2019高考江苏数学优编增分练：高考填空题分项练7直线与圆

高考填空题分项练7直线与圆
1．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m ＝________。

答案1
解析因为两直线互相垂直，
所以1×2＋（－2）×m＝0⇒m＝1。

2．圆心坐标为（2，－1）的圆截直线x－y－1＝0所得的弦长为2错误!，则此圆的方程为________．
答案（x－2)2＋（y＋1)2＝4
解析圆心到直线的距离d＝错误!＝错误!，
由于弦心距d，半径r及弦长的一半构成直角三角形,
所以r2＝d2＋(错误!）2＝4，
所以所求圆的方程为(x－2)2＋（y＋1)2＝4.
3．已知两点A(3，0)，B（0,4），动点P(x，y)在线段AB上运动,则xy的最大值是________．
答案3
解析AB线段的方程为错误!＋错误!＝1（0≤x≤3），
则x＝3错误!，xy＝错误!＝错误!,
所以当y＝2，即x＝错误!时,（xy)max＝3。

4．直线l1：x－y＋1＝0关于点P(1,1）对称的直线l2的方程为
________．
答案x－y－1＝0
解析方法一设点M(x,y)是直线l2上的任意一点，
点M关于点P（1，1）的对称点为N,
则点N的坐标为（2－x,2－y)．
∵直线l1与l2关于点P（1，1)对称，
∴点N（2－x,2－y）在直线l1上，
∴（2－x）－(2－y）＋1＝0，即x－y－1＝0。

∴直线l2的方程为x－y－1＝0.
方法二∵点P不在直线l1上，所以l2∥l1,
设l2的方程为x－y＋c＝0，在l1上取点A(－1，0），
则点A关于点P的对称点A′（3，2）在直线l2上,
∴3－2＋c＝0，即c＝－1，
∴直线l2的方程为x－y－1＝0.
5．（2018·镇江期末）已知圆C与圆M:x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6），则圆C的标准方程为________________．答案(x＋3）2＋(y＋3)2＝18
解析设圆C的标准方程为（x－a)2＋（y－b)2＝r2，其圆心为C(a,b），半径为r(r〉0），
∵圆M：x2＋y2＋10x＋10y＝0可化简为(x＋5）2＋（y＋5)2＝50，∴其圆心M（－5，－5），半径为5错误!，
将A（0,－6)代入（x＋5）2＋（y＋5)2＝26<50，
∴A点在圆M：(x＋5)2＋（y＋5）2＝50的内部，
∴两圆内切于原点O，
∵圆C过点（0,－6)，
∴错误!
解得a＝－3，b＝－3，r＝3错误!，
∴圆C的标准方程为(x＋3）2＋（y＋3）2＝18.
6．（2018·全国大联考江苏卷）在平面直角坐标系xOy中,若直线y ＝错误!x＋m上存在一点A,圆C：x2＋(y－2）2＝4上存在一点B,满足错误!＝4错误!，则实数m的取值范围为________．
答案［8－4错误!，8＋4错误!］
解析设点B(x0，y0)，
因为错误!＝4错误!，
所以点A（4x0，4y0），
因为点A在直线y＝错误!x＋m上，
所以4y0＝2x0＋m,
而点B(x0，y0）在圆C上，
所以x20＋(y0－2）2＝4，
由题意关于x0，y0的方程组错误!有解，
消去x0，整理得5y错误!－（4＋2m）y0＋错误!＝0,
所以Δ＝－m2＋16m＋16≥0，
解得实数m的取值范围为[8－4错误!，8＋4错误!］．
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a〉0）的公共弦长为2错误!，则a＝________。

答案1
解析如图，设两圆的公共弦为AB,AB交y轴于点C，连结OA,则OA＝2.
把x2＋y2＝4与x2＋y2＋2ay－6＝0相减，得2ay＝2，
即y＝错误!为公共弦AB所在直线的方程，所以OC＝错误!.
因为AB＝2错误!,所以AC＝错误!,
在Rt△AOC中,OC2＝OA2－AC2，即错误!＝4－3＝1，
又因为a〉0，所以a＝1.
8．已知点A(4，－3）与点B(2，－1）关于直线l对称，在l上有一点P，使点P到直线4x＋3y－2＝0的距离等于2,则点P的坐标是________．
答案（1，－4）或错误!
解析由题意知线段AB的中点为C（3，－2),k AB＝－1，
故直线l的方程为y＋2＝x－3，即y＝x－5.
设P(x，x－5),则2＝错误!,解得x＝1或x＝错误!.
即点P的坐标是(1，－4)或错误!。

