∥3套精选试卷∥2020年广州市花都区初中名校九年级上学期数学期末教学质量检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数
点后两位）（参考数据：3 1.732
,2 1.414
≈≈
，）（）
A．4.64海里B．5.49海里C．6.12海里D．6.21海里
【答案】B
【解析】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出BA=BE，AD=DE，设BD=x，Rt△ABD中，根据勾股定理得AD=DE= 3x，AB=BE=CE=2x，由
AC=AD+DE+EC=2 3x+2x=30，解之即可得出答案.
【详解】根据题意画出图如图所示：作BD⊥AC，取BE=CE，
∵AC=30，∠CAB=30°∠ACB=15°，
∴∠ABC=135°，
又∵BE=CE，
∴∠ACB=∠EBC=15°，
∴∠ABE=120°，
又∵∠CAB=30°
∴BA=BE，AD=DE，
设BD=x，
在Rt△ABD中，
∴AD=DE=3x，AB=BE=CE=2x，
∴AC=AD+DE+EC=23，
∴
31
+=
)
1531
2
≈5.49，
故答案选：B.
【点睛】
考查了三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理与等腰直角三角形的性质.
2．刘徽是我国古代一位伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海宝算经》是中国宝贵的文化遗产.他所提出的割圆术可以估算圆周率π.割圆术是依次用圆内接正六边形、正十二边形…去逼近圆.如图，O 的半径为1，则O 的内接正十二边形面积为( )
A ．1
B ．3
C ．3.1
D ．3.14
【答案】B 【分析】根据直角三角形的30度角的性质以及三角形的面积公式计算即可解决问题．
【详解】解：如图，作AC ⊥OB 于点C.
∵⊙O 的半径为1，
∴圆的内接正十二边形的中心角为360°÷12=30°，
∴过A 作AC ⊥OB ，
∴AC=12OA=12
， ∴圆的内接正十二边形的面积S=12×
12×1×12=3. 故选B.
【点睛】
此题主要考查了正多边形和圆，三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．下列式子中表示y 是关于x 的反比例函数的是（ ）
A ．4y x =
B ．y x =-
C ．5y x =-
D ．61y x =+
【答案】C
【解析】根据反比例函数的定义进行判断．
【详解】解：A. 4y x =是正比例函数，此选项错误；
B. y x =-是正比例函数，此选项错误；
C. 5y x =-是反比例函数，此选项正确；
D. 61y x =+是一次函数，此选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式k y x
=（k ≠0）转化为1y kx （k ≠0）的形式． 4．已知，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（ ）
x
… -1 0 1 3 … y … 0 3 4 3 …
A ．（2，0）
B ．（3，0）
C ．（4，0）
D ．（5，0） 【答案】C 【分析】根据（0，3）、（3，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过（0，3）、（3，3）两点，
∴对称轴x=032
+=1.5； 点（-1，0）关于对称轴对称点为（4，0），
因此它的图象与x 轴的另一个交点坐标是（4，0）．
故选C ．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．若关于x 的方程（m ﹣2）x 2+mx ﹣1=0是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≠2
B ．m=2
C ．m≥2
D ．m≠0 【答案】A
【解析】解：∵关于x 的方程（m ﹣1）x 1+mx ﹣1=0是一元二次方程，∴m-1≠0，解得：m≠1．故选A ． 6．如图，在O 中，弦AB=12，半径OC AB ⊥与点P ，且P 为的OC 中点，则AC 的长是（ ）
A ．42
B ．6
C ．8
D ．3
【答案】D
【分析】根据垂径定理求出AP，连结OA根据勾股定理构造方程可求出OA、OP，再求出PC，最后根据勾股定理即可求出AC．
【详解】解：如图，连接OA，
∵AB=12，OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AP=BP=1
2
AB=6，
∵P为的OC中点，
设⊙O的半径为2R，即OA=OC=2R，则PO=PC=R，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：AO2=OP2+AP2，
即：(2R)2=R2+62，
解得：R=3
即OP=PC=23
在Rt△CPA中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2，
即AC2=62+2
(23)
解得：AC=3
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键．
7．下列叙述，错误的是（）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，此选项错误，符合题意；
选：D．
【点睛】
此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）
A．sinA＝BD
BC
B．cosA＝
AC
AD
C．tanA＝
CD
AB
D．cosB＝
AC
AB
【答案】A
【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sinA＝sin∠BCD＝BD BC
