高考数学命题角度4.2空间几何体体积与距离问题大题狂练文(2021学年)

２０1８年高考数学命题角度4.２空间几何体体积与距离问题大题狂练文
编辑整理:
尊敬的读者朋友们:
这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(2018年高考数学命题角度 4.２空间几何体体积与距离问题大题狂练文)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为201８年高考数学命题角度4.2 空间几何体体积与距离问题大题狂练文的全部内容。

命题角度4。

2：空间几何体体积与距离问题
1．如图, ABCD 是边长为a 的正方形, EB ⊥平面ABCD ， FD ⊥平面ABCD ， 22EB FD a ==。

（Ⅰ）求证： EF AC ⊥； (Ⅱ)求三棱锥E FAC -的体积. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
324
a . 【解析】试题分析:(Ⅰ)先证明AC FD ⊥,结合AC BD ⊥，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BDEF ，从而可得结论；（Ⅱ）先根据勾股定理求底面三角形的三边的长，进而根据其特性求底面三角形的面积,再根据棱锥的体积公式求解即可。

(Ⅱ)设AC BD O ⋂=，连接EO , FO 。

由(Ⅰ)知, AC ⊥平面BDFE , 所以AC ⊥平面FEO ．
因为平面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -, 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+。

因为正方形ABCD 的边长为a , 22EB FD a ==, 所以22FO FD OD a =+=, 2210
2
EO EB OB a =+=。

取BE 的中点G ，连接DG ，则FE DG == 22102
DB BG a +=
. 所以等腰三角形FEO 的面积为2
2
1101222FEO S a a a ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 234a =。

所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+ 11
33
FEO FEO S AO S CO =⨯+⨯
1
3FEO
S AC =⨯ 213234a a =⨯⨯= 3
24
a . 所以三棱锥E FAC -的体积为
3
24
a 。

2. 如图,在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形, //AD BC ， 90ADC ∠=︒,平面
PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 的中点， M 是棱PC 上的点, PA PD =, 1
2
BC AD =
（Ⅰ)求证：平面PQB ⊥平面PAD ;
(Ⅱ)若三棱锥A BMQ -的体积是四棱锥P ABCD -体积的1
6
,设PM tMC =,试确定t 的值． 【答案】(Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 1t =.
【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =, QB AD ⊥可证得BQ ⊥平面PAD ,进而平面PQB ⊥平面PAD ;
(Ⅱ)(Ⅱ）由PA PD =， Q 为AD 的中点,可得PQ AD ⊥.由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PQ ⊥平面ABCD ．设PQ h =,梯形ABCD 面积为S ,则S △AB Ｑ=
13S , 1
3
P ABCD V Sh -=,利用A BQM M ABQ V V --=即可求得。

（Ⅱ）∵PA PD =, Q 为AD 的中点,∴PQ AD ⊥,
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⊥平面ABCD AD =,
∴PQ ⊥平面ABCD ．
设PQ h =,梯形ABCD 面积为S ,则三角形ABQ 的面积为13
S ，
1
3
P ABCD V Sh -=
. 又设M 到平面ABC 的距离为'h ,则11'33
A BQM M ABQ V V Sh --==⋅，
根据题意1111'3363
Sh Sh ⋅=⋅,∴1
'2
h h =，
故'1
2
MC h PC h ==, M 为PC 中点，所以1t =.
3。

如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直, FD ⊥平面ABCD ,且2AB =, 3FD =。

(１）求证： //EF 平面ABCD ; (２)若3
CBA π
∠=
,求几何体EFABCD 的体积。

【答案】(1)见解析;(2)３。

【解析】试题分析:(1)过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ,可证四边形EHDF 为平行四边形,可得EF HD ，根据线面平行的判定定理即可证明//EF 平面ABCD ;（2)若60CBA ∠=,利用分割法，将几何体EFABCD 分成两个棱锥,结合棱锥的体积公式即可求几何体EFABCD 的体积。

