九年级数学实数的复习人教版知识精讲

九年级数学实数的复习人教版知识精讲
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 实数的复习
学习目标：
1. 了解数集概念及实数在代数部分所体现的基础性与重要性，会用数轴。

2. 巩固实数概念，平方根的广泛应用，正确使用科学记数法、近似数及有效数字。

3. 实数范围内，掌握多则运算，因式分解受数集大小的影响。

二. 重点、难点 1. 实数及其分类
①实数有理数整数正整数零负整数分数正分数负分数无理数⎧⎨⎪⎩
⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪
⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎪ ②实数正数正有理数正无理数零负数负有理数负无理数⎧⎨
⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
③小数（即实数）有限小数
无限小数无限循环小数无限不循环小数即无理数即分数有理数()()⎧⎨⎩⎧⎨⎪
⎩
⎪
⎫⎬⎭
④无理数不可化成分数。

无理数有两种形式，一种类似于π的形式，另一种开不尽的数。

2. 数轴：是初中阶段数形结合的基础。

①三要素：原点、正方向、单位长度 ②实数与数轴上的点一一对应 ③距离公式|-a b |
3. 相反数
①a 的相反数是-a ，0的相反数是0，成对出现； ②a b +=⇔0a ，b 互为相反数
③数轴上看，分居在原点两边，到原点距离相等
4. 倒数
①非零数a 的倒数是
1
a
，0没有倒数，也成对出现，±1的倒数是它本身； ②ab =⇔1a ，b 互为倒数； ③数轴上看“三点四段”
a a <
1 a a >1
a a <1 a a
>1
-1 0 1
④实数范围内认识倒数 5和
15，-114和-47
，65+和65-，34和34-，tan 30 和cot 30 5和
5
5
⑤负倒数
5. 绝对值||a ≥0非负数
①||a a a a a a =>=-<⎧⎨⎪
⎩
⎪0000
②数轴上看，a 的绝对值就是数a 所表示点到原点的距离。

③性质： <1>||a ≥0 <2>-≤≤||||a a a
<3>||||a a =-且||||b a a b -=-
<4>||||||ab a b =，特别地||||a a a 2
2
2
== <5>||||||
a b a b =
6. 实数比大小 ①利用数轴；
②利用绝对值比负数大小；
③利用差a b a b a b a b ->⇔>=⇔=<⇔<⎧⎨⎪
⎩
⎪000
④利用商比两正数大小 a>0 b>0
a b a b a b a b
>⇔>=⇔=<⇔<⎧⎨⎪
⎩⎪
111
⑤利用平方比两正数大小 a>0 b>0 a b a b 22
>⇔> ⑥利用被开方数 a b a b n n >⇔>
⑦利用幂的性质比幂的大小或数的大小 a b a b a a m n n n
m n >⇔>>⇔>
7. 平方根
①x a x 2
=⇒叫a 的平方根，记作±≥a a ，0；
②正数有两个平方根a 算术平方根和-a 负的平方根；0的平方根是0；负数没有平方根；
③算术平方根a ≥0非负数；
④()()||a a a a a 22
0=≥=；
8. 立方根
9. 非负数，正数和零统称非负数 ①||a a R a
a R n
≥∈≥∈002，；，；a a n ≥≥00，三种非负数
②非负数之和仍为非负数，特别地，分别为零时和为零； ③非负数之积为非负数，特别地，至少有一个为零时积为零；
10. 完全平方数
如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，那么这个正数叫完全平方数，0也是完全平方数。

11. 科学记数法
N a n
=±⨯10中110≤<a ，n 整数，当N>1时，n 等于N 的整数位数减1，当01<<N 时，n 为负整数。

||n 等于N 的第一个非零数前零的个数和（包括小数点前面的零）。

12. 近似数：近似地表示某个量准确值的数 ①四舍五入到哪位，就精确到哪位； ②有效数字。

13. 实数运算 ①运算法则： a b b a +=+
()()a b c a b c ++=++ ab ba = ()()ab c a bc = ()a b c ac bc +=+
②实数运算顺序
有括号时先算括号里的，没括号时，先乘方开方，再乘除，最后加减。

③无理数，二次根式运算，利用近似值； ④锐角三角函数值的有关计算； ⑤生活中的应用，统计中运算。

【典型例题】
例1. 计算 1.
123
6020011
201----+-tan ()()
2. ()()()1
3
2001221161
21
102--++-⨯+
- 3. ()||()()---
+⨯--21213
133
2
0 解析：（1）根据分母有理化的法则，得
1
23
23-=+；tan603 =，根据零指数
的意义（a ≠0时，a 01=）可得()-=200110
；由负整数指数的意义可得()12
21-=。

