高中数学 第1部分 2.3.3-2.3.4第1课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质课件 新人教A版
§2.3.3-4直线与平面、平面与平面垂直的性质
§2.3.3-4直线与平面、平面与平面垂直的性质一、教学目标1．知识与技能（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；（2）能运用性质定理解决一些简单问题；（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系．2．过程与方法（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证．3．情感态度与价值观通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力．二、教学重点与难点1．教学重点：直线与平面、平面与平面垂直的性质定理．2．教学难点：灵活应用所学定理证明空间中的垂直问题．三、教学过程㈠ 新课讲解1．直线与平面垂直的性质思考1：如图，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1,BB 1,CC 1,DD 1所在直线都垂直于底面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？思考2：一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？直线与平面垂直的性质定理⑴直线垂直平面则垂直于平面内的所有直线： ,l a l a αα⊥⊂⇒⊥；⑵直线与平面垂直的性质定理：,//a b a b αα⊥⊥⇒．（反证法）证明：不妨设a 不平行于b ，且bO α=， 过点O 作'//b a ，则b 与'b 确定一平面β设c αβ=，则O c ∈∵,a b αα⊥⊥，∴,a c b c ⊥⊥，∵'//b a ，∴'b c ⊥∴在平面β内，过点O 有两条直线与c 垂直，显然不成立，∴//a b 判断：如果直线a ，b 都垂直于同一条直线l ，那么直线a ，b 的位置关系如何？2．平面与平面垂直的性质思考1：如果平面α与平面β互相垂直，直线l 在平面α内，那么直线l 与平面β的位置关系有哪几种可能？思考2：黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？思考3：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ADD 1与平面ABCD 垂直，其交线为AD ，直线A1A ，D 1D 都在平面A 1ADD 1内，且都与交线AD 垂直，这两条直线与平面ABCD 垂直吗？平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．符号语言：,,,a l a a l a βαβαβ⊥=⊂⊥⇒⊥证明：设al P =，在β内过点P 作直线b l ⊥，则,a b 所成角即平面α与β所成角，设为P ∠，∵a β⊥，∴90P ∠=，∴a b ⊥∵a l ⊥，b l P =，b β⊂，l β⊂，∴a β⊥例4．如图，已知αβ⊥，直线a 满足,a a βα⊥⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系，并说明理由.㈡ 课堂练习书P71 练习，P73 练习1、2（口答）㈢ 课堂小结1．直线与平面垂直的性质；2．平面与平面垂直的性质；3．数学思想方法：转化的思想．㈣ 课后作业书P79 B 组 1，2㈤ 课后反思。
2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质
2、判定定理：如果一个平面经过了另一个平面的一条垂
（线面垂直面面垂直）
l
想一想
思考：
教室的黑板所在平面与地面 是什么关系？你能在黑板上 画一条直线与地面垂直吗？
思考:一般地， , CD AB , AB CD ,垂足为B，那么直 线AB与平面 的位置关系如何？为 什么？ β
2.3.3-2.3.4直线与平面、 平面与平面垂直的性质
复习引入
问题：若一条直线与一个平面垂直，则
可得到什么结论？若两条直线与同一个
平面垂直呢？
讲授新课
思考：(1)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中， 棱AA'、BB'、CC'、DD'所在直线都垂直于 平面ABCD，它们之间是有什么位置关 系？ D' C' A' B' D C A B
两个平面垂直，则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
l , m, l m l .
面面垂直 线面垂直
m l
拓展应用
求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.
已知 : , P , P a, a .求证 : a .
思考：(2)如图，已知直线a⊥ 、b⊥， 那么直线a、b一定平行吗？我们能否 证明这一事实的正确性呢？
a b
a⊥ 已知： ，b⊥，
求证：a∥b．
a
b
a⊥ 已知： ，b⊥，
求证：a∥b．
a
b O
a⊥ 已知： ，b⊥，
2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ， 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ， 由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形， 且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形． 则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。
高一数学新授课课时安排表
高一数学新授课课时安排表课程内容：高一（上）普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章集合与函数概念 8课时（包含习题课）1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ） 6课时（包含习题课）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用 4课时（包含习题课）3．1 函数与方程3．2函数模型及其应用小结:总结+习题 2课时普通高中课程标准实验教科书数学必修2第一章空间几何体 4课时（包含习题课）1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系 4课时（包含习题课）2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程 6课时（包含习题课）3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程 6课时（包含习题课）4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结：总结+习题 2课时高一（下）普通高中课程标准实验教科书数学必修3第一章算法初步 4课时（包含习题课）1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例第二章统计 4课时（包含习题课）2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量间的相关关系第三章概率 6课时（包含习题课）3．1 随机事件的概率3．2 古典概型3．3 几何概型小结+习题 4课时普通高中课程标准实验教科书数学必修4第一章三角函数 8课时（包含习题课）1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量 8课时（包含习题课）2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换 4课时（包含习题课）3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换小结+习题 4课时。
高一数学必修二2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质导学案(解析版)
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质一、课标解读1.掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。
2.掌握等价转化思想在解决问题中的运用.3.使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理.4.能运用性质定理解决一些简单问题.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.二、自学导引问题1：如图，长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，棱A A ′、B B ′、C C ′、D D ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？问题2：已知：a α⊥，b α⊥。
求证：b ∥a直线和平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号语言作用：a b问题3：黑板所在平面与地面所在平面垂直，你们能否在黑板上画一条直线与地面垂直呢？问题4：如图，长方体ABCD－A'B'C'D中，平面A'ADD’与平面ABCD垂直，直线A'A垂直于其交线AD，平面A'ADD’内的直线A'A与平面ABCD垂直吗？问题5：设α⊥β，α∩β＝CD，A B α，AB⊥CD，AB∩CD＝B，研究直线AB与平面β的位置关系。
归纳得到平面与平面垂直的性质定理：定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