∴EH ⊥平面ABCD .
又∵FD ⊥平面ABCD , 3FD =，∴FD EH =
⊂.
∴四边形EHDF 为平行四边形，∴EF HD . ∵
平面 ABCD ， HD ⊄平面ABCD ，∴EF 平面ABCD 。

(2)连接,,CF HA BF ，由题意得ABC ∆为正三角形,∴HA BC ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面
，平面
，平面
平面
,
平面
.∵
，
平面 P ABCD -， ABCD 平面22AB =，∴2BC =平面P ,
同理,由AC 可证E 平面F ，
∵,AB BC , DE ⊥平面PAC , PC 平面M , ∴平面FM ∥平面PDE ，∴PM
PC
到平面的距离等于的长.
∵
为四棱锥
的高，
∴。

4。

如图所示的几何体P ABCD -中,四边形ABCD 为菱形， 120ABC ∠=︒, AB a =， 3PB a =，
PB AB ⊥,平面ABCD ⊥平面PAB ， AC BD O ⋂=, E 为PD 的中点， G 为平面PAB 内任一点.
(1)在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使OE l ?如果不存在,请说明理由,如果存在，请说明作法；
(2）过A , C , E 三点的平面将几何体P ABCD -截去三棱锥D AEC -,求剩余几何体AECBP 的体积。

【答案】(1）见解析;（２)338
a 。

【解析】试题分析：
（１）利用线面平行的判断定理结合题意可知点G 存在;
(２)利用题意将所要求解的多面体的体积进行分解可得几何体AECBP 的体积
33
8
P ABCD D EAC V V V a --=-=三棱锥。

(2)连接EA , EC ,则平面ACE 将几何体分成两部分： 三棱锥D AEC -与几何体AECBP （如图所示)。

因为平面ABCD ⊥平面PAB ,且交线为AB ， 又PB AB ⊥，所以PB ⊥平面ABCD 。

故PB 为几何体P ABCD -的高。

又四边形ABCD 为菱形, 120ABC ∠=︒, AB a =， 3PB a =, 所以2ABCD S =⨯四边形
223342
a a =, 所以13P ABCD ABCD V S PB -=⋅=四边形 23131
3322
a a a ⨯⨯=．
又1
2
OE
PB ，所以OE ⊥平面ACD ,
所以D AEC E ACD V V --==三棱锥三棱锥 1
3
ACD S
EO ⋅= 3
1148
P ABCD
V a -=, 所以几何体AECBP 的体积P ABCD D EAC V V V --=-=三棱锥 333113
288
a a a -=.
5. 在三棱柱111ABC A B C -中， 2AC BC ==, 120ACB ∠=︒， D 为11A B 的中点．
(1)证明: 1//AC 平面1BC D ；
(2)若11A A AC =,点1A 在平面
ABC 的射影在AC 上,且侧面11A ABB 2311A BC D -的体积。

【答案】（1）见解析；（2)1
4。

【解析】试题分析:(1)连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE .利用中点可得1//DE AC ,所以1//AC 平
面1BC D 。

（2）取AC 中点O ,连接1AO ,过点
O 作OF AB ⊥于F ,连接1A F ,利用等腰三角形和射影的概念可知1AO ⊥平面ABC ,所以1AO AB ⊥,所以AB ⊥平面1AOF ，所以1AB A F ⊥。

利用侧面11A ABB 的面积可计算得三棱锥的高,由此可计算得三棱锥的体积。

试题解析:
（1)证明：连接1B C 交1BC 于点E ，连接DE ．
则E 为1B C 的中点,又D 为11A B 的中点，所以1//DE AC ，且DE ⊂平面1BC D , 1AC ⊄平面1BC D ，则1//AC 平面1BC D .
（2)解：取AC 的中点O ，连接1AO ,过点
O 作OF AB ⊥于点F ,连接1A F 。