（2）类似可得()
1
3
31
-=，()200121+=0，
()-=242，1161
4=，
121
21-=+
（3）根据乘方的意义可得()-=-283；根据绝对值的意义得||-=121
2
；根据负整数指数幂的意义（若m 、n 为整数，p 为正整数），则(
)()()n m
n m
m
n
p p p -=
1
=可得()133922-==
解：（1）原式=+--+=233123
（2）原式=-+⨯++=+3141
42142 （3）原式=--+⨯=812911
2
例2. （1）当01<<x 时，x 2
、x 、1
x
的大小顺序是（ ） A.
12x x x << B. 1
2x
x x << C. x x x 21<< D. x x x
<<2
1
2. 将()16
1-，()-20，()-32
这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（ ）
A. ()()()-<<--216
3012
B. ()()()16
23102
-<-<-
C. ()()()-<-<-321620
1
D. ()()()-<-<-2316
02
1
解析：本题主要考查实数大小的比较，实数大小比较的方法有多种，下面给出此题的两种解法。

解法1：（比差法） 0101010<<∴1->-<+>x x x x ，，， ∴-=->x x x x 2
10() ∴>x x 2
又x x x x x x x
-=
-=+-<111102()()
∴<
x x 1，∴<<x x x
2
1 解法2：（特殊值法） 01<<x ，∴取x =
1
2
则有
12x =，x 214= 于是由14122<<，可知x x x
2
1<<
解：1. C ；2. A
例3. 观察下列各式及其验证过程 2
2322
3
=+验证： 22
3
23222
3221221
22
33
322=
=-+=-+-=+()() 3
3833
8
=+验证： 33
8
38333
8331331
33
83
322=
=-+=-+-=+()() （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
4
15
的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为任意自然数，且n ≥2）表示的等式，并给出证明。

解析：（1）4
41544
15
=+ 验证：441541544415441441
44
153322
==-+=-+-=+()() （2）由题设及（1）的验证结果，可猜想对任意自然数n （n ≥2）都有： n
n n n n
n 22
11
-=+- 证明： n n n n n n n n n n n n n n n
n 23232222
111111
-=-=-+-=-+-=+-() ∴-=+-n n n n n
n 22
11
例4. 在3.14，71-，()320-，π
2
，-cos30 ，tan 45
，
22
7
，08080080008.
（数字8后面“0”的个数逐次多一个），51
-，4中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 解析：根据有理数和无理数定义，可知：3.14、()320-、tan 45
、227
、51
-、4都是有理数；71-、π2
、-cos30
、08080080008. 都是无理数。

例5. （1）若13
1()x +与32-x 互为相反数，求x 的值； （2）若13
1()x +与32-x 互为倒数，求x 的值。

解：（1） 13
1()x +与32-x 互为相反数 ∴++-=13
1320()()x x 解这个方程，得x =2
（2） 13
1()x +与32-x 互为倒数 ∴+-=13
1321()()x x 解得x =0或x =
12
说明：不仅要会求一个数的相反数和倒数，而且能用一个代数式表示数的相反数和倒数；能利用相反数或倒数的关系构造方程。

例6. 化去下列各式中绝对值的符号 （1）|.|523-
（2）||||x x --+321，其中-≤≤1
2
3x （3）||13-x
分析：由绝对值的定义可知，如果a ≥0，那么||a a =；如果a <0，那么||a a =-，因此在去掉绝对值符号时，首先要分清绝对值符号内的数或者式子的值是正的、是负的、还是零。

解：（1） 235295..=
>，∴-<5230.
∴-=--=-|.|(.).523523235 （2）当-
≤≤1
2
3x 时，x -≤30，210x +≥ ∴
--+=---+||||()()x x x x 321321
=-+--=-+x x x 321
32
（3）当130->x ，即x <1
3时，||1313-=-x x
当130-<x ，即x >1
3时，||()131331-=--=-x x x
当130-=x ，即x =1
3
时，||130-=x
小结：化去绝对值符号的题目，一般可以分为两类：当绝对值符号内式子的值的正、负已由题目的条件明确给出时，可根据绝对值定义直接去掉绝对值符号，否则就要先进行分类讨论。

