对交流电桥测量电感的研究.pdf

1980年12月第1版；
《铁磁性理论导论》 [以色列]A.Aharoni著杨正译兰州大学出版社 2002年7月第1版；
《近代物理实验》张天喆、董有尔主编科学出版社
2004年1月第1版；
《电磁学》冯端、徐游主编南京大学出版社
《大学物理实验》潘元胜、冯璧华、于姚主编南京大学出版社
2002年2月第1版。

对交流电桥测量电感的研究
彭松 021122036
南京大学物理系02级南京210093
摘要：我主要对交流电桥的误差，收敛性进行分析，并对电源输出频率对电桥所测电感值和电桥灵敏度的影响做了研究。

关键词：麦克斯韦电桥，平衡，灵敏度，信号发生器。

仪器用具：
交流信号源，交流平衡指示器，待测电感，标准电容箱，标准电阻箱, DF1631功率函数信号发生器。

实验原理：
交流电桥在电测技术中占有重要的地位，它不仅广泛应用在电工、无线电测量技术及非电量电测法中，还用于自动检测，计算技术等方面。

本实验所用的交流电桥不仅可以精确的测量电容量和电感量，还可以测量电阻，频率，Q值，以及电容器的介质损耗和互感等，因此交流电桥具有广泛的应用价值。

在电桥的平衡方式上，交流电桥必须同时满足振幅和相位两个平衡条件。

图1为交流电桥的基本形式，图中1Z •，2Z •，3Z •，4
Z •
分别代表复阻抗，这与直流电桥四臂由纯电阻构成不同，S 为交流电源，G 为交流平衡指示器，平衡指示器通常可用高灵敏度的交流电流表或交流电压表，但是不能采用灵敏电流计这一类的直流电表。

当电桥平衡时，流过平衡指示器G 的电流G I ＝0，也是
BD U •
∆＝0，于是有：
142
3
Z Z Z Z •
•
••
=
（1）
（1） 式为一复数形式的等式，复阻抗j Z Ze
ϕ
•
=，因此（1）式还可以表示为：
14
3
21423j j j j Z e Z e Z e Z e ϕϕϕϕ=
即 1324()
()1324j j Z Z e Z Z e ϕϕϕϕ++= （2）
则有
14
23
Z Z Z Z =
（3） 1324ϕϕϕϕ+=+ （4） （3）（4）两式就是交流电桥平衡时必须同时满足的两个条件，其中（3）式称为振幅平衡条件；（4）式称为相位平衡条件。

根据交流电桥所测量的对象不同，可以将电桥搭成测量电容的电桥与测量电感的电桥。

在这次实验中使用的是测量电感的电桥。

下面将介绍这种电桥的结构与具体的平衡条件。

电感是用导线绕制而成的，它在拥有电感量的同时也具有导线电阻和分布电容，可以将它看作是一个理想电感与一个电阻串联后再与一个分布电容并联。

但是因为分布电容一般很小，只对高频交流电有傍路作用，在小于30MHz 的频率范围内，分布电容可以忽略。

这样电感的感抗就可以表示为
L Z r j L ω•
=+ （5）
如果用品质因素Q 来衡量电感线圈的质量，那么： L
Q r
ω=
（6）
麦克斯韦电桥是一个测量电感量的交流电桥。

它的结构如图，待侧电阻用x L 、x r 表示，3C 为标准电容箱，2R ，3R ，4R 均为标准电阻箱，根据电桥平
衡的条件，将四个桥臂的阻抗代入（1）式中，得到：3243
1
()(x x r j L R R R j C ωω+=g P
g 根据上式得到的待侧电感大额电感量和电阻分别为： 243x L R R C = （7） 24
3
x R R r R =
（8） 由（11）式可得出被测电感线圈的品质因素为：33Q C R ω=
（一） 电桥平衡的调节
交流电桥平衡的调节要比直流电桥复杂的多。

由交流电桥的两个平衡条件决定了在调节电桥平衡时，至少要用两个可调参量，经过反复，多次调节才能实现桥路的平衡。

实验时，首先估计一下待测元件的数值范围，根据电桥平衡的条件配置另外三个桥臂的阻抗，这样做不至于使电桥在刚开始时过分远离平衡位置。

选择两个可调参量，调节时先固定其中一个参量，改变第二个参量，这时平衡指示器出现第一次平衡的趋势，接着固定第二个参量，改变第一个参量，平衡指示器出现第二次平衡的趋势。