想一想：用符号语言如何表述这个定理?三、典例精析例1 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，D A AC EF 1及与异面直线都垂直相交. 求证：EF ∥1BD变式训练1 如图所示，已知SA 垂直于ABCD 所在平面，过A 且垂直于SC 的平面分别交 .,,,,G F E SD SC SB 于求证：SB AE ⊥例2 如图所示，平面⊥⊥PAC ABC PAB 平面平面,平面ABC ，⊥AE 平面PBC ,E 为垂足.（1） 求证：ABC PA 平面⊥（2） 当E 为PBC ∆的垂心时，求证：ABC ∆是直角三角形变式训练2 如图所示，是所在平面外一点，是四边形ABCD ABCD P60=∠DAB 且 边长ABCD PAD a 面垂直于底面为正三角形，其所在平的菱形，侧面. (1) 若PAD BG AD G 平面边的中点，求证：为⊥ (2) 求证：PB AD ⊥四、自主反馈 1．两异面直线在平面α内的射影（ ）A ．相交直线B ．平行直线C ．一条直线—个点D ．以上三种情况均有可能2．若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（ ）A ．有且只有—个B ．可能存在也可能不存在C ．有无数多个D ．—定不存在3．在空间，下列哪些命题是正确的（ ）①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同—个平面的两条直线互相平行．A ．仅②不正确B ．仅①、④正确C ．仅①正确D ．四个命题都正确4．若平面α的斜线l 在α上的射影为l ′，直线b ∥α，且b ⊥l ′，则b 与l （ ）A ．必相交B ．必为异面直线C ．垂直D ．无法确定5．下列命题①平面的每条斜线都垂直于这个平面内的无数条直线；②若一条直线垂直于平面的斜线，则此直线必垂直于斜线在此平面内的射影； ③若平面的两条斜线段相等，则它们在同一平面内的射影也相等；④若一条线段在平面外并且不垂直于这个平面，则它的射影长一定小于线段的长． 其中，正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 n 4个6．在下列四个命题中，假命题为（ ）A ．如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直B ．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边C ．过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于a 的平面内D ．如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面7．已知P 是四边形ABCD 所在平面外一点且P 在平面ABCD 内的射影在四边形ABCD 内，若P 到这四边形各边的距离相等，那么这个四边形是（ ）A ．圆内接四边形B ．矩形C ．圆外切四边形D ．平行四边形8．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，P A ⊥平面ABC ，P A ＝8，则P 到BC 的距离等于（ ）A ．5B ．52C ．35D ．45答案2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质例1 证明：连接BD C B AB ,,11ABCD AC ABCD DD 平面平面⊂⊥,1D DD BD BD AC AC DD =⊥⊥∴11,, 又111,BD AC B BDD AC ⊥∴⊥∴平面C AB BD C B BD 1111,平面同理可证⊥∴⊥C BD A AD EF AC EF 11//,,又⊥⊥C AB EF C B EF 11,平面⊥∴⊥∴1//BD EF ∴例2 证明（1）在平面F AC DF D ABC 于作内取一点⊥,AC ABC PAC 且交线为平面平面,⊥AP DF PAC PA PAC DF ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面AP DG G AB DG ⊥⊥同理可证于作,D DF DG ABC DF DG = 内，且都在平面,ABC PA 平面⊥∴(2)连接H PC BE 于并延长交BE PC PBC E ⊥∴∆的垂心，是又已知AE PC PBC AE ⊥∴的垂线，是平面AB PC ABE PC ⊥∴⊥∴,平面PAC AB AB PA ABC PA 平面平面又⊥∴⊥∴⊥,, 是直角三角形即ABC AC AB ∆⊥∴,变式训练1.SA BC ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,平面，平面证明：SAB SA SAB AB A SA AB AB BC 平面平面⊂⊂=⊥,,, BC AE SAB AE SAB BC ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面 SC AE AEFG AE AEFG SC ⊥∴⊂⊥,,平面平面 SBC BC SBC SC C BC SC 平面平面又⊂⊂=,, SB AE SBC SB SBC AE ⊥∴⊂⊥∴,,平面平面2.略自主反馈1．D 2．B 3．B 4．C 5．A 6．A 7．C 8．D。
高中数学人教A版必修二教案：2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
可． 【证明】法一：如图，设 ∩r = a ， ∩r = b，在 r 内任取一点
P．过点 P 在 r 内作直线 m⊥a，n⊥b． ∵ ⊥r， ⊥r， ∴m⊥a，n⊥ （面面垂直的性质）． 又 ∩ = l，
∴l⊥m，l⊥n．又 m∩n = P，m，n r
∴l⊥r． 法二：如图，设 ∩r = a， ∩r = b，在 内作 m⊥a，在 内作 n⊥b． ∵ ⊥r， ⊥r，
2．例 1
设 ， 与两个平面的交线垂直即可.
I =CD， AB ，AB⊥CD
师：证明直线和平面垂直
，AB⊥CD = B 求证 AB
一般都转化为证直线和平面内
两条交线垂直，现 AB⊥CD，
需找一条直线与 AB 垂直，有
条件 还没有用，能否利
本例 题的难点 是构造辅 助线，采 用分析综 合法能较 好地解决 这个问题.
c．一条直线在平面内，另
一条直线与这个平面垂直，则
这两条直线互相垂直. （ √
）
（2）已知直线 a，b 和平
面 ，且 a⊥b，a⊥ ，则 b
与 的位置关系是
.
答案：b∥ 或 b .
2．（1）下列命题中错误的
是（ A ） 随堂练习
A．如果平面 ⊥平面 ，
那么平面 内所有直线垂直于
平面 .
质定理
观察、讨论，然后回答问题
1．问题
生：借助长方体模型，在
黑板所在平面与地面所在 长方体 ABCD – A′B′C′D′中，面
平面垂直，你能否在黑板上画 A′ADD′⊥面
一条直线与地面垂直？
ABCD，A′A⊥AD，AB⊥A′A
探索新知
∵ AD I AA A
∴A′A⊥面 ABCD
《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计
《空间中直线、平面的垂直关系》教学设计一、教材内容解析本节课的内容是探究空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，选自人教A 版教材《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》。
空间中直线、平面的垂直关系是一种非常重要的的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范。
这类问题求解的关键是根据线面、面面之间的互化关系，借助创设辅助线和面，找出符号语言和图形语言之间的关系。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
本节内容是学习了线面垂直和面面垂直判定之后的进一步探究，进一步巩固“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习模式，培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学目标设置根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合理需要，确定以下教学目标：（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②会证明性质定理，并能运用性质定理解决一些简单问题。
（2）过程与方法目标：①通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力；②了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握转化思想在解决问题中的运用；③通过类比空间中直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系的学习方法来探究本节课中的垂直关系。
（3）情感态度与价值观目标：①让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣；②提高学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新精神；③进一步体会几何中的公理化体系，提升学生的科学素养。
教学重点：学生经历“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，感悟数学中的“转化”的思想，并能类比此方法用于其它数学命题的学习，解决更多的生活中的实际问题，所以性质定理的发现及证明是本节课的重点。
学练考高中数学2.3.3、2.3.4直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件新人教A版必修2
图 2-3-55 证明：过点 A 作 AE⊥PB，垂足为 E， ∵平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB∩平面 PBC＝PB，∴AE⊥平面 PBC. ∵BC⊂平面 PBC，∴AE⊥BC.∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC. ∵PA∩AE＝A，∴BC⊥平面 PAB.