9．已知直线l过点P(1,2）且与圆C：x2＋y2＝2相交于A，B两点，△ABC的面积为1，则直线l的方程为____________________．
答案x－1＝0或3x－4y＋5＝0
解析由S△ABC＝错误!×错误!×错误!×sin∠ACB＝1，
得sin∠ACB＝1，所以∠ACB＝90°,
若直线l的斜率存在，则点C（0,0）到直线l的距离为1，
设直线l的方程为y－2＝k(x－1），利用距离公式可得k＝错误!,此时直线l的方程为3x－4y＋5＝0.
当k不存在时,x－1＝0满足题意．
综上,直线l的方程为x－1＝0或3x－4y＋5＝0.
10．已知经过点P错误!的两个圆C1,C2都与直线l1：y＝错误!x，l2：y ＝2x相切，则这两圆的圆心距C1C2＝________。

答案错误!
解析假设圆心所在直线为y＝kx，则
直线上点(1，k）到l1，l2的距离相等,
即错误!＝错误!，解得k＝1（－1舍去)．
故假设圆C1：(a－1）2＋错误!2＝错误!,
圆C2：(b－1)2＋错误!2＝错误!，
即圆C1:36a2－100a＋65＝0,
圆C2：36b2－100b＋65＝0。

∴a＋b＝错误!，ab＝错误!，
∴C1C2＝错误!＝错误!。

11．已知点P在直线l：y＝x＋1上,过点P作圆C:x2＋y2－2x＋4y －4＝0的切线，切点分别是A,B，AB的中点为Q，若点Q到直线l的距离为错误!，则点Q的坐标是________．
答案错误!或错误!
解析圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为
（x－1）2＋(y＋2)2＝9.
设P(a，a＋1)，则P，A,C,B四点共圆，
该圆以PC为直径，
方程为（x－a)(x－1)＋（y－a－1)(y＋2)＝0，
即x2＋y2－(a＋1)x＋（1－a）y－a－2＝0，
与圆C的方程相减得，
弦AB所在直线的方程为(a－1)x＋(a＋3)y＋a－2＝0，
即a（x＋y＋1)－x＋3y－2＝0,
该直线恒过直线x＋y＋1＝0与－x＋3y－2＝0的交点M错误!。

又由圆的几何性质可得CQ⊥QM，
则点Q在以CM为直径的圆上，
圆心是CM的中点N错误!,
半径为错误!CM＝错误!错误!＝错误!,
点N到直线l：y＝x＋1的距离为错误!,
由点Q到直线l的距离为错误!，
易知直线NQ与l平行，
此时直线NQ的方程为y＝x－错误!，
Q为直线NQ与圆N的交点,
联立y＝x－错误!与错误!2＋错误!2＝错误!,
得Q的坐标为错误!或错误!.
12．已知线段AB的长为2,动点C满足错误!·错误!＝λ(λ>－1),且点C总不在以点B为圆心,错误!为半径的圆内,则实数λ的最大值是________．
答案－错误!
解析建立平面直角坐标系（图略），B(0，0），A(2，0），
设C(x，y）,则错误!·错误!＝x(x－2）＋y2＝λ，
则(x－1）2＋y2＝λ＋1，
点C的轨迹是以(1,0)为圆心，错误!为半径的圆且与x2＋y2＝错误!外离或外切．
所以0<错误!≤错误!，解得－1〈λ≤－错误!，
所以λ的最大值为－错误!.
13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2＋y2＝1，O1:（x－4)2＋y2＝4,动点P在直线x＋错误!y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A,B，若满足PB＝2P A的P点有且只有两个，则实数b的取值范围是________．
答案错误!
解析设P点坐标为(x，y），
∵PB＝2P A，∴PB2＝4P A2，
即（x－4)2＋y2－4＝4(x2＋y2－1)，
整理得3x2＋3y2＋8x－16＝0.
方法一该方程表示一个圆，圆心错误!，r＝错误!。

∵P点有且只有两个,∴直线和此圆相交，
故错误!〈错误!，解得b∈错误!.
方法二∵P点在直线x＋错误!y－b＝0上,
∴错误!y＝－x＋b，代入3x2＋3y2＋8x－16＝0，
得4x2＋(8－2b)x＋b2－16＝0。

∵P 点有且只有两个，∴方程有两个不相等的实数根，
即Δ〉0，整理得3b 2＋8b －80<0,∴b ∈错误!。

14．（2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ,B ,其中A 在B 的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段AC 的中点，则直线l 的方程为____________． 答案 x ＋2y －4＝0
解析 由题意得圆M 的方程为(x －3)2＋（y －2）2＝5,
令y ＝0,得x ＝2或x ＝4，所以A (4，0)，B （2,0）．
则圆N 的方程为（x －3）2＋y 2＝1，
由题意得直线l 斜率存在,所以设直线l :y ＝k (x －4)．
联立直线l 的方程和圆M 的方程并消去y ，
得（1＋k 2)x 2－（8k 2＋4k ＋6）x ＋16k 2＋16k ＋8＝0，
所以4＋x C ＝错误!,①
联立错误!
得（1＋k 2）x 2－(8k 2＋6）x ＋16k 2＋8＝0，
所以4＋x D ＝8k 2＋61＋k 2，②
因为x C ＋4＝2x D ，③
解①②③得k ＝－错误!。

所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.
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