例7. 比较下列各组数的大小： （1）-09.和-
11
12
（2）37+和26+ 解：（1）|.|.-==
=0909*******，||-==1112111255
60
546055
60
< ∴->-0911
12
.
（2） ()37102212+=+，()2610462+=+ 而10461022410221+=+>+ ∴+<+()()372622
又 37+和26+分别为10221+和10224+的算术平方根，均为正数 ∴+<+3726
说明：当a 、b 均为正数时，a b a b 2
2
>⇔>。

利用这个关系，可把正无理数分别平方，转化为有理数比大小。

例8. （1）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图1所示，则下列结论正确的是（ ）
b 0 a
图1
A. a b a b a b +>>>-
B. a a b b a b >+>>-
C. a b a b a b ->>>+
D. a b a a b b ->>+>
（2）已知实数a 、b 、c 在数轴上分别对应的点的位置大致如图2所示，化简
()||||a b b c a c +--++2
a b 0 1 c
图2
解：（1）由图1可知，a b >>0，且||||a b > ∴->>+>>a b a a b b 0 故选D
（2）由图2可知，a b c <<<0、且||||||c a b >> ∴+<-<+>a b b c a c 000，，
∴+--++=-+--++=()||||()()()a b b c a c a b c b a c 2
想一想：在解决本例题的过程中，是如何依据图中给出的信息来确定各个数的正、负及大小关系的？
例9. 计算：
（1）()|()()|-÷-
⨯-⨯-+÷-117
3
3172239
0165 （2）--+÷⨯33313
322
（3）(.)()()(.)-⨯-+-+⨯-025********
241023
解：（1）()|()()|-÷-⨯-⨯-+÷-11733172239
0165 =-÷-⨯⨯-+117311
17
2|()| =-÷+=-+=-113
2321
（2）--+÷
⨯3331
3
32
2
=--+⨯⨯=-+=39933
128169
（3）(.)
()()(.)-⨯-+-+⨯-025258167
12
2410
23
=-⋅--+⨯()
()1
4
2581671212
510
23
=-⨯--+-22322575
2023
()
=---=-8321
105.
说明：进行有理数运算时，要用概念及法则指导运算；注意运算顺序，如-22
与()-22的区别，又譬如31
3
32
÷
⨯的运算顺序，不能先作乘法造成运算错误。

要有灵活利用运算律、运算法则、公式，以及灵活运用相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，善于寻求简捷合理的运算途径。

例10. （1）把下面的数四舍五入保留两个有效数字，并用科学记数法表示： ①－2470000 ②0.000002946
（2）下面的近似数各含几个有效数字，它们分别精确到哪一位？ ①2.2万
②560
104
.⨯ 解：（1）①－2470000-2.5106≈⨯ ②000000294629106
..≈⨯-
（2）①2.2万含两个有效数字；它精确到千位。

②560
104
.⨯含三个有效数字，它精确到百位。

例11. （1）计算： -+
--3274
3
1858(.)，精确到0.01 （2）利用计算器计算此算式（精确到0.00001）
分析：本题中有分数、有限小数和无理数，为了计算方便，都应化成小数。

为了保证计算结果精确到0.01，先将各数用四舍五入法取得精确到0.001的近似值，即比所要求的精确度多取一位，再计算。

解：（1）-+
--3274
3
1858(.) ≈-+--=-+=-≈-173202861333185814460525
0921092
..(..)....
（2）利用计算器算得，原式≈-092167.
例12. （1）求121的平方根；
（2）求25600的值； （3）求00002163.。

解：（1）121的平方根有两个，即为±=±12111； （2）25600160=； （3）00002160063..=
说明：要弄清平方根及算术平方根的意义及表示方法，当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，不可以把121的平方根写作121，也不可以把25600写作±160，因为±a 与
a 表示完全不同的两个含义。

例13. 已知x ，y 是实数，346902x y y ++-+=，若axy x y -=3，则实数a 的值是_______________。

解：346902x y y ++-+=即34302x y ++-=() 340302x y +≥-≥，()
∴+=-=⎧⎨⎪⎩⎪34030
2
x y ()
解得x y =-=⎧⎨⎪
⎩⎪433
又 axy x y -=3
∴=+=⨯-+-⨯=a x y xy 334
33
43
314()()
例14. 计算：20012002200320041⨯⨯⨯+ 解：设n =2001，则 原式=
++++n n n n ()()()1231
=++++=++++=
++=++=++()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n 2222222
233213231
313131
=⨯+=200120041
4010005
说明：从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高，并从简单的式子计算和证明做起。