第二十四页，共28页。
(1)求证：BC⊥平面 ACD； (2)求几何体 D -ABC 的体积．
图 2-3-18
第十五页，共28页。
2.3.4 │ 考点(kǎo diǎn)类析
解：(1)证明：在图(a)中，可得 AC＝BC＝2 2，从而 AC 2 ＋BC 2＝AB 2，故 AC⊥BC.因为平面 ADC⊥平面 ABC，平面
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
当堂自测
1．已知直线 b⊥平面 α，直线 a⊂α，则 a 与 b 的位置关系 是( )
A．a∥b B．a⊥b C．a 与 b 垂直相交 D．a 与 b 垂直且异面 [答案]B
第二十五页，共28页。
2.3.4 │ 当堂(dānɡ tánɡ)自测
2．已知平面 α，β，直线 l，若 α⊥β，α∩β＝l，则( ) A．垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B．垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C．垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D．垂直于直线 l 的平面一定与平面 α、β 都垂直
高中数学必修二课件：2.3.3--2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质(共33张)
C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
思考2
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直 线a，b的位置关系如何？llbl Nhomakorabeaab
相交
ab
平行
a
异面
思考3
动手 做一做
如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b 一定平行吗？
a
b
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
ab
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其 交线为AD，直线A1A，D1D都在平面 A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两 条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考4:一般地， , CD , CD,AB ,AB CD, AB , AB CD ,垂足为B，那么直 线AB与平面 β 的位置关系如何？为 什么？
β
m
,l , m,l m
l .
知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究
思考1:若α⊥β，过平面α内一点A 作平面β的垂线，垂足为B，那么点 B在什么位置？说明你的理由.
α
A
B β
思考2:上述分析表明：如果两个平 面互相垂直，那么经过一个平面内 一点且垂直于另一个平面的直线， 必在这个平面内.该性质在实际应用 中有何理论作用？
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径 P ，C是圆周上不同于A，B的
任意一点
学案12：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质【学习目标】1．掌握直线与平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能解决有关问题；3．能综合运用直线与平面、平面与平面的垂直、平行的判定和性质定理解决有关问题．【要点梳理】要点一、直线与平面垂直的性质1.基本性质文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 符号语言：,l m l m αα⊥⊂⇒⊥图形语言：2.性质定理文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,//l m l m αα⊥⊥⇒图形语言：3．直线与平面垂直的其他性质（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.（2）若l α⊥于A ，AP l ⊥，则AP α⊂.（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.要点诠释：线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化.要点二、平面与平面垂直的性质1．性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,m l l m l αβαββα⊥=⊂⊥⇒⊥图形语言：要点诠释：面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法，在解决二面角问题中作二面角的平面角经常用到.这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的重要思想方法.2．平面与平面垂直性质定理的推论如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.要点三、垂直关系的综合转化线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的，能够相互转化，转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理，具体的转化关系如下图所示：在解决问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，早从结论探求所需的关系，从而架起条件与结论的桥梁．【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线）.（1）若a，b都平行于平面α，求证：AB⊥α；αβ=，求证：AB∥c.（2）若a，b分别垂直于平面α，β，且c【思路点拨】（1）依据直线和平面垂直的判定定理证明AB⊥α，可先证明线与线的平行.（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c.【总结升华】由第（2）问的证明可以看出，利用线面垂直的性质证明线与线的平行，其关键是构造平面，使所证线皆与该平面垂直.如题中，通过作出辅助线BB＇，构造出平面，即由相交直线b与BB＇确定的平面，然后借助于题目中的其他垂直关系证明.举一反三：【变式1】设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，P A=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明：AE⊥CD；（2）证明：PD⊥平面ABE．【思路点拨】（1）由P A⊥底面ABCD，可得CD⊥P A，又CD⊥AC，故CD⊥面P AC，从而证得CD⊥AE；（2）由等腰三角形的底边中线的性质可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由AB⊥PD可得PD⊥面ABE.【总结升华】直线与平面垂直的性质定理（以及补充性质）是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁，因此必须熟练掌握这些定理，并能灵活地运用它们．举一反三：==，ABED是边长为1的正方形，平【变式1】如图，三角形ABCD中，AC BC AB面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点.（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：AC⊥平面EBC；（3）求几何体ADEBC的体积V.类型二：平面与平面垂直的性质例3．如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.【总结升华】证法1、证法2都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是证法1、证法2的关键.证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷.由此可见，我们必须熟练掌握这一推论.举一反三：【变式1】已知△ABC，AB=AC=3a，BC=2a，D为BC的中点，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，且满足AA1 平面ABC，AA1=3a.如图所示，E是CC1上一点，且CE=2a，求二面角D—AE—C的正弦值.【总结升华】面面垂直的性质定理是作线面垂直的依据和方法（即若有两个平面垂直，则在一个平面内作垂直于交线的直线，则该直线必垂直于另一个平面），利用它可以作出二面角的平面的角、直线与平面所成的角、平面的垂线等.类型三：综合应用例4．如图，四边形ABCD 为矩形，四边形ADEF 为梯形，AD ∥FE ，∠AFE =60°，且平面ABCD ⊥平面ADEF ，122AF FE AB AD ====，点G 为AC 的中点.（1）求证：EG ∥平面ABF ；（2）求三棱锥B —AEG 的体积；（3）试判断平面BAE 与平面DCE 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由.【思路点拨】（1）取AB 中点M ，连接MG ，则EF ∥MG ，①即得证.（2）转换三棱锥B —AEG 为E —ABG 即可求得体积.（3）只要证明AE ⊥CDE 即可.例5．如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2．(1)求证：//DE 平面1A CB ；(2)求证：1A F BE ⊥；(3)线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？说明理由．【思路点拨】这是个折叠问题，要注意折叠前和折叠后线段的数量和位置关系的变化.举一反三：【变式1】如下图，已知三棱锥P—ABC中，平面P AB⊥平面ABC，平面P AC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.（1）求证：P A⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的.因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.【变式2】如图，已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD为菱形，P A⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE 与PD 是否垂直，并说明理由．（2）设AB =2，若H 为PD 上的动点，若△AHE P —ABCD 的体积．【总结升华】本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．【变式3】四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====．(1)证明：SD SAB ⊥；(2)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．【参考答案】【典型例题】类型一：直线与平面垂直的性质例1．