因为点1A 在平面ABC 的射影O 在AC 上,且11A A AC =,
所以1AO ⊥平面ABC ，∴1AO AB ⊥, 1AO OF O ⋂=,∴AB ⊥平面1
AOF , 则1A F AB ⊥.
设1
AO h =，在ABC ∆中, 2AC BC ==, 120ACB ∠=︒，
∴23AB =， 1
2OF =
, 2114
A F h =+， 由112123234
A AB
B S h =
+⨯=,可得1
3
2AO h ==. 则1111A BC D B AC D
V V --= 11
11
3
BA C D A O S =⨯⨯ 131123222
=⨯⨯⨯⨯ 12sin1204⨯⨯︒=.
所以三棱锥11A BC D -的体积为14
.
6。

如图,四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形， //,223,AB CD AB DC AC BD F ==⋂=,且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，
G 为PAD ∆的重心。

(1）求证： //GF 平面PDC ; (2）求点G 到平面PCD 的距离. 【答案】（1）见解析(2)
25
5
【解析】【试题分析】（1)可直接运用线面平行的判定定理推证;(２)借助三棱锥可换底的特征，运用三棱锥的体积公式建立方程求解：
解:(1)连接AG 并延长交PD 于H ,连接CH 。

由梯形,//ABCD AB CD 且2AB DC =，知2
1
AF FC =,又G 为PAD ∆的重心21AG GH ∴
=AHC ∆中2
1
AG AF GH FC ==故//GF HC .又HC ⊂平面,PCD GF ⊄平面,//PCD GF ∴平面PDC ．
1360,sin 22CDF CDF ABD S CD DF BDC ∆∠=∠=∴=⨯⨯⨯∠=
,得13
32
P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=, 所以三棱锥G PCD -的体积为
3
2
.又
2223,,3,323
CD DE CDE CE PC PE EC π
==∠=
∴==+=。

在PCD ∆中， 31218115115315
cos ,sin ,32322344244
PDC PDC PDC S ∆+-∠=
=-∠==⨯⨯⨯=
⨯⨯，故点G 到平面PCD 的距离为33
3425
225315154
=⨯=。

7。

如图,在四棱锥P ABCD -中， 1
22
PC AD CD AB ===
=, //AB DC , AD CD ⊥, PC ⊥平面ABCD 。

（1）求证: BC ⊥平面PAC ;
（2)若M 为线段PA 的中点,且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由;并求三棱锥A CMN -的高。

【答案】(1)详见解析(2）2
【解析】试题分析:(1）先分别利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（２）利用三角形的中位线证明线线平行,进而通过四点共面确定点N 的位置,再利用等体积法进行求解.
因为BC ⊥平面PAC ， N 为PB 的中点，所以N 到平面PAC 的距离1
22
d BC ==. 又Δ1
1122
22
ACM ACP S S AC PC ∆==⨯⨯⨯=,所以12223
3
N ACM V -=⨯⨯=
． 由题意可知,在直角三角形PCA 中, 2223PA AC PC =+=, 3CM =, 在直角三角形PCB 中， 2223PB BC PC =+=， 3CN =,所以2CMN S ∆=。

设三棱锥A CMN -的高为h ， 12
23
3
N ACM A CMN V V h --==⨯⨯=，解得: 2h =, 故三棱锥A CMN -的高为2。

８.如图，边长为2的正方形ABFC 和高为２的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直,
AF BC O ⋂=, 2DE =, //ED AF 且90DAF ∠=。

（１)求证： DE ⊥平面BCE ；
（２）过O 作OH ⊥平面BEF ,垂足为H ,求三棱锥A BCH -的体积. 【答案】（1）见解析;（2）
4
15。

【解析】试题分析:(１)因为//DE AF ，通过证明AF ⊥平面BCE ,可证得DE ⊥平面BCE 。

(2)利用等体积法A BCH H ABC V V --=可求体积。

试题解析:（1）证明22AF =2DE =//
DE AO =,∴四边形DEOA 为平行四边形,∴//DA EO ，
∵平面DAFE ⊥平面ABFC ，且平面DAFE ⋂平面ABFC AF =,
90DAF ∠=,∴DA ⊥平面ABFC ,∴EO ⊥平面ABFC ，
∵AF ⊂平面ABFC ,∴EO AF ⊥。

