椭圆及其标准方程梁春霞

课题：§2.1.1椭圆及其标准方程
东莞市第十高级中学梁春霞
本节内容：普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学选修1-1》第二章《圆锥曲线及方程》的第一节“椭圆及其标准方程”．
下面，我从内容和内容解析、目标和目标解析、教学问题诊断分析、教学支持条件分析、教学过程设计、目标检测设计、教学反思七个方面对本节课的教案设计加以说明.
一．内容和内容解析
（一）教材地位
《椭圆的标准方程》是继学习必修2《圆》以后又一个二次曲线的实例.
从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质和双曲线、抛物线的基础.
从方法上说，它为我们后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和方法.椭圆的标准方程是圆锥曲线方程研究的基础，它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用.
（二）教材特点
1．由于本章节难度教大，学生普遍觉得比较困难.特别是缺乏数形结合能力，不善于简化平面几何问题.
2．本章节的概念比较多，性质又比较相似，容易互相干扰而影响学习效果.
（三）教学重点、难点
教学重点：掌握椭圆的定义及其标准方程；求椭圆标准方程的方法.
二．目标和目标解析
依据课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下：
1．学习椭圆的标准方程及其应用；培养学生的数形结合的思想.
2．通过椭圆定义，学生自主推导标准方程；通过观察图形逐渐培养学生对称的思想.
3．引导学生积极参与学习活动,培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心.
三．教学问题诊断
从学生认知水平来看，学生的探究能力和数形结合的能力还有待提高.应用实物模型导入新课，目的是要激发学生学习的兴趣，让他们观察椭圆的由来.在推导椭圆的标准方程时利用演示板来进行演示，先给学生直观的感性的认识.接着进行标准方程的推导，这样有利于培养学生的数形结合的能力.
本课主要采用探究式教学方法，即“观察对象－问题引导－讨论探究－得出
结论”的探究式教学方法.在教学上是以多媒体和演示板作为教学手段，始终坚持启发式教学，以学生为主体，引导学生思考并自己动手分析.
“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.
教学难点：椭圆标准方程的推导和应用.
四．教学支持条件分析
1．多媒体技术的运用，提高学生学习的积极性．
2．引导学生在黑板上推导椭圆及其标准方程公式，培养他们探索问题，解决问题的能力，感受成功的喜悦．
3．利用实物投影仪投影学生自己探究的问题，并且给与适当的评价与鼓励．
五．教学过程
数学学习过程是学生在原有认知基础上的主动建构，学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，为了更好地使不同层次的学生形成自己对课题知识的理解，结合本教材的特点，我设计了如下的教学过程，启发学生逐步认识椭圆的标准方程的推导, 会用椭圆的标准方程公式解决一些简单的相关问题.
﹙一﹚溯本逐源
复习旧知识：圆的定义是什么？圆的标准方程是什么形式？
提出新问题：椭圆是怎么画出来的？椭圆的定义是什么？它的标准方程又是什么形式？
引出课题：椭圆及其标准方程
（设计意图：激活学生已有的认知结构，为本课推导椭圆标准方程提供了方法与策略．）
﹙二﹚趁热打铁
1．创设问题情景
动画演示椭圆形成过程．
提问：点M运动时，F1、F2移动了吗？点M按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆？
（设计意图：通过动画演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象.让学生体会在变化中的变与不变及其内在联系.）
2.启发引导学生观察问题，构建数学模型
下面请同学们在绘图板上作图，思考绘图板上提出的问题：
（1）在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什么条件？其轨迹如何？
（2）改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
（3）当绳长小于两图钉之间的距离时，还能画出图形吗？
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样三个结论：
1212||||||MF MF F F +> 椭圆
1212||||||MF MF F F += 线段
1212||||||MF MF F F +< 不存在
（设计意图：给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心．）
﹙三﹚ 顺藤摸瓜
引导学生通过以上的动手操作，
归纳出椭圆的定义：
椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。

这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。

思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？
令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+
（设计意图：让学生通过反思画图过程，归纳定义，学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；比较深入地理解椭圆定义的条件.）
﹙四﹚ 推导方程
1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．
2．提问：如何建系，使求出的方程最简？
由各小组讨论，请小组代表汇报研讨结果．
各组分别选定一种方案：（以下过程按照第一种方案）
①建系：以21,F F 所在直线为x 轴，以线段21F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