证明：（1）如图（1），在α内任取一点P，设直线a与点P确定的平面与平面α的交线为a＇，设直线b与点P确定的平面与平面α的交线为b＇.∵a∥α，b∥α，∴a∥a＇，b∥b＇.又∵AB⊥α，AB⊥b，∴AB⊥a＇，AB⊥b＇，∴AB⊥α.（2）如图，过B作BB＇⊥α，则AB⊥BB＇.又∵AB⊥b，∴AB垂直于由b和BB＇确定的平面.∵b⊥β，∴b⊥c，∵BB＇⊥α，∴BB＇⊥c.∴c也垂直于由BB＇和b确定的平面，故c∥AB.举一反三：【变式1】【答案】B【解析】两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.例2．【证明】（1）在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A．又CD⊥AC，P A∩AC=A，∴CD⊥面P AC，∵AE⊂面P AC，故CD⊥AE．（2）由P A=AB=BC，∠ABC=60°，可得P A=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（1）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵P A⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE举一反三：【变式1】【证明】（1）证法一：取BE的中点H，连接HF、GH，（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴HG∥BC，HF∥DE，又∵ADEB为正方形，∴DE∥AB，从而HF∥AB∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC，HF∩HG=H，∴平面HGF∥平面ABC，∴GF∥平面ABC证法二：取BC的中点M，AB的中点N，连接GM、FN、MN（如图）∵G、F分别是EC和BD的中点，∴GM∥BE，且12GM BE=，NF∥DA，且12NF DA=，又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD∴GM∥NF且GM=NF，∴MNFG为平行四边形∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，∴GF∥平面ABC 证法三：连接AE，∵ADEB为正方形，∴AE ∩BD =F ，且F 是AE 中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，∴GF ∥平面ABC（2）∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，∴GF ∥平面ABC又∵平面ABED ⊥平面ABC ，∴BE ⊥平面ABC ∴BE ⊥AC又∵CA 2+CB 2=AB 2，∴AC ⊥BC ，∵BC ∩BE =B ，∴AC ⊥平面BCE（3）连接CN ，因为AC =BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.∵三角形ABC 是等腰直角三角形，∴1122CN AB ==， ∵C —ABED 是四棱锥， ∴111113326C ABED ABED V S CN -=⋅=⨯⨯= 类型二：平面与平面垂直的性质例3．【解】已知：αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥.证法1：如图（左），在γ内取一点P ，作P A 垂直于α与γ的交线于A ， PB 垂直于β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β，∵l αβ=，∴l ⊥P A ，l ⊥PB.∵P A γ⊂，PB γ⊂，P A ∩PB =P ，∴l γ⊥.证法2：如图（右），在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线，∵αγ⊥，βγ⊥，∴m γ⊥，n γ⊥，∴m ∥n.又n β⊂，∴m ∥β，∴m ∥l ，∴l γ⊥.证法3：如图，在l 上取一点A ，过A 作直线m ，使m γ⊥.∵αγ⊥，且A l α∈⊂，∴m α⊂，同理m β， ∴m l αβ==，即l 与m 重合，∴l γ⊥.举一反三：【变式1】【解】 ∵AA 1⊥平面ABC ，CC 1∥AA 1，∴CC 1⊥平面ABC.又CC 1⊂平面ACE ，∴平面ACE ⊥平面ABC.作DH ⊥AC 于H ，DH ⊥平面AEC ，作HF ⊥AE 于F ，连接DF ，则DF ⊥AE ，∴∠DFH 是二面角D —AE —C 的平面角.在Rt △ADC 中，AD DC DH AC ⋅==.在Rt △ADE （易证得）中，AD DE DF AE ⋅==.在Rt △DHF 中，sin DH DFH DF ∠==∴二面角D —AE —C 类型三：综合应用例4．【证明】（1）证明：取AB 中点M ，连FM ，GM.∵G 为对角线AC 的中点，∴GM ∥AD ，且12GM AD =， 又∵FE ∥12AD ，∴GM ∥FE 且GM =FE. ∴四边形GMFE 为平行四边形，即EG ∥FM.又∵EG ⊄平面ABF ，FM ⊂平面ABF ，∴EG ∥平面ABF .（2）作EN ⊥AD ，垂足为N ，由平面ABCD ⊥平面AFED ，面ABCD ∩面AFED =AD ，得EN ⊥平面ABCD ，即EN 为三棱锥E —ABG 的高∵在△AEF 中，AF =FE ，∠AFE =60°，∴△AEF 是正三角形∴∠AEF =60°，由EF ∥AD 知∠EAD =60°，∴sin 60EN AE =⋅︒=∴三棱锥BAEG 的体积为11122332B AEG E ABG ABG V V S EN --==⋅=⨯⨯⨯= （3）平面BAE ⊥平面DCE ，证明如下： ∵四边形ABCD 为矩形，且平面ABCD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥平面AFED ，∴CD ⊥AE∵四边形AFED 为梯形，FE ∥AD ，且∠AEF =60°，∴∠F AD =120°又在△AED 中，EA =2，AD =4，∠EAD =60°，由余弦定理，得ED =∴222EA ED AD +=，∴ED ⊥AE又∵ED ∩CD =D ，∴AE ⊥平面DCE又 AE ⊂面BAE ，∴平面BAE ⊥平面DCE例5．【解】(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC ， 又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB ．(2)证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ．所以DE ⊥A 1D ．DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC ．而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F ．又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ．所以A 1F ⊥BE ．(3)解：线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC．又因为DE∥BC，所以DE∥PQ，所以平面DEQ即为平面DEP．由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C．又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP．所以A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ．举一反三：【变式1】证明：（1）如下图（左），在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.因为平面P AC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面P AC.又P A 平面P AC，所以DF⊥P A.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥P A.又因为DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，所以P A⊥平面ABC.（2）连接BE并延长交PC于H，如上图（右）.因为E是△PBC的垂心，所以PC⊥BE.又已知AE是平面PBC的垂线，所以PC⊥AE.所以PC⊥平面ABE，所以PC⊥AB.又因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥AB，所以AB⊥平面P AC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.【变式2】【证明】（1）AE ⊥PD因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴△ABC 为等边三角形．因为E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC ，结合BC ∥AD ，得AE ⊥AD∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AEP A ∩AD =A ，且P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD∴AE ⊥平面P AD ，又PD ⊂平面P AD ，∴AE ⊥PD（2）由（1），EA ⊥平面P AD ，∴EA ⊥AH ，即△AEH 为直角三角形，Rt ⊥EAH 中，AE =当AH 最短时，即AH ⊥PD 时，△AEH 面积的最小此时，12EAH S EA AH AH ∆=⋅=⇒=又AD =2，所以∠ADH =45°，所以P A =2，P ABCD V -=【变式3】【解】（1）取AB 中点E ，连结DE 、SE ，∴四边形BCDE 为矩形，DE =CB =2，∵侧面SAB 为等边三角形，∴,SE AB SE ⊥=又∵SD =1，222ED SE SD =+，∴DSE ∠为直角．又∵,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥=，∴AB ⊥平面SDE ，∴AB SD ⊥．又SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直．∴SD ⊥平面SAB ．（2）作SF DE ⊥垂足为F ，FG ⊥BC ，垂足为G ，连结SG∵AB ⊥平面SDE ，∴平面ABCD ⊥平面SED ，∴SF ⊥平面ABCD ，∵BC ABCD ⊂平面，∴SF BC ⊥，又 ∵FG ⊥BC ，SF FG F =，∴BC ⊥平面SFG ，∵BC SBC ⊂平面，∴平面SBC ⊥平面SFG ．作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC ．又∵在Rt SDE ∆中，SD SE SF DE ⨯==，在Rt SFG ∆中，SG ===∴SF FG FH SG ⨯===，即F 到平面SBC ．∵ED //BC ，∴ED //平面SBC ，∴E 到平面SBC 的距离d ．设AB 与平面SBC 所成的角为α，则sin d EB α==．。
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线面垂直、面面垂直的性质定理公开课教学课件
β
a
l
α
A
问题4：面面垂直性质定理用途? 面面垂直线面垂直 问题5：什么情况下用?