重复上述步骤，当平衡指示器指示平衡位置时，提高平衡指示器的灵敏度，再进行上述参量的调节。

直到平衡指示器在最高灵敏度时指示平衡位置，则可认为交流电桥达到了平衡。

这个调节的过程也常称为电桥收敛的过程。

（二） 交流电桥的灵敏度
交流电桥的灵敏度定义为：电桥BD 两端出现的不平衡电压BD U ∆与引起电桥偏离平衡位置的最小阻抗相对改变量
Z
Z
∆之比，用s 表示电桥的灵敏度，则BD U s Z Z
∆=∆
(9)当一个电桥处在平衡状态时，它应该满足对称的条件，即:任何一个桥臂只要相对变化量
Z
Z
∆相同，那么在电桥的对角线BD 上都会产生相同的不平衡电压BD U ∆，表现在平衡指示器上就是产生的变化量n ∆相同。

例如：在3Z 上有一微小的改变量3Z ∆，如果平衡指示器内阻无穷大，则由3Z ∆产生的不平衡电压BD U ∆为：
14
21334
(
()BD AB AD AC Z Z U U U U Z Z Z Z Z ∆=−=−
++∆+ 上式中设33Z Z ∆?，且应用（3）式的平衡条件，可得到简化形式：
132134()()
AC
BD Z Z U U Z Z Z Z ∆∆≈
++
令
1423
Z Z A Z Z ==，则上式可以写成：323(1)BD AC A Z
U U Z A ∆∆≈+g g
因此，灵敏度也可以写成：2
33
(1)
BD AC U A
s U Z A Z ∆=
=∆+g （10） 假设在（10）式中 ，BD U ∆，3Z ∆均为固定值，则对（10）式求极值可以得到，当A ＝1，s 由极大值，此时交流电桥的灵敏度最高，实验中，BD U ∆的大小可以用平衡指示器的偏转格数n ∆表示，因此，灵敏度s 还可以表示为：
3
3
n
s Z Z ∆=
∆ （11）
实验研究：
首先经我多次测量，取被测电感为0.1H 时，所得测量值都小于0.1H 。

分析认为应是系统误差所至。

同时值的注意的是，即使交流电桥真正达到平衡时，其交流示零器仍可能有一个很小的读数，这是因为电桥各元件及导线间不可避免存在一些分布电容和漏电感，他们会感应出杂散电压并送入示零器，从而使其不为零。

1.关于实验误差的分析
由实验原理知，交流电桥测量法的关键在于交流电桥能否达到平衡，然而在调节交流电桥平衡的过程中，由于各种因素的存在，对实验结果产生很大影响，现做如下分析：
桥臂元件的配置不当
若电桥的相邻两臂为纯电阻，如3Z 和4Z 为纯电阻，则恒有340ϕϕ==，于是由（4）式，12ϕϕ=，即电桥的另两臂必须选用电抗性能相同的元件，电桥才能平衡；若电桥的相对两臂为纯电阻，如2Z 和4Z 为纯电阻，则恒有240ϕϕ==；则由(4)式，必有13ϕϕ=−，即电桥的另两臂必须选用电抗性能相反的元件，电桥才能平衡。

否则，电桥无法平衡。

调节参量的选择不当
由于交流电桥的平衡需要同时满足两个平衡条件，若调节参量选择不当，可能使电桥很难平衡．在电感电桥中，其平衡条件由(7)、(8)两式决定．在本实验中，通过使A ＝1，确定了2R 的值，然后以4R ，3R 为调节参量，使电桥得到平衡。

各种电磁感应及耦合现象的干扰
由于电桥本身各部分间的电场或磁场间的相互感应而引起的线路与元件间的电容耦合，电源、被测对象及示零器等对大地也存在电容耦合，另外，线路、元件与周围的带电回路之间也存在电感耦合，特别是当频率较高时，线路受外界电磁场的作用更加强烈．这些干扰可直接改变桥臂参数，从而改变平衡条件；在某些情况下，还能破坏线路，使电桥无法达到平衡。

2.关于电桥平衡以及收敛性的讨论
由于
14
23
Z Z Z Z =
，即1324Z Z Z Z ＝，由图1，B=13Z Z ,D=24Z Z ，所以调节电桥平衡的过程，就是调节某些参数，使B ＝D ，N ＝A-B=0的过程．
通过以R 2,R 4为调节参量，从复平面矢量图来看，横轴代表实部，纵轴代表虚部，将矢量A 、B 画在复平面上，如右图所示。

调节R 2，在复平面上矢量A 的斜率不变，B 矢量的斜率不变，只是长短在变化，其矢端的轨迹为Ob ；又调节R 4时，B 矢量不变，只有A 矢量的实部变化，虚部不变，其轨迹为直线ab 。

