福建省霞浦第一中学高三数学保送生综合能力测试试题

2014年霞浦一中保送生综合能力测试
科学素 养（数学）
（考试时间：60分钟； 满分：100分）
学校 准考证号 姓名
一、选择题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 1．若点P （x ，y ）在函数x x
y -+=
21
的图象上，则点P 在平面直角坐标系中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小正方体木块的个数为（ ） A ．22个 B ．19个 C ．16个 D ．13个
3．已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为（ ） A ．0 B ．3 C ．33 D ．9
4．小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码8个数字的前面5个数字的顺序，后3个数字是3、6、8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是（ ）
A ．112
B ．16
C ．14
D ．13
5. 如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则∠AOB 的度数等于（ ） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°
6．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交
DC 于F ，设BE ＝x ，FC ＝y ，则当点E 从点B 运动到点C 时，y 关于x 的函数图象是（ ）
7. 如果我们定义为二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的特征数，那么下面给出的特征数为的函数的一些结论：
①当m ＝－3时，函数图象的顶点坐标是 ( 13，8
3
)；
主视图
俯视图
第2题图
②当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于 3
2；
③当m < 0时，函数在x > 1
4 时，y 随x 的增大而减小；
④当m ≠ 0时，函数图象恒过同一个点． 其中正确的结论有( )
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①③④
D ．②④
二、填空题（每小题4分，共24分）
8．分解因式：44922---y y x = . 9．如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A ，B ，C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .
10. 桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。

已知大球的半径为9cm ，
小球半径4cm ，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于
cm .
11. 如图，双曲线x
y 2
=
(x ＞0）经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得△C B A '，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积
是 .
12．如图，矩形ABCD 的边长为6和4.□EFGH 的顶点在矩形的边上，并且
AH = CF = 2，AE = CG = 3.点P 在FH 上，并且AEPH S 四边形 = 5，则
PFCG S 四边形 = _________.
13．如图，n ＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形2111N N M P 的面积为1S ，四边形3222N N M P 的面积为2S ，…，四边形1+n n n n N N M P 的面积为n S ，通过逐一计算1S ，2S ，…，可得n S ＝________.
第11题图
第12题图
第9题图
三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14.（本小题满分6分）化简求值：
3,2),()2(2
22222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中.
15.（本小题满分8分）如图， AD 是⊙O 的直径，B 为⊙O 上的一点，连接AB 并延长至点E ，使得AE = AD ，连接DE ，交⊙O 于点C ，连接OC ． （1）求证：OC ∥AE ；
（2）若OC = AB ，判断△BCE 的形状并说明理由.
16．（本小题满分9分）某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x （x ≥3）个乒乓球，已知A 、B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折（按原价的90%付费）销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
（1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市更合算？ （2）当x ＝12时，请设计最省钱的购买方案．
17．（本小题满分12分）已知，在△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，AC = 8，点M、N在△ABC 的边上，将△ABC沿直线MN对折后，它的一个顶点正好落在对边上，且折痕MN截△ABC所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与△ABC相似.请在下列图（不一定都用，不够可添）中分别画出折痕MN各种可能的位置，并说明画法及直接写出折痕的长.
18．（本小题满分13分）已知关于x 的二次函数y = x 2
﹣2mx + m 2
+ m 的图象与关于x 的函数
y = kx + 1的图象交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）；
（1）当k = 1，m = 0或1时，求AB 的长；
（2）当k = 1，m 为任何值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想； （3）当m = 0，无论k 为何值时，猜想△AOB 的形状，并证明你的猜想． （平面内两点间的距离公式221221)()(y y x x AB -+-=
）．
学校 准考证号 姓名
17．（本小题满分12分）解：
18.（本小题满分13分）解：
2014年霞浦一中保送生综合能力测试
科学素养（数学）参考答案
（考试时间：60分钟； 分值：100分） 一、选择题（每小题4分，共28分）
8．（3x+y+2）(3x-y-2) 9．3
20
211252+--=x x y 10． 12
11． 2 12． 8 13．
4
83
433+-
n 三、计算题（本大题共5小题，共48分） 14.（本小题满分6分）
化简得：原式＝
b
a b
a -+……………………………4分 当a =-2,b=-3时，原式＝5
1
-
…………6分 15. （本小题满分8分）
（1）（证明略）…………………………………4分 （2）△BCE 为等边三角形。

（证明略）………8分 16. （本小题满分9分）
解：(1)去A 超市购买所需费用y A ＝0.9(20×10＋10x)，即y A ＝9x ＋
180.
去B 超市购买所需费用y B ＝20×10＋10(x －3)，即y B ＝10x ＋170.…………2分 当y A <y B 时，即9x ＋180<10x ＋170，x>10； 当y A ＝y B 时，即9x ＋180＝10x ＋170，x ＝10；
当y A >y B 时，即9x ＋180>10x ＋170，x<10.………………4分 综上所述：当x>10时，去A 超市购买更合算； 当x ＝10时，去A 超市或B 超市购买一样；
当3≤x<10时，去B 超市购买更合算．……………………5分
(2)当x ＝12时，即购买10副球拍应配120个乒乓球．…………6分 若只去A 超市购买的费用为： 9x ＋180＝9×12＋180＝288(元)． 若在B 超市购买10副球拍，去A 超市购买余下的乒乓球的费用为： 200＋0.9×(12－3)×10＝281(元)．…………………………8分 ∵281<288，
∴最佳方案为：只在B 超市购买10副球拍，同时获得送30个乒乓球，然后去A 超市按九折购买90个乒乓球．…………………………9分
17．（本小题满分12分）
解：
前3图分别为△ABC 的中位线，长度分别是3、4、5……………………6分 图4中N 为AB 的中点，MN 垂直平分AB ，MN ＝4……………………8分 图5中D 为AB 的中点，MN 垂直平分CD,MN=24
125
……………………12分
18．（本小题满分13分） 解：（1）当k=1，m=0时，如图． 由
得x 2
﹣x ﹣1=0，∴x 1+x 2=1，x 1•x 2=﹣1，
过点A 、B 分别作x 轴、y 轴的平行线，两线交于点C ． ∵直线AB 的解析式为y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB=
AC=
|x 2﹣x 1|=
=
；
同理，当k=1，m=1时，AB=
；……………………4分
（2）猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=．理由如下：
由，得x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1=0，
∴x1+x2=2m+1，x1•x2=m2+m﹣1，
∴AB=AC=|x2﹣x1|==；……………………6分
（3）当m=0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形，理由如下：
①当k=0时，则函数的图象为直线y=1，
由，得A（﹣1，1），B（1，1），显然△AOB为直角三角形；………………7分②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1，
由，得x2﹣x﹣1=0，∴x1+x2=1，x1•x2=﹣1，
∴AB=AC=|x2﹣x1|==，∴AB2=10，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22 = x12+x22+y12+y22 = x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）= 2（x12+x22）+2（x1+x2）+2
=2（1+2）+2×1+2 = 10，
∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB是直角三角形；………………10分
③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．
由，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1•x2=﹣1，
∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2
=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2
=（1+k2）（x1﹣x2）2
=（1+k2）
=（1+k2）（4+k2）
=k4+5k2+4，
∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2
=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）
=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2
=（1+k2）（k2+2）+2k•k+2
=k4+5k2+4，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB为直角三角形．………………13分。