符号语言：
a
l
a
a l
已知面面垂直时.
平面与平面垂直的性质定理： 问题6：体现了什么数学思想? 转化
三、例题讲解 例1：PA⊥平面ABC，面PAB⊥面PBC，求证：BC⊥AB
P 问题7：要证BC垂直于AB，要会选择，选择BC垂直于AB，还是AB垂直于
已知：
, A ,C B D ,C A D .求B 证： CD
发展条件 α
转化结论
C
B
D
E
β
A
证明：
在平面β内过D作直线 DE ⊥AB
则 CD 是 E二面 -A B 角 的平面角
由 ⊥β 得CD ⊥ DE
又CD ⊥ AB, 且DE ∩ AB =D 所以直线CD⊥平面β
平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言?
a ,b a//b
简述： 如何证明？
线面垂直
线线平行
知识探究： 问题2:面α与面β垂直，线L在面α内，线L与面β的关系有哪几种？（讨论一下）
α L
β 平行
问题3：怎样才能垂直？
α L
β 相交
α
L β
线在面内
思考3: 如何找地面的垂线？
注:若l ,b
则l b.
l
A
αb
2.直线与平面垂直的判定定理？ 直线与面内的两条相交直线都垂直，则该线与面垂直
图形表示
a
m
直线、平面平行和垂直的判定及其性质
P
A
C
Oa
B
2. 过△ABC所在平面 a 外一点 P, 作 PO⊥a, 垂足为 O, 连接 PA,
PB, PC.
(1) 若 PA=PB=PC, ∠C=90, 则 O 是 AB 边的
.
(2) 若 PA=PB=PC, 则 O 是△ABC 的
心.
(3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则 O 是△ABC的
l
P
l2
l1
O
A
a l3
l4
上斜足以外的一点向平面引垂线 PO, 过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫斜线在 平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直 线和这个平面所成的角.
问题 3. (1) 请同学们用一块三角板的一条直角边放在桌面内, 另外一条 直角边不在桌面内, 请问这另一条直角边与桌面垂直吗?
(2) 用一张有一定硬度的纸将一边对折后又展开,并将所折的边放在桌面上, 看折痕是否垂直桌面? 有不垂直的可能吗?
当A、B、C 不共线时, 折痕DC垂直桌面;
当A、B、C 共线时,ຫໍສະໝຸດ 折痕DC不一定垂直桌面.la. 求证:
(1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA;
(2) 若 l⊥QA, 则 l⊥PA.
P
Q 为垂线段 PQ 的垂足. A 为斜线段 PA 的斜足.
aQ
Al
QA 为斜线 PA 在平面 a 上的射影.
有三条线:
①平面的斜线,
②斜线在平面上的射影,
③平面内的一条直线 l.
结论:
如果 l ⊥斜线, 则 l⊥射影; 如果 l⊥射影, 则 l⊥斜线.
la. 求证:
(1) 若 l⊥PA, 则 l⊥QA;
2.3.3直线与平面垂直的性质 2.3.4平面与平面垂直的性质 教案(人教A版必修2)
2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质●三维目标1．知识与技能(1)掌握线面垂直及面面垂直的性质定理及其应用．(2)运用两个定理实现“线线”、“线面”、“面面”垂直的转化，进一步发展空间想象能力和逻辑思维能力．2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用．3．情感、态度与价值观(1)在推理和证明过程中，提高探究能力，逐渐养成严谨的科学态度．(2)增强“数学来源于生活、应用于实践”的意识，培养审美情趣．(3)进一步渗透等价转化的思想．●重点难点重点：两个性质定理及其应用．难点：两个性质定理的探索过程及应用．重难点突破：以教材中的“思考”为切入点，通过学生观察长方体侧棱及侧面同底面的关系，提出直线和平面垂直的性质定理及平面和平面垂直的性质定理的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理，最后通过题组训练，采用师生互动、讲练结合的方式，帮助学生突出重点、化解难点．●教学建议本节知识是上节知识的拓展和延伸，由于性质与判定是相辅相成、相互统一的，故教学时，采用“启发—探究”的教学方法．通过一系列的问题及层层递进的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究．帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现．由于线面垂直的性质实现了垂直同平行的互化，在教学时，可适当补充例题，通过练习突出线面及线线关系的互化意识，培养学生的空间转换能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：线面垂直与面面垂直有哪些性质？⇒引导学生借助长方体，通过观察、想象、思考得出线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过引导学生回答所提问题理解线面垂直与面面垂直的性质定理.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与平面的垂直的性质定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握平面与平面垂直的性质定理.在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，那么这些电线杆之间存在什么位置关系呢？【提示】 平行．直线与平面垂直的性质定理如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1ADD 1与平面ABCD 垂直，直线A 1A 垂直于其交线AD .平面A 1ADD 1内的直线A 1A 与平面ABCD 垂直吗？【提示】 垂直．平面与平面垂直的性质定理图2－3－26如图2－3－26，正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，EF 与异面直线AC 、A 1D 都垂直相交．求证：EF ∥BD 1.【思路探究】 紧扣线面垂直的性质定理，在图中作出辅助平面，证明EF ，BD 1都与此平面垂直．【自主解答】 如图所示，连接AB 1、B 1D 1、B 1C 、BD ，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的，即线面垂直的性质提供了线线平行的依据．2．证明线线平行的方法有：定义法、公理4、线面平行的性质定理、线面垂直的性质定理．图2－3－27已知，如图2－3－27，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.【证明】过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′.又a ′∩b ＝B ，所以AB ⊥γ. 因为b ⊥β，c ⊂β，所以b ⊥c .① 因为a ⊥α，c ⊂α，所以a ⊥c . 又a ′∥a ，所以a ′⊥c ② 由①②可得c ⊥γ.又AB ⊥γ， 所以AB ∥c .图2－3－28(2013·洛阳高一检测)如图2－3－28，P 是△ABC 所在平面外的一点，且P A ⊥平面ABC ，平面P AC ⊥平面PBC ，求证：BC ⊥AC .【思路探究】 平面P AC ⊥平面PBC――→引辅助线作AE ⊥PC ――→面面垂直的性质BC ⊥平面P AC――→线面垂直的定义BC ⊥AC【自主解答】 过A 作AE ⊥PC 于E ，由平面P AC ⊥平面PBC ，且平面P AC ∩平面PBC ＝PC ，可知AE ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，故AE ⊥BC .又P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故P A ⊥BC . ∵P A ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面P AC . 又AC ⊂平面P AC ，故BC ⊥AC .在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题．图2－3－29如图2－3－29，四棱锥V－ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求证：平面VBC⊥平面VAC.【证明】∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB.∴BC⊥面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，∵VA⊂面VAC.∴平面VBC⊥平面VAC.图2－3－30如图2－3－30所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面P AD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面P AD；(2)求证：AD⊥PB.【思路探究】(1)由题中平面P AD⊥平面ABCD，只需要证明BG垂直于两平面的交线即可．(2)转化为证AD⊥平面PBG即可．【自主解答】(1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面P AD.(2)连接PG，如图，∵△P AD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．图2－3－31如图2－3－31，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.P A与BD是否相互垂直？请证明你的结论．【解】P A与BD相互垂直．证明过程如下：如图，取BC的中点O，连接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面P AO，∴BD⊥P A，即P A与BD相互垂直．折叠问题的求解策略(12分)(2013·梅州高二检测)如图2－3－32，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．图2－3－32(1)如果二面角A－DE－C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.