；
cosA＝cos∠BCD= AC AB
;
tanA＝CD AD
；
cosB＝BC AB
；
所以B、C、D均错误
故选：A．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的．
9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是( )
A．3
4
B．
4
3
C．
3
5
D．
4
5
【答案】A
【解析】由勾股定理，得 AC=224AB BC -=，
由正切函数的定义，得
tanA=34
BC AC =， 故选A ．
10．已知点 P 1（a-1,5）和 P 2（2，b-1）关于 x 轴对称，则（a+b ）2019的值为（ ）
A ．0
B ．﹣1
C ．1
D ．（- 3）2019 【答案】B
【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念，求出P 1 P 2的坐标，得出a ，b 的值代入（a+b ）2019求值即可.
【详解】因为关于x 轴对称横坐标不变，所以，a-1=2，得出a=3，又因为关于x 轴对称纵坐标互为相反数，所以b-1=-5，得出b=-4
（a+b ）2019=（3-4）2019即()
201911-=-.
故答案为：B
【点睛】
本题考查关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数的概念和有理数的幂运算原理，利用-1的偶次幂为1，奇次幂为它本身的原理即可快速得出答案为-1.
11．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB 于O ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，连接CD ，OD ，BD ．下列结论中正确的是（ ）
A ．AC ∥OD
B ．CE OE =
C ．△ODE ∽△ADO
D ．2AC CD =
【答案】A 【分析】A.根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证∠CAD=∠ADO 即可；
B.过点E 作EF ⊥AC ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=EF ，再根据直角三角形斜边大于直角边可证；
C.两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明③△ODE ∽△ADO ；
D.根据角平分线的性质得出∠CAD=∠BAD ，根据在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，可得CD=BD ，又因为CD+BD>BC,又由AC=BC 可得AC<2CD ，从而可判断D 错误．
【详解】解：解：A.∵AB 是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=1
2
∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴A正确．
B.如图，过点E作EF⊥AC，
∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，
∴CE＞OE，
∴B错误．
C.∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，
∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，
∴不能证明△ODE和△ADO相似，
∴C错误；
D.∵AD平分∠CAB交BC于点D，
∴∠CAD=∠BAD.
∴CD=BD
∴BC<CD+BD=2CD,
∵半径OC⊥AB于O，
∴AC=BC,
∴AC<2CD，
∴D错误.
故选A.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角
形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练．12．如下所示的4组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有( )
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【解析】试题分析：根据中心对称图形与轴对称图形的概念依次分析即可．
①②③是只是中心对称图形，④只是轴对称图形，
故选C.
考点：本题考查的是中心对称图形与轴对称图形
点评：解答本题的关键是熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴；在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为．
【答案】1.
【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这1个格点，
故答案为1．
考点：圆的有关性质.
14．如图，已知A(5，0)，B(4，4)，以OA、AB为边作▱OABC，若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为_____．
【答案】y＝﹣4 x
【分析】直接利用平行四边形的性质得出C点坐标，再利用反比例函数解析式的求法得出答案．【详解】解：∵A（5，0），B（4，4），以OA、AB为边作▱OABC，
∴BC＝AO＝5，BE＝4，EO＝4，
∴EC＝1，故C（﹣1，4），
若一个反比例函数的图象经过C点，则这个函数的解析式为：y＝﹣4
x
．
故答案为：y＝﹣4
x
．
【点睛】
本题主要考查的是平行四边形的性质和反比例函数解析式的求法，将反比例函数上的点带入解析式中即可求解.