在正方形ABFC 中，
}AF BC
AF EO BC O
⊥⇒⊥⋂=平面BCE ,
∵//DE AF ,∴DE ⊥平面BCE 。

(2）解：取BF 的中点G ,连接OG ，则OG BF ⊥，连接EG ，过O 作OM EG ⊥于M ， ∵EO ⊥平面BOF ,∴EO BF ⊥，∴BF ⊥平面EOG ，∴BF OM ⊥，∴OM ⊥平面BEF ，∴H 与
M 重合.
在Rt EOG ∆中， 2EO =, 1OG =, 5EG =,由2OG HG EG =⨯,得5
5
HG =
，∴15HG EG =.
过H 作HK OG ⊥，垂足为K ，易证HK ⊥平面ABF ,交OG 于K ，则//HK EO , 且1
25
5
HK EO ==
.
∴12142235215
A BCH H ABC V V --==⨯⨯⨯⨯=。

9。

如图,在各棱长为4的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面
ABCD 为棱形, 060,BAD E ∠=为棱1BB 上一点,且13.BE EB =
（1）求证:平面ACE ⊥平面11BDD B ;
（2)平面1AED 将四棱柱1111ABCD A BC D -分成上、下两部分，求这两部分的体积之比。

（棱台的体积公式为()
1
3
V S SS S h =
++'',其中,S S '分别为上、下底面面积, h 为棱台的高） 【答案】（1)证明见解析;(2）7
25。

【解析】试题分析：(１）利用直线垂直平面的判定及面面垂直的判定定理，分析出AC ⊥平面11,BDD B 又AC ⊂平面,ACE ∴平面ACE ⊥平面11,BDD B （２）平面分割出一个三棱台，先求其
体积，再用总的体积减去此三棱台体积,即可得到下面部分的体积. 试题解析：（1)证明: 底面ABCD 为菱形， ,AC BD ∴⊥ 在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 1BB ⊥底面1,.ABCD BB AC ∴⊥ 1,BB BD B AC ⋂=∴⊥平面11,BDD B
又AC ⊂平面,ACE ∴平面ACE ⊥平面11,BDD B
（2）解：连接1BC ，过E 作1//EF BC 交1BC 于F ，则11,B F =
则平面1AED 与侧面11BCC B 相交的线段为.EF
故平面1AED 将四棱柱1111ABCD A BC D -分成上、下两部分中的上部分由三棱台111B EF A AD -组成,
取11A D 的中点G ,连接1.B G
底面ABCD 为菱形， 060,BAD ∠=
ABD ∴∆为正三角形,即111A B D ∆也为正三角形， 111.B G A D ∴⊥
又1AA ⊥底面1111111111.,,A B C D AA B G A D AA A ∴⊥⋂=
1B G ∴⊥平面1111111
,,8,23,2
B EF AA D AA D S S B G ∆∆===
111B EF A AD V V -∴=上 11282373,32⎛⎫
=++⨯= ⎪⎝⎭
又四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为323,V ∴下 323V =-上 7
253,,25
V V =∴
=上下
1０。