【思路点拨】(1)分别取DE、BC的中点M，N，借助面面垂直的性质证明AN⊥BC，进而说明△ABC为等腰三角形．(2)类比(1)逆向求解便可．【规范解答】(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，2分∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.4分又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.6分又∵N是BC中点，∴AB＝AC.7分(2)取BC的中点N，连接AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC.8分取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.10分又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.11分∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.12分1．抓住折叠前后的变量与不变量．一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．2．在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况．注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度、角度的变化情况．1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合)，则()A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交【解析】因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B.【答案】 B图2－3－332．如图2－3－33所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面P AB，P A＝PB，AD＝DB，则()A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC【解析】∵P A＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面P AB，平面ABC∩平面P AB＝AB，∴PD⊥平面ABC.【答案】 B3．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．【解析】如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，∵a∥α.∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB.又∵α⊥β，α∩β＝AB，b⊂α.∴b⊥β，∴a⊥β.【答案】a⊥β图2－3－344．如图2－3－34，已知平面α∩平面β＝l ，EA ⊥α，垂足为A ，EB ⊥β，垂足为B ，直线a ⊂β，a ⊥AB .求证：a ∥l .【证明】 因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA .同理l ⊥EB ，又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ， 又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ， 所以a ⊥平面EAB . 因此，a∥l .一、选择题1．(2013·临沂高一检测)下列命题正确的是( ) A ．垂直于同一条直线的两直线平行 B ．垂直于同一条直线的两直线垂直 C ．垂直于同一个平面的两直线平行D ．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行【解析】 由线面垂直的性质定理知，C 选项正确，其他三选项可以举出反例． 【答案】 C2．下列命题正确的是( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊥b ⇒b ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α. A ．①② B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④【解析】 ①②正确，③不正确，当a ⊥α且a ⊥b 时，有b ∥α或b ⊂α；④不正确，当a ∥α，a ⊥b 时，有b 与α相交或b ∥α或b ⊂α.【答案】 A3．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a 垂直于平面β内的一条直线b ，则( )A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直【解析】当b＝α∩β时，必有a⊥β，当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β.【答案】 C4．(2013·安阳高一检测)已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是() A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】根据面面垂直的性质定理逐一判断．选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件，故选D.【答案】 D5．如图2－3－35，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：图2－3－35①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①与②B．①与③C．②与③D．③与④【解析】由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.【答案】 B二、填空题6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面AC，则EF与AA1的位置关系是________．【解析】∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.【答案】平行7．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．【解析】∵α⊥β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，∴n⊥α，又m⊥α，∴m∥n.【答案】平行图2－3－368．如图2－3－36所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．【解析】取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2.因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.【答案】 6三、解答题9．如图2－3－37所示，已知：α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，BC⊂β，BC⊥DE.求证：AC⊥DE.图2－3－37【证明】∵α⊥β，α∩β＝l，AB⊂α，AB⊥l，∴AB⊥β.又DE⊂β，故AB⊥DE.又BC⊥DE，AB∩BC＝B，故DE⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，故DE⊥AC.图2－3－3810．(2013·威海高一检测)如图2－3－38：三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，∠ACP＝30°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.【证明】∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.11．如图2－3－39所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD ＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.图2－3－39【证明】(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABD .如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .【思路探究】 (1)取EC 的中点F ―→ 证明DF ⊥EC ―→Rt △EFD ≌Rt △DBA ―→DE ＝DA(2)取CA 中点N ―→连接MN ，BN ，MN 綊12EC ―→MN ∥BD ―→点N 在平面BDM 内―→BN ⊥平面ECA ―→平面BDM ⊥平面ECA(3)DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ―→DM ⊥平面ECA ―→平面DEA ⊥平面ECA 【自主解答】 (1)如图，取EC 的中点F ，连接DF ，∵EC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴EC ⊥BC ，易知DF ∥BC ，∴DF ⊥EC . 在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， ∵EF ＝12EC ，EC ＝2BD ，∴EF ＝BD ，又FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，故DE ＝DA . (2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ， 则MN ∥EC ，且MN ＝12EC ，∵EC ∥BD ，∴MN ∥BD ， ∴N 点在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ， ∴EC ⊥BN ，又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA ， ∵BN 在平面MNBD 内，∴平面MNBD ⊥平面ECA ，即平面BDM ⊥平面ECA . (3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ，又DM ⊂平面DEA ， ∴平面DEA ⊥平面ECA .1．