15．如图，直线a // b // c，点B是线段AC的中点，若DE=2，则DF的长度为_________．
【答案】1
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得
2
22
AB
AB EF
=
+
，从而计算出EF的值,即可得到DF的值．
【详解】解：∵直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，DE=2，
∴AB DE
AC DF
=，即
2
22
AB
AB EF
=
+
，
∴1
2
=
2
2EF
+
，
∴EF=2，
∵DE=2
∴DF=DE+EF=2+2=1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
16．已知关于x的方程220
-+=有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．
x x m
m<
【答案】1
【详解】根据题意得：△=（﹣2）2－4×m=4－4m＞0，
解得m<1.
故答案为m<1.
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：
（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.
17．在一次夏令营中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为
_________km．
103
【答案】
【分析】由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．
【详解】解：如图．由题意可知，AB=5km，∠2=30°，∠EAB=60°，∠3=30°．
∵EF//PQ，
∴∠1=∠EAB=60°
又∵∠2=30°，
∴∠ABC=180°−∠1−∠2=180°−60°−30°=90°，∴△ABC是直角三角形．
又∵MN//PQ，
∴∠4=∠2=30°．
∴∠ACB=∠4+∠3=30°+30°=60°．
∴AC=
sin AB ACB
∠= 3=
103
(km)，
故答案为103
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的相关知识，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．
18．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝______度．
【答案】1
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB，AC′＝AC，
∵∠BAC'＝80°，
∴∠C′AB′＝∠CAB＝1
2
∠C′AB＝40°，
∴∠ACC′＝70°，
∴∠B＝∠ACC′﹣∠CAB＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）
19．如图，AB是O的直径，且6
AB=，点M为O外一点，且MA，MC分别切O于点A、C两
点．BC 与AM 的延长线交于点D ．
（1）求证：2AD CM =；
（2）填空：①当CM =__________时，四边形AOCM 是正方形．
②当CM =____________时，CDM ∆为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）①3CM =；②3CM = 【分析】（1）由切线长定理可得MC=MA ，可得∠MCA=∠MAC ，由余角的性质可证得 DM=CM ； （2）①由正方形性质可得CM=OA=3；
②由等边三角形的性质可得∠D=60︒，再由直角三角形的性质可求得答案.
【详解】证明：（1）如图，连接AC ，
MA ，MC 分别切O 于点A 、C 两点，
MC MA ∴=，AB AD ⊥，OC MC ⊥，
MCA MAC ∴∠=∠，
AB 是直径，
90ACB ∠=︒，
90MAC D ∴∠+∠=︒，90MCA MCD ∠+∠=︒，
D MCD ∴∠=∠，
DM CM ∴=，
2AD CM ∴=，
（2）①四边形AOCM 是正方形，
3OA CO AM CM ∴====，
∴当3CM =时，四边形AOCM 是正方形，
②若CDM ∆是等边三角形，
60D ∴∠=︒，且AB AD ⊥，6AB =，
AD ∴=
2AD cm =，
CM ∴=
∴
当CM =时，CDM ∆为等边三角形．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线长定理，直角三角形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是正确解答本题的关键.
20．某商场以每件20元购进一批衬衫，若以每件40元出售，则每天可售出60件，经调查发现，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，若设每件衬衫涨价x 元，回答下列问题：
（1）该商场每天售出衬衫 件（用含x 的代数式表示）；
（2）求x 的值为多少时，商场平均每天获利1050元？
（3）该商场平均每天获利 （填“能”或“不能”）达到1250元？
【答案】（1）602x -；（2）当15x =时，商场平均每天获利1050元；（3）能
【分析】(1)根据题意写出答案即可.
(2)根据题意列出方程,解出答案即可.
(3)令利润代数式为1250,解出即可判断.
