2024届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三下学期开学摸底考试数学试卷

2024届湖南省衡阳市衡阳县第四中学高三下学期开
学摸底考试数学试卷
一、单选题
(★★★) 1. 从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成
无重复数字的四位数的个数为（）
A．240B．216C．180D．108
(★★) 2. 已知是等差数列的前n项和，，则
（）
A．22B．33C．40D．44
(★★) 3. 已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近
线方程为（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正
确的是（）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
(★★) 5. 我们定义一种新函数：形如（，）的函
数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象，如图所示，下列结论错误的是（）
A．图象具有对称性，对称轴是直线
B．当或时，函数值y随x值的增大而增大
C．当或时，函数最小值是0
D．当时，函数的最大值是4
(★★★) 6. 八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中.给出下列结论，其中正确的结论为（）
A．与的夹角为
B．
C．
D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）
(★★★) 7. 在中，内角的对边分别为，且
，则的最大值是（）
A．B．C．D．
(★★★) 8. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（）
A．B．C．D．
二、多选题
(★★★) 9. 已知函数，则（）
A．的最大值为
B．的图象关于点对称
C．是偶函数
D．不等式的解集是
(★★) 10. 若复数，则下列正确的是（）
A．当或时，为实数
B．若为纯虚数，则或
C．若复数对应的点位于第二象限，则
D．若复数z对应的点位于直线上，则或
(★★★) 11. 已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则
（）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题
(★★) 12. 已知多项式，则
___________ .
(★★★) 13. 已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，，，，则四棱锥外接球的体积为
______ ．
(★★★★★) 14. 已知函数，其中表示，中的最大值，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 ______ .
四、解答题
(★★★) 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(★★★) 16. 如图，在多面体中，四边形是边长为4的菱形，与交于点，平面平面
.
(1)求证：平面；
(2)若，点为的中点，求二面角的余弦值.
(★★★★) 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为和，过点的直线与C交于M，N两点，直线与交于点P，证明：点P在定直线上．
(★★★★) 18. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，（）是函数的两个极值点，证明：
恒成立.
(★★★) 19. 每年6月中旬到7月中旬，长江中下游区域内会出现一段连续阴雨
天气，俗称“梅雨期”.依据某地河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据，所绘制的频率分布直方图如图甲所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等
级的频率分布条形图如图乙所示.
(1)以频率作为概率，试求河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率；
(2)该地河流域某企业，在今年“梅雨期”，若没受1，2级灾害影响，利润为1000万元；若受1级灾害影响，则亏损200万元；若受2级灾害影响则亏损2000万元.
现此企业有如下三种应对方案：
试问，若仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？并说明理由.。