在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键．2．空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等．还可以通过解三角形，创造一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1C 1＝A 1C 1，AC 1⊥A 1B ，M ，N 分别是A 1B 1，AB 的中点．求证；(1)C 1M ⊥平面A 1ABB 1； (2)A 1B ⊥AM ；(3)平面AMC 1∥平面NB 1C .【证明】 (1)∵M 为A 1B 1的中点，A 1C 1＝B 1C 1， ∴C 1M ⊥A 1B 1.∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1＝A 1B 1，C 1M ⊂平面A 1B 1C 1，∴C 1M ⊥平面A 1ABB 1.(2)∵C 1M ⊥平面A 1ABB 1，A 1B ⊂平面A 1ABB 1， ∴C 1M ⊥A 1B .又∵A 1B ⊥AC 1，C 1M ∩AC 1＝C 1， ∴A 1B ⊥平面AC 1M .∵AM ⊂平面AC 1M ，∴A 1B ⊥AM .(3)∵N 为AB 的中点，AC ＝BC ，∴CN ⊥AB .又∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ，CN ⊂平面ABC ， ∴CN ⊥平面A 1ABB 1.故CN ∥C 1M .又∵MB 1∥AN ，MB 1＝12A 1B 1，AN ＝12AB ，且A 1B 1＝AB ，∴四边形ANB 1M 为平行四边形．则AM ∥B 1N . 又∵AM ⊂平面AMC 1，B 1N ⊄平面AMC 1， ∴B 1N ∥平面AMC 1.同理CN ∥平面AMC 1. 又∵B 1N ，CN 为平面NB 1C 内两条相交直线， ∴平面AMC 1∥平面NB 1C .。
人教版高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)
高中数学《直线与平面垂直的判定》教学设计(全国一等奖)《普通高中课程标准实验教科书—数学必修（二）》人教A版直线与平面垂直的判定姓名：单位：《直线与平面垂直的判定（第一课时）》教学设计一、内容和内容解析：本节内容选自人教A版《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（二）》第二章第三节：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时），属于新授概念课.本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务.线面垂直是在学生掌握了线在面内，线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的特例.在线面平行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方法上的范式.线面垂直是线线垂直的拓展，又是面面垂直的基础，后续内容如空间的角和距离等又都使用它来定义，在本章中起着承上启下的作用.通过本节课的学习与研究，可进一步完善学生的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象及推理能力，体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法.因此学习这部分知识有着非常重要的意义.二、目标和目标解析：《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：① 在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面垂直位置关系的定义；② 通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定定理；③ 能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.本节课的课程标准分解如下：（1）从认知角度进行分解：（2）从能力角度进行分解：根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的学习目标为：（1）在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出直线与平面垂直的定义；（2）通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理；（3）能运用直线与平面垂直的定义和判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.针对本节课的学习目标，我设计了如下的评价任务：评价任务一：能否从生活现象中直观感受到直线与平面垂直的形象，并将其抽象出直线与平面垂直的概念；评价任务二：学生积极参与，通过影子实验，在动手操作、思考、归纳等一系列活动中完成探索.评价任务三：能够从正反例中，通过对比归纳出直线与平面垂直的定义，并用自己的语言描述定义内容.评价任务四：能够根据定义得到直线与平面垂直时，直线与平面内任意一条直线垂直的结论，并写出符号语言，了解定义的双向叙述功能.评价任务五：能够利用将无限转化为有限的思想，寻找判定直线与平面垂直的可能性假设. 评价任务六：能在实验操作中，确认直线与平面垂直的判定定理，能用自己的语言叙述出定理内容并写出相应的符号语言.评价任务七：能够用定义和判定定理解决空间位置关系的简单命题.三、教学问题诊断分析：1、学生已有基础：学生已经学习了两条直线互相垂直的位置关系，学习了直线、平面平行的判定及性质，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有了一定的几何直观能力、推理论证能力等，具备学习本节课所需的知识.2、学生面临的问题：高一学生仍保留着初中生许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维.认识到这点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程.因此我确定本节课的难点为：直线与平面垂直的定义的生成，操作确认直线与平面垂直的判定定理.因此，在教学过程中我抓住学生好奇心强，学习积极性较高的特点，我让学生以小组为单位进行合作，通过动手操作，观察、思考、归纳总结，发现直线与平面垂直时，直线与平面内的直线有怎样的位置关系；再通过操作，反向验证，当直线与平面内的直线具有上述位置关系时，能否得到直线与平面垂直，让学生在实验中自然生成直线与平面垂直的定义.在探究直线与平面垂直的判定定理时，让学生从寻找合理假设出发，通过操作验证假设的正确性，从而获得直线与平面垂直的判定定理.由于学生对这种用“有限”代替“无限”的过程，在形成理解上的可能会有思维障碍，所以强调关于定理的证明，会在后续学习中获得.四、教学策略分析：新课程标准明确指出：数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维.因此本节课在“目标导引教学”这一理念的指引下，主要采用的是引导发现教学法.教学中，我利用学生感兴趣的图片引出直线与平面垂直的形象，抽象出直线与平面垂直的概念.让学生在分析操作过程发现规律特点，从而自发地生成定义；接着让学生在实际应用中自觉提出判定直线与平面垂直是否有更简洁方便的方法，通过折纸活动，让学生在游戏中学习，在活动中获得知识.我设计了分组探究等实践活动，通过活动引导学生进行观察、思考、操作、归纳、应用，使学生始终处于积极、主动、有趣的学习状态中，深刻体会到了“做数学、学数学”的乐趣，最终达成了本节课的学习目标.五、课前准备：多媒体课件、三角形纸片（多种形状）、三角板、手电筒、彩色手环、笔（表直线）、纸（表平面）等.六、教学过程：验证跨栏的支架与地面是否垂直，七、教学设计说明：兴趣是最好的老师，它是学生主动学习、积极思考、勇于探索的强大内驱力.因此，本节课我在“目标导引教学”理念及“数学源于生活、又应用于生活”的理念的指引下，以激发学生的学习兴趣为出发点，设置了一系列的动手操作、自主探索的活动，引导学生通过感受、思考、交流、总结，真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有.课堂上加入了多种探究实验与动手操作活动，增加了学生学习的兴趣；加入了影子实验、折纸环节，使学生体会到了学数学的乐趣，达到了让教学生活化、让教学活动化、让教学趣味化的目的.符合新课标中“数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”的要求.此外，在整个教学过程中，“学生是学习的主体”这一理念，“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念都得到了充分的体现.总之，本节课的设计使学生的情感和能力都得到了一定的发展，成长过程和长期发展也得到了一定的关注，体现了新课程的要求.八、教学反思：本节课的设计从理解数学、理解学生、理解教学三个维度出发，对高中数学课程结构体系及本节课教学重点的知识进行了较为系统的分析；对学生学习本节课的难点进行了深入思考，并精心设计了重点、难点知识的教学解释；评估了学生的知识理解水平等方面，以达到教学设计的科学、完整和精细，具有一定的可操作性和调控性.本节课树立理解数学、理解学生、理解教学的观念来设计课堂教学，本质与核心是“以学生的发展为本”，这是时代发展的要求.这就要求教师在教学设计中，不仅要看到所教的学科知识，而且要看到相应的知识在学生发展中起什么作用；不仅要研究学生的发展规律，思考学习与发展的关系，而且要研究学生是如何学习的；不仅要以适合学生认知特点的方式传《直线与平面垂直（第一课时）》教学设计授数学知识，而且要在教学过程中时刻体现思想性，从而在提高学生在知识水平的同时，提高他们的素质，丰富他们的精神世界.点评这堂课给人的感觉是充满青春的朝气，一气呵成，如沐春风。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.3.1 直线与平面垂
探究一
探究二
探究三
探究四
探究二 线面垂直的判定定理与推论的应用
(1)平面内证明线线平行的四种方法: ①两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等或同旁内 角互补),则两直线平行. ②三角形中位线、梯形中位线的性质. ③平行四边形对边平行的性质. ④平行线分线段成比例定理.