【详解】（1）根据题意：每天可售出60件，如果每件衬衫每涨价1元，商场平均每天可少售出2件，则商场每天售出衬衫：602x -
（2）(4020)(602)1050x x +--=
解得115x =，25x =-（不符合题意，舍去）.
答：当15x =时，商场平均每天获利1050元.
（3）根据题意可得：(4020)(602)1250x x +--=
解得：x=5
所以，商场平均每天获利能达到1250元
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用,关键在于理解题意找出等量关系.
21．（1）x 2+2x ﹣3＝0
（2）（x ﹣1）2＝3（x ﹣1）
【答案】（1）x ＝﹣3或x ＝1;（2）x ＝1或x ＝4.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴(x+3)(x﹣1)＝0，
∴x＝﹣3或x＝1；
（2）∵(x﹣1)2＝3(x﹣1)，
∴(x﹣1)[(x﹣1)﹣3]＝0，
∴(x﹣1)(x﹣4)＝0，
∴x＝1或x＝4；
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
22．如图将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
（1）求证：△AME∽△BEC．
（2）若△EMC∽△AME，求AB与BC的数量关系．
【答案】（1）详见解析；（2）
23 AB
BC
．
【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．
（2）利用相似三角形的性质证明∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°即可解决问题．【详解】（1）∵矩形ABCD，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，
∴∠MEC＝∠D＝90°，
∴∠AEM+∠BEC＝90°，
∵∠AEM+∠AME＝90°，
∴∠AME＝∠EBC，
又∵∠A＝∠B，
∴△AME∽△BEC．
（2）∵△EMC∽△AME，
∴∠AEM＝∠ECM，
∵△AME ∽△BEC ，
∴∠AEM ＝∠BCE ，
∴∠BCE ＝∠ECM
由折叠可知：△ECM ≌△DCM ，
∴∠DCM ＝∠ECM ，DC ＝EC ，
即∠BCE ＝∠ECM ＝∠DCM ＝30°，
在Rt △BCE 中，cos BE BCE CE ∠＝， ∴3cos30BE CE
=＝， ∵DC ＝EC ＝AB ， ∴233
AB BC =.
【点睛】
此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，利用30︒角的余弦值求边长的比，利用三角形相似及折叠得到∠BCE ＝∠ECM ＝∠DCM ＝30°是解题的关键.
23．已知二次函数223y x x =--+．
（1）将二次函数化成2
()y a x h k =-+的形式；
（2）在平面直角坐标系中画出223y x x =--+的图象；
（3）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围．
【答案】（1）2(1)4y x =-++ ；（2）画图见解析；（3）－3＜x ＜1
【分析】（1）运用配方法进行变形即可；
（2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x 轴的两个交点，及其与y 轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，；
（3）根据所画出的图像得出结论即可.
【详解】（1）223y x x =--+2(2)+3x x =-+2(211)+3x x =-++- 2
(1)+4x =-+； （2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：1x =-，开口向下，
当x=0时，y=3，∴交y 轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x 轴有两个交点，
综上所述，图像如图所示：
（3）根据（2）所画图像可得，0y >，－3＜x ＜1.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
24．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+（m ﹣1）x+m 的对称轴为x ＝12，请你解答下列问题： （1）m ＝ ，抛物线与x 轴的交点为 ．
（2）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？
（3）x 取什么值时，y ＜0？
【答案】（1）2；（﹣1，1），（2，1）；（2）x ＞12
；（3）x ＜﹣1或x ＞2 【分析】（1）利用抛物线的对称轴方程得到−12(1)m -⨯-=12
，解方程得到m 的值，从而得到y ＝−x 2＋x ＋2，然后解方程−x 2＋x ＋2＝1得抛物线与x 轴的交点；（2）根据二次函数的性质求解；（3）结合函数图象，写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝−
1
2(1)
m-
⨯-
=
1
2
，
∴m＝2，
抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2，
当y＝1时，﹣x2+x+2＝1，解得x1＝﹣1，x2＝2，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，1），（2，1）；（2）由函数图象可知,
当x＞1
2
时，y的值随x的增大而减小；
（3）由函数图象可知,
当x＜﹣1或x＞2时，y＜1．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠1）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
25．如图，正方形ABCD，将边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接AE，CE．
（1）求∠BAE的度数；
（2）连结BD，延长AE交BD于点F．
①求证：DF=EF；
②直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．
【答案】(1) 75°;(2)22
AB EF CF
=+
【分析】（1）根据题意利用等腰三角形性质以及等量代换求∠BAE的度数；
（2）①由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°，从而证明△BCF≌△ECF，求证DF=EF；
②题意要求等式表示线段AB，CF，EF的数量关系，利用等腰直角三角形以及等量代换进行分析.
