=60°, ∴∠ABO=∠OAE=30°.
∵点B 的坐标是(6,0),∴AO=1
2
OB=3,
∴OE=12
OA=32
,
∴AE=√OA 2-OE 2=√32-(3
2) 2=
3√3
2
, ∴A 32,3√32
.
∵△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,
∴点C 的坐标为
3
2
×43,3√3
2
×4
3,即(2,2√3).
12.解:∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD=∠CBD.
∵AB ∥CD ,∴∠D=∠ABD ,∴∠CBD=∠D ,∴CD=BC=6. 在Rt △ABC 中,AC=√AB 2-BC 2=√102-62=8. ∵AB ∥CD ,∴△ABE ∽△CDE , ∴CE AE =DE BE =CD
AB =6
10=3
5
,
∴CE=3
5AE ,DE=3
5BE ,即CE=3
8AC=3
8×8=3. 在Rt △BCE 中,BE=√BC 2+CE 2=√62+32=3√5, ∴DE=3
5BE=3
5×3√5=9
5√5.
13.[解析](1)根据EH ∥BC 即可证明.
(2)设AD 与EH 交于点M ,首先证明四边形EFDM 是矩形,设正方形边长为x ,利用△AEH ∽△ABC ,得EH BC =
AM
AD
,列出
方程即可解决问题.
解:(1)证明:∵四边形EFGH 是正方形, ∴EH ∥BC ,
∴∠AEH=∠B ,∠AHE=∠C , ∴△AEH ∽△ABC.
(2)如图,设AD与EH交于点M.
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°,∴四边形EFDM是矩形,
∴EF=DM.
设正方形EFGH的边长为x cm,∵△AEH∽△ABC,
∴EH
BC =AM
AD
,∴x
40
=30-x
30
,
∴x=120
7
,
∴正方形EFGH的边长为120
7
cm,
面积为14400
49
cm2.
14.解:(1)证明:∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,
∴AB∥CD,AC∥DE,
∴∠BAC=∠ACD,∠ACD=∠CDE,
∴∠BAC=∠QDR.
∵AB∥CD,∴∠ABP=∠DQR,
∴△ABP∽△DQR.
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,∴AD=BC,AD=CE,∴BC=CE.
∵CP∥RE,∴BP=PR,∴CP=1
2
RE.
∵点R为DE的中点,∴DR=RE,∴PC
DR =1
2
.∵CP∥DR,∴△CPQ∽△DRQ,
∴CQ
DQ =CP DR
=1
2
,
∴DQ
DC =2 3 ,
由(1)得:△ABP∽△DQR,
∴BP
QR =AB
DQ
=CD
DQ
=3
2
.
15.证明:(1)连接OD.
∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°.
又∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,
∴∠BDE=∠B,
∴EB=ED,
∴△DBE是等腰三角形.
(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,
又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.
∵OA=OC,∴OE∥AB.
∴△COE∽△CAB.。