矢量N 表示A 、B 两矢量之差，若先调节R 2,改变B 矢量，使它与A 矢量的差值N 为最小值N 1(此时N 1垂直Ob)，示零器第一次出现最小值；再调节R 4，改变A 矢量的实部，使A 与B 之差进一步从N 1减小到N 2(N 2垂直ab)时，示波器出现第二次极小值。

经过反复调节，最后使A ，B 矢端同时到达b 点，此时A ＝B ，N =0，电桥达到平衡（电桥收敛）。

3.关于频率对其的影响
书上讲解实验时规定实验电源交流电源为1 kHz ，为什么是这个频率呢？可不可以高一些或低一些。

我首先进行了一步工作，看频率是否会影响实验结果。

取实验所用电桥，电源由DF1631功率函数信号发生器充当。

在电源频率为1kHz 时，A=1情况下。

我测的R 2=640欧，R 4=1526欧，R 3=30000欧时电桥平衡。

这时只调电源输出频率，得下表：
电源频率（kHz ）
0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
电桥所的n 格数 98 97.8 97.8 97.8 97.8 97.5
电源频率（kHz ） 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
电桥所的n 格数 97.7 97.9 97.8 97.8 97.6 97.6
电源频率（kHz ） 8.0
10.0 12.0 15.0 18.0 20.0
电桥所的n 格数 97.7 97.7 97.5 97.5 97.5 97.5
图见于下：
上表看出：随频率变化，电桥不再平衡，出现波动。

证明了频率确实影响实验结果。

做下一步研究，看究竟它们什么关系？
理论研究：
我们实验室作为被测用的电感，电容，一般都是工业化大批量生产的，误差总难避免。

对于一个实际用的电感，我们可将它认为是一个纯电感和一个直流电阻相串连，再与一个分布电容相并联。

如图：
这个电路的总阻抗为：
11
x x x
j Cx z R j L ωω=++ 21x x x x
x x
L C j C R R j L ωωω−+=+
2222
[(1)]
(1)2()x x x x x x x x x x R j L L C R C Z L C C R ωωωω+−−=
−+ 由于一般实验线圈的内阻R 都较小，分布电容也不太大，因此在低频时它的平方项就更小了，2
CR 和 2
()CR ω均可略去，再去一级近似得：
22(12)(1)x x x x x x x Z R L C j L L C ωωω=+++
222200(12/)(1/)x x R f f j L f f ω=+++ ()()x x R f j L f ω=+
其中 2
2
0()(12/)x x R f R f f =+ 2
20()(12/)x x L f L f f =+
上式中01/2f π
=为该线圈本身的固有参数，是一个实常数，因此，我们测的数
据是与电源的频率相关联的。

实验研究：
使电源可以调频，来进行电感的测量，得下表： 电源频率（kHz ） 1.0 1.1 1.2 1.3 测的电感值（H ） 0.09766 0.09770 0.09800 0.09806 电源频率（kHz ） 1.4 1.5 1.6 1.7 测的电感值（H ）
0.09839 0.09853 0.09858 0.09872
图见于下：
可见所测的电感随电源频率的升高而变大。

那有人可以说要测的准，就调低电源频率不就行了。

但实验不仅要考虑准确度，还要注意灵敏度。

下面对不同电源频率下的交流电桥的灵敏度做了测量。

电源频率（kHz ） 0.2 0.4 0.6 0.8 增加10% R 4后n 的格数 54 36 27 22 减少10% R 4后n 的格数 50 33 25 20 灵敏度
480 655 740 770
电源频率（kHz ） 1.0 1.1 1.2 1.3 增加10% R 4后n 的格数 27 30 33 36 减少10% R 4后n 的格数
23 28 32 36 灵敏度
730 690 655 620
电源频率（kHz ） 1.4 1.5 1.6 1.7
增加10% R4后n的格数42 44 46 50
减少10% R4后n的格数42 43 46 50
灵敏度560 545 520 480 图见于下：
可见随着电源频率的变化，电桥的灵敏度在变化，在0.8-1.2赫兹间灵敏度最大。

故实验挑选了1千赫兹做为电源频率较佳。

参考文献：
（1）《大学物理实验》潘元胜冯璧华于瑶著南京大学出版社
（2）《交流电桥测电容和电感的误差来源及消除》谷勤忠
（3）《交流电桥的收敛性》陶肖韵
（4）《交流电桥的频率误差》刘荣跃
The research of alternating current bridge
Pengsong 021122036 Physics of Nanjing University。