【详解】（1）解：∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠ABE=90°－60°=30°
∴∠BAE=75°．
（2）①证明：∴∠DAF=15°．连结CF ．
由正方形的对称性可知，∠DAF=∠DCF=15°．
∵∠BCD=90°，∠BCE=60°，
∴∠DCF=∠ECF=∠DAF=15°．
∵BC=EC ，CF=CF ，
∴△DCF ≌△ECF ．
∴DF=EF ．
②过C 作CO 垂直BD 交于O ，
由题意求得∠OCF=30°，设OF=x ，CF=2x ，3，3则6x 有2233)2AB x x x x ==-+22EF CF =+．
【点睛】
本题考查正方形相关，综合利用等腰三角形性质以及全等三角形的证明和等量替换进行分析是解题关键. 26．已知二次函数221.y x kx k =-++-（k 是常数）
(1)求此函数的顶点坐标.
(2)当1x ≥时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.
(3)当01x ≤≤时，该函数有最大值3，求k 的值.
【答案】（1）2(,1)k k k -+；（2）1k ≤；（3）3k =或2k =-
【分析】（1）先求出顶点横坐标，然后代入解析式求出顶点纵坐标即可；
（2）根据二次函数的增减性列式解答即可；
（3）分三种情况求解：①当k ＞1时，当k ＜0时，当01k ≤≤时.
【详解】解：（1）对称轴为：22(1)
k x k =-=⨯-，
代入函数得：222211y k k k k k =-++-=-+，
∴顶点坐标为：2(,1)k k k -+；
（2）∵对称轴为：x=k ，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当x k 时，y 随x 增大而减小；
∵当1x ≥时，y 随x 增大而减小；
∴ 1k ≤
（3）①当k ＞1时，在01x ≤≤中，y 随x 增大而增大；
∴当x=1时，y 取最大值，最大值为：121y k k k =-++-=；
∴ k=3；
②当k ＜0时，在01x ≤≤中，y 随x 增大而减小；
∴当x=0时，y 取最大值，最大值为：1y k =-；
∴ 13k -=；∴2k =-；
③当01k ≤≤时，在01x ≤≤中，y 随x 先增大再减小；
∴当x=k 时，y 取最大值，最大值为：21y k k =-+；
∴ 213k k -+=；解得：k=2或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述：k 的值为-2或3.
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.
27．如图，在平面内。

点Q 为线段AB 上任意一点.对于该平面内任意的点P ，若满足PQ 小于等于AB 则称点P 为线段AB 的“限距点”.
（1）在平面直角坐标系xOy 中，若点A 1,0B 1,0-（），（
）. ①在的点C 0,2D 22E 03--（），（，），（，）
中，是线段AB 的“限距点”的是 ； ②点P 是直线33y =+上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围. （2）在平面直角坐标系xOy 中，若点A t,1
B t,1-（），（）.若直线33y x =+上存在线段AB 的“限
距点”，请直接写出t 的取值范围
【答案】（1）①E ；②P 1x 31-≤≤-；（2）3-53-3t ≤≤.