探究一
探究二
探究三
思路分析:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段 的长.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:过 P 作 PO⊥平面 ABC 于点 O,连接 AO,BO,CO, 所以 PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC. 因为 PA=PB=PC=a,所以△PAO≌△PBO≌△PCO. 所以 OA=OB=OC,所以 O 为△ABC 的外心. 因为 PA,PB,PC 两两垂直,所以 AB=BC=CA= 2a, 所以△ABC 为正三角形,所以 OA= 33AB= 36a,
提示:(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求 证:α∥β.
证明:如图所示,设经过直线 AA'的两个平面 γ,δ 分别 与平面 α,β 相交于直线 b,b'和 a,a'.因为 AA'⊥α,AA'⊥β, 所以 AA'⊥a,AA'⊥a'.
AA',a,a'都在平面 δ 内,由平面几何知识:在同一平面 内,垂直于同一直线的两条直线平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究三 距离问题
求点到平面距离的基本步骤是:①找到或作出要求的距离;②使所求距 离在某一个三角形中;③在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.
探究一
高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂
的 任何直线都垂直 . 把直线AB画成和 AO：点A到平面α 我们就说这条直线 表示平面的平行 的垂线段 ；线段 和这个平面互相垂 四边形的一边垂 AO的长：点A到 直，记作______ AB⊥α 直 距离 平面α的____
那么它就和平面
内的 任意一条直
线垂直
知识点二
直线和平面垂直的判定定理及推论
跟踪训练 3
如图，△ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，
且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：
(1)DF∥平面ABC；
证明
(2)AF⊥BD. 证明 在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F为BE的中点，
∴AF⊥BE.
∵△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB，∴DF⊥AB.
解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面.
而②④图形中的两边不一定相交，
故该直线与它们所在的平面不一定垂直.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形 的第三边AB的位置关系是 A.平行 C.相交 B.垂直 √ D.不确定
则称这两条直线互相垂直.
(2)直线与平面垂直的定义及性质
定义及符号表示 如果一条直线(AB) 和一个平面(α)相交 于点O，并且和这 个平面内过交点(O) 图形语言及画法 有关名称 直线AB：平面α的 垂线；平面α：直 线AB的 垂面 ；点 O： 垂足 ；线段 重要结论
如果一条直线垂
直于一个平面，
l⊥α ⇒l∥m _____ m⊥α
[思考辨析 判断正误] 1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可 能平行.( × ) 2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.( × ) 3.若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( × )
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②作平行线．
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7
[化解疑难] 对于线面垂直的性质定理的理解
(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线 平行的另一种方法．
(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内 在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.
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8
平面与平面垂直的性质
[提出问题] 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直． 问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)． 问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．
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13
∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE＝D，CD，DE⊂平面CDE，∴AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.
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14
[类题通法] 1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明 时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从 结论出发逆推分析． 2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和 另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明 另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平 行四边形及三角形中位线的有关性质．
则PG⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD. ∵BG⊂平面ABCD， ∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形．
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20
则BG⊥AD. 又∵AD∩PG＝G，且AD，PG⊂平面PAD.∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD. 又∵BG，PG为平面PBG内两条相交直线，∴AD⊥平 面PBG. ∵PB⊂平面PBG， ∴AD⊥PB.
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16
∴CD∥AE. 又∵CD＝12AE. ∴FG∥CD，FG＝CD. ∵FG⊥平面ABC， ∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG. 又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC， ∴DF∥平面ABC.
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17
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点， ∴AF⊥BE. ∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB. 又∵DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE. 又∵AF⊂平面ABE.∴DF⊥AF. ∵BE∩DF＝F，∴AF⊥平面BDF. 又∵BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，
再转化为线线垂直．
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11
线面垂直性质定理的应用 [例1] 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：平面BCE⊥平面CDE.
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12
[证明] 取CE的中点G，连接FG，BG，AF. ∵F为CD的中点，∴GF∥DE，且GF＝12DE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE.则GF∥AB. 又∵AB＝12DE，∴GF＝AB. 则四边形GFAB为平行四边形．于是AF∥BG.
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4
直线与平面垂直的性质
[提出问题] 世界上的高楼大厦太多了：中 国台北的国际金融中心大厦高508米 (含天线)，马来西亚吉隆坡的国家石 油双子星座大厦高451.9米，中国广 州的中信广场大厦高391米(如右图)
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5
问题1：中信广场大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地 面有何位置关系？
提示：垂直． 问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？ 提示：平行．
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6
[导入新知] 直线与平面垂直的性质定理
(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线_平__行___． (2)图形语言：
(3)符号语言： ____ab__⊥⊥____αα_____⇒a∥b. (4)作用：
①线面垂直⇒线线平行；
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15
[活学活用] 1. 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且
AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平 面ABC； (2)AF⊥BD. 证明：(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可 得FG∥AE，FG＝12AE. ∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
第
1 部 分
第 二 章
Байду номын сангаас
2.3
2.3. 3& 2.3.4
第一 课时
理解教材新知
知识点一 知识点二
突破 常考 题型
题型一 题型二 题型三
跨越高分障碍 应用落实体验
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随堂即时演练 课时达标检测
1
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2
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3
2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的 性质
第一课时 直线与平面、平面与平面垂直的性质 (新授课)
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9
[导入新知]
平面与平面垂直的性质定理
(1)文字语言： 两个平面垂直，则__一__个__平__面__内___垂直于_交__线__的直线与 另一个平面__垂__直___．
(2)图形语言：
(3)符号语言：
__α_⊥__β__
__α_∩__β_＝_l_____ ___a_⊂__α____
⇒a⊥β.
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面面垂直的性质的应用 [例2] 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点， 四边形ABCD是∠DAB＝60°，且边长为a的菱形．侧面PAD为 正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
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[证明] (1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD 的中点，
__a_⊥__l____
(4)作用： ①面面垂直⇒_线__面__垂直； ②作面的垂线．
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10
[化解疑难]
对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直．
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明
线面垂直．
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[类题通法] 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理， 另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂 直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质 定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个 平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂 直于它们的交线．