②设点：设),(1y x M 是椭圆上任意一点，为了使21,F F 的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设12||2(0)F F c c =>，则12(,0),(,0)F c F c -
设M 与两定点21,F F 的距离的和等于a 2
M
2F
1F
③列式：12||||2MF MF a += ∴2222()()2,x c y x c y a +++-+=
④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
2222()2()x c y a x c y ++=--+ 两边平方，得：2222222()44()()x c y a a x c y x c y ++=--++-+ 即222()a cx a x c y -=-+
两边平方，得：422222222()a a cx c x a x c a y -+=-+
整理，得：22222222()()a c x a y a a c -+=-
令222(0)a c b b -=>，则方程可简化为：222222b a y a x b =+ 整理成：)0(122
22>>=+b a b
y a x 指出：方程)0(122
22>>=+b a b
y a x 叫做椭圆的标准方程，焦点在x 轴上，焦点是22221),0,(),0,(b a c c F c F -=-
讨论：如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是),0(),,0(21c F c F -，椭圆的方程又如何呢？ 让按照另外方案推导椭圆标准方程的同学发言并演示动画进行讨论得出：)0(12
2
22>>=+b a b x a y 为椭圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．
引导学生思考：已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？
讨论得出：看2x ，2y 的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．
﹙五﹚ 归纳概括
1．观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳
（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；
（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；
（3）椭圆标准方程中三个参数c b a ,,关系：222c a b -=)0(>>b a ；
（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；
（5）求椭圆标准方程时，可运用待定系数法求出b a ,的值。

2．在归纳总结的基础上，填下表
标准方程 22a x +22
b y =1)0(>>b a 22a y +2
2b x =1)0(>>b a 图形
a,b,c 关系
222c a b -= 222c a b -= 焦点坐标
)0,(c ± ),0(c ± 焦点位置 在x 轴上 在y 轴上
﹙六﹚ 牛刀小试
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）轴上；焦点在x b a ,1,4==
（2）.,15,4轴上焦点在y c a ==
﹙设计意图：通过两道简单的题目，让学生加深对椭圆标准方程的理解．﹚
﹙七﹚ 再接再厉
例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝
⎛23-25，，求它的标准方程.
解：因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
()0122
22>>=+b a b
y a x 由椭圆的定义知102232252322522
222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a ， 所以10=a ，又因为2=c ，所以6410222=-=-=c a b .
因此，所求的椭圆的标准方程为16
102
2=+y x . x y 1F
2
F M O x y 1F 2F
M O
想一想：你还能用其他求它的方法吗？哪种方法更简单？你有什么体会？
﹙设计意图：教师板书示范，强调解题的规范．并让学生熟练椭圆标准方程的运用.让学生知道用待定系数法也可以解决这道题.﹚
变式练习：
1.已知椭圆的焦点在y 轴上，且椭圆经过点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.
2.已知椭圆经过两个点()2,2-P 和()3,0-Q ，求此椭圆的标准方程.
通过引导分析：焦点分别在x 轴和y 轴时对应有不同的方程，需要分两类来说明.变式1：与例1类似，可以让学生自主练习，巩固方程的求法和待定系数法.变式2：引导学生观察,两道题条件有什么不同？当椭圆的焦点不确定时，应该如何选择方程？是否两类方程都适合呢？
﹙设计意图：这道题在设计上难度逐步加深，目的是要巩固知识，学习分类讨论的思想.﹚
﹙八﹚ 提纲挈领
1.椭圆的定义及其标准方程；
2.标准方程中c b a ,,的关系；
3.焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系.
六．目标检测设计
学以致用
例2：如右图，在圆422=+y x 上任取一点P ，
过点P 作x 轴的垂线段P P '，P '为垂足。

当点P
在圆上运动时，线段P P '的中点M 的轨迹是什么？
例3：如右图，设点B A ,坐标分别为()0,5-，()0,5.
直线BM AM ,相交于点M ，且他们的斜率之积是
9
4-，求点M 的轨迹方程.
﹙设计意图：例2，例3是椭圆标准方程的应用，相对比较难一些，可以留到第二课时再处理.有利于提高学生思维的灵活性和梯度.﹚
七．教学反思
在课堂教学中我“以知识为载体，以思维为主线，以能力为目标，以发展为方向”，展现知识的发生形成过程。

采取以学生为主体，明确本节课的学习目标，以学习任务驱动为方式，以椭圆标准方程的求法为中心。

穿插研究性教学尝试，y x P O P 'M x
A B M y x
体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。

有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于学生的实践能力和创新意识的培养。

达到了教学目标，优化了整个教学过程。

但是，在教学中还是存在很多不足的，在以后的教学中还要继续努力，不断总结经验教训，提高自身的教学。