【分析】（1）①分别计算出C 、D 、E 到A 、B 的距离，根据“限距点”的含义即可判定； ②画出图形，由“限距点”的定义可知，当点P 位于直线3333y x =
+上x 轴上方并且AP 2≤时，点P 是线段AB 的“限距点”，据此可解；
（2）画出图形，可知当2MA MB =≤时，直线33y x =+上存在线段AB 的“限距点”，据此可解. 【详解】（1）①计算可知AC=BC=
5，DA= 5，DB= 13，EA=EB=2，
设点Q 为线段AB 上任意一点，则 25CQ ≤≤,
513DQ ≤≤, 32EQ ≤≤,
∴EQ AB ≤, ∴点E 为线段AB 的“限距点”.
故答案是：E.
②如图,作PF ⊥x 轴于F,
由“限距点”的定义可知，当点P 位于直线3333y x =
+上x 轴上方并且AP 2≤时，点P 是线段AB 的“限距点”，
∵直线33y =+与x 轴交于点A(-1,0),交y 轴于点H （03， ∴∠OAH=30°,
∴当AP=2时，3
∴此时点P 3，
∴点P 横坐标P x 的取值范围是 P 1x 31-≤≤；
（2）如图，直线
33
33
y x
=+与x轴交于M，AB交x轴于G，
∵点A(t,1)、B(t，
-1),
直线
33
y x
=+与x轴的交点M(-1,0)，与y轴的交点C(0,
3
)，
∴
3 an
t NMO
∠=，
∴∠NMO=30°，
①当圆B与直线
33
33
y x
=+相切于点N，连接BN，连接BA并延长与直线
33
33
y x
=+交于
D(t,
33
33
t+)点，
∵∠NBD=∠NMO=30°，
∴cos
3
BN
NBD
BD
∠==，
即33
+1 33
3 =
2
t+
, 解得：33
t=-；
②当圆A与直线
33
33
y x
=+相切时，
t=
同理可知：3-5
≤≤.
3-53-3
t
【点睛】
本题考查了一次函数、圆的性质、两点间的距离公式，是综合性较强的题目，通过做此题培养了学生的阅
读能力、数形结合的能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB 的值为（ ）
A ．45
B ．34
C ．43
D ．35
【答案】B
【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得： BC=22AB AC -=2253-=1．cosB=BC AB =45
， 故选B ．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义．
2．在下列四个汽车标志图案中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．因此，符合此定义的只有选项B ．故选B ．
3．反比例函数y ＝
2x 的图象位于（ ） A ．第一、三象限
B ．第二、三象限
C ．第一、二象限
D ．第二、四象限
【答案】A
【分析】由反比例函数k ＞0，函数经过一三象限即可求解；
【详解】∵k ＝2＞0，
∴反比例函数经过第一、三象限；
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握反比例函数的图像与性质. 4．一块△ABC 空地栽种花草，∠A=150°，AB=20m ，AC=30m ，则这块空地可栽种花草的面积为（ ）
m 2
A ．450
B ．300
C ．225
D ．150
【答案】D
【分析】过点B 作BE ⊥AC ，根据含30度角的直角三角形性质可求得BE ，再根据三角形的面积公式求出答案．
【详解】过点B 作BE ⊥AC ，交CA 延长线于E ，则∠E=90°，
∵150BAC ∠=︒，
∴180********BAE BAC ∠∠=︒-=︒-︒=︒，
∵在Rt BEA 中，90E ∠=︒，20AB m =， ∴1102BE AB m =
=， ∴2ABC 11 •301015022S AC BE m ==⨯⨯= 这块空地可栽种花草的面积为2150m ．
故选：D
【点睛】
本题考查了含30度角的直角三角形性质和三角形的面积公式，是基础知识比较简单．
5．如图所示是一个运算程序，若输入的值为﹣2，则输出的结果为（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B 【分析】根据图表列出算式，然后把x=-2代入算式进行计算即可得解．
【详解】解：把x ＝﹣2代入得：1﹣2×（﹣2）＝1+4＝1．
故选：B ．
【点睛】
此题考查代数式求值，解题关键在于掌握运算法则.