如图，四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形， //,AB CD BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ， 22,,SC CD SD AD AB M N =====分别为,SA SB 的中点, E 为CD 的中点，过,M N 作平面MNPQ 分别与交,BC AD 于点,P Q .
（Ⅰ)当Q 为AD 中点时,求证:平面SAE ⊥平面MNPQ ; (Ⅱ)当3AQ QD =时，求三棱锥Q BCN -的体积.
【答案】(１)见解析（２)
7 16
【解析】试题分析：(Ⅰ）要证明面面垂直,即证明线面垂直,根据条件可知//
PQ DC，根据条
件易证明,
DC SE DC AE
⊥⊥,那么{PQ AE
PQ SE
⊥
⊥
，所以PQ⊥平面SAE,就证明了面面垂直;(Ⅱ）根
据等体积转化
1
2
Q BCN N BCQ S BCQ
V V V
---
==．
试题解析：
解：(Ⅰ）E为CD中点,所以四边形ABCE为矩形,所以AE CD
⊥当
1
2
λ=时，Q为AD中点,
//
PQ CD所以PQ AE
⊥
因为平面SCD⊥平面ABCD，SE CD
⊥，所以ABCD
SE⊥面
因为PQ在面ABCD上，所以PQ SE
⊥所以PQ⊥面SAE
所以面MNPQ⊥面SAE
∵,M N 为中点 ∴//MN AB ∴//AB MNPQ 面 又∵平面MNPQ ∩平面ABCD PQ = ∴//AB PQ , 又
13
,,22
BCQ AB BC PQ BC S BC PQ PQ ∆⊥∴⊥∴=⋅⋅=
∴1
111
2
23
4
Q BCN N BCQ S BCQ BCQ V V V S h PQ ---∆===⋅⋅⋅=
如图，在梯形ABCD 中， 1GD =,
373
1,444
FQ AQ FQ PQ AB GD AD ==⇒=-=-= ∴37144PQ PF FQ =+=+=， ∴ 17
416
Q BCN V PQ -==
所以三棱锥Q BCN -的体积7
16
.
以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。

高尔基说过:“书是人类进步的阶梯。

”我希望各位朋友能借助这个阶梯不断进步。

物质生活极大丰富，科学技术飞速发展，这一切逐渐改变了人们的学习和休闲的方式。

很多人已经不再如饥似渴地追逐一篇文档了，但只要你依然有着这样一份小小的坚持,你就会不断成长进步,当纷繁复杂的世界牵引着我们疲于向外追逐的时候，阅读一文或者做一道题却让我们静下心来,
回归自我。

用学习来激活我们的想象力和思维，建立我们的信仰，从而保有我们纯粹的精神世界,抵御外部世界的袭扰。

The ａbove iｓ tｈe whoｌｅ cｏnteｎt of thｉs ａrtiｃle, Gorｋy said: "ｔｈｅ booｋ is ｔｈe ladder of huｍan pｒogｒess.＂Ｉｈｏｐe ｙou can ｍaｋe ｐrogｒｅss witｈ the ｈelｐof this ｌａdder. Ｍaterial
lifｅ is ｅxtreｍelｙrich, sciencｅａnd ｔeｃhｎｏｌogｙ aｒe deveｌoping ｒapidly， all of whiｃh graｄuaｌlｙchａｎge ｔhe ｗay ｏf pｅｏplｅ'ｓｓtudy aｎd ｌeisuｒe．Many pｅople aｒe nｏｌonｇer eａg ｅｒ to ｐuｒsｕe a ｄｏcｕmeｎt, bｕt as long ａs yoｕ stｉlｌｈaｖｅｓuch ａ smaｌl persisteｎce，ｙou wilｌｃontinuｅ to groｗ and pｒogr ｅss． Wｈen ｔhe comｐlex woｒｌｄ leadｓ uｓ to chase ouｔ， rｅaｄｉng ａn ａrtｉcle or doｉnｇ a pｒoｂｌem ｍakes us calｍｄown ａnｄｒｅｔｕrn ｔo oｕrsｅlvｅs. Ｗith lｅａrnｉng, we ｃan acｔiｖａｔｅour iｍａginatiｏn and tｈinkiｎg， eｓｔablish oｕｒ bｅlieｆ, ｋeep ou ｒpure sｐiritual woｒld ａｎd resｉｓｔ the ａｔtack of the ｅxｔerna ｌｗorｌd.。