6．如图，将Rt ABC ∆绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt ADE ∆，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上.若23,60AC B =∠=︒，则CD 的长为（ ）
A．1 B2C3D．2
【答案】D
【分析】由直角三角形的性质可得AB=2，BC=2AB=4，由旋转的性质可得AD=AB，可证△ADB是等边三角形，可得BD=AB=2，即可求解．
【详解】解：∵AC=23B=60°，∠BAC=90°
∴AB=2，BC=2AB=4，
∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，
∴AD=AB，且∠B=60°
∴△ADB是等边三角形
∴BD=AB=2，
∴CD=BC-BD=4-2=2
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
7．一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同，搅匀后任意摸出一个球，是
白球
．．的概率为（）
A．1
2
B．
3
10
C．
1
5
D．
7
10
【答案】A
【分析】根据概率公式解答即可.
【详解】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率为：51
102
．故选A.
【点睛】
本题考查了随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m
n
．
8．某学习小组在研究函数y＝1
6
x3﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看
出”16
x 3﹣2x ＝2实数根的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】利用直线y=2与y 16
=
x 1﹣2x 的交点个数可判断16x 1﹣2x=2实数根的个数． 【详解】由图象可得直线y=2与y 16=x 1﹣2x 有三个交点，所以16x 1﹣2x=2实数根的个数为1． 故选C ．
【点睛】
本题考查了函数图像的交点问题：把要求方程根的问题转化为函数图像的交点问题是解题关键． 9．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（ ）
A ．36（1﹣x ）2＝36﹣25
B ．36（1﹣2x ）＝25
C ．36（1﹣x ）2＝25
D ．36（1﹣x 2）＝25
【答案】C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x ），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为36×（1﹣x ）×（1﹣x ），
则列出的方程是36×（1﹣x ）2＝1．
故选：C ．
【点睛】
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
10．若抛物线2y x bx =+的对称轴是直线2x =，则方程25x bx +=的解是（ ）
A ．11x =，25x =
B ．11x =，25x =-
C ．11x =-，25x =
D ．11x =-，25x =-
【分析】利用对称轴公式求出b 的值，然后解方程. 【详解】解：由题意：22b x =-
= 解得：b=-4
∴25x bx += 2450x x --=
(5)(1)0x x -+=
解得：11x =-，25x =
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
11．如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，BE EC =，AC 2=，则菱形ABCD 的周长是( )
A ．5
B ．10
C ．8
D ．12
【答案】C 【解析】连接AC ，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=2，然后利用周长公式进行计算即可得答案.
【详解】如图连接AC ，
BE EC =，AE BC ⊥，
AB AC 2∴==，
∴菱形ABCD 的周长428=⨯=，
故选C ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，熟练掌握的灵活应用相关知识是解题的关键. 12．用配方法解方程2640x x +-=，下列变形正确的是（ ）
A ．2(3)5x +=
B ．2(3)5x +=-
C ．2(3)13x -=-
D ．2(3)13x +=
【解析】等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行整理即可.
【详解】解：原方程等式两边同时加上一次项系数一半的平方得，2226343x x ++-=，整理后得， ()2313x +=，故选择D.
【点睛】
本题考查了配方法的概念.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦为8cm ，则OM= cm.
【答案】3
【解析】试题分析：最长弦即为直径，最短弦即为以M 为中点的弦，所以此时22108()()322OM =
-= 考点：弦心距与弦、半径的关系
点评：22=2
-弦长弦心距（）半径 14．如图，已知圆周角∠ACB=130°，则圆心角∠AOB=______．
【答案】100゜
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=130°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=260°，用360°-260°即可得到圆心角∠AOB ．
【详解】如图，
∵∠α=2∠ACB ，
而∠ACB=130°，
∴∠α=260°，
∴∠AOB=360°-260°=100°．
故答案为100°．
15．烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式。