【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一. 填空题（每小题2分，共32分） 1. ||||34-+-=ππ____________
2. 比较大小：
当实数a <0时，1+a _________1-a （填>或<） 3. ()-=20_________；()
12
1
-=___________；
1
12
-=________
4. 计算：()()()21211013+-++-=-_________
5. 若m 、n 互为相反数，则式子||m n -+=5__________
6. 一种电子计算机每秒可做108
次计算，用科学记数法表示它工作8分钟可做_______次计算。

7. 下表是我国四个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列（写城市名）：___________________。

8. 比较大小：
15-__________13-（填“>”或“<”号）
9. 如图，数轴上的点A 、B 分别表示数1和2，点C 是AB 的中点，则点C 表示的数是_______________
A C B
-1 0 1 2
10. 近似数0.4850的有效数字是______________ 11. 真空中光的速度约为299792458米/秒，用科学记数法可表示为__________米/秒（保留三个有效数字）
12. -
14的绝对值是___________；-15.的相反数是______________；2516
的算术平方根是_________________ 13.
21+的倒数与23-的相反数的和列式为___________，计算结果为
__________。

14. 若||a =8，则a ＝_________ 15. 计算：()
()()1
5
5511
025--+--=____________
16. 2224282162322642128225612345678========，，，，，，， ……通过观察，用你所发现的规律写出89
的末位数字是_____________。

二. 选择题（每小题3分，共48分）
17. 给出四个数：22，2，14.，π，其中无理数的个数共有（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
18. 当a 为实数时，a a 2=-，则实数a 在数轴上的对应点在（ ） A. 原点的右侧 B. 原点的左侧
C. 原点或原点的右侧
D. 原点或原点的左侧
19. 当x>2时，化简()222
-+x ，得（ ）
A. x
B. x -4
C. 4+x
D. 4-x
20. 若x 、y 都是实数，且21124x x y -+-+=，则xy 的值为（ ） A. 0
B.
12
C. 2
D. 不能确定
21. 下列运算中，正确的是（ ） A. ()-=-363
B. ()
-=-392
C. 2223
3
9
⋅=
D. -÷-=2243
()
22. 计算()()||-+-÷--312
20
2
的结果是（ ）
A. 1
B. -1
C. 3
D. 118
23. 计算24m n
⋅的结果是（ ） A. ()24⨯+m n
B. 22⋅+m n
C. 22
n
mn
⋅
D. 2
2m n
+
24. 数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数a 、b 、c 、d ，已知A 在B 的右侧，C 在B 的左侧，D 在B 、C 之间，则下列式子成立的是（ ） A. a b c d <<< B. b c d a <<< C. c d a b <<< D. c d b a <<< 25. 计算4512205155314
5
-
+-的结果是（ ） A. 0
B. -5
C. 5
D. 25
26. ()121--的结果是（ ） A. 12+
B. 12-
C. -+12
D. --12
27. 实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
b 0 a
A. a b a b a b +>>>-
B. a a b b a b >+>>-
C. a b a b a b ->>>+
D. a b a a b b ->>+>
28. 观察下列式子：①()-=510；②()22236=；③()-=-442；④5630222
⋅=。

其中成立的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
29. 已知a b c ==-=--2311203，，()()，则a 、b 、c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >>
30. －8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）
A. 0
B. 4
C. -4
D. 0或-4 31. 一个数的算术平方根为a ，则比这个数大5的数是（ ） A. a +5
B. a -5
C. a 2
5+
D. a 2
5-
32. 依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过929元，不必纳税，超过929元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表累加计算：
某人本月纳税150元，则他本月的工薪收入为（ ）元
A. 2650元
B. 2400元
C. 3900元
D. 1900元
三. 解答题（33～36题每题6分，37、38题各8分，共40分） 33. 观察下列各式：
11122
+=⨯
22232
+=⨯
33342
+=⨯ ……
请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来_____________ 34. 计算：
231
602512
40--+--sin (() 35. 计算：
||()()1555200112510-++--- 36. 计算：
1
21
2302052220012000+++-⋅-cos . 37. 出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大道进行的。

如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程如下（单位：千米）
＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18
（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出发地点的距离是多少千米？ （2）若汽车耗油量为a 公升/千米，这天下午汽车共耗油多少公升？
38. 计算机存储容量的基本单位是字节，用b 表示，计算机中一般用kb （千字节）或Mb （兆字节）或Gb （吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1210
kb b =，
1210Mb kb =，1210Gb Mb =。

一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb ，它相当于多少kb ？
（保留三个有效数字）
试题答案
1. ||||34341-+-=-+-=ππππ
2. <
3. ()-=210 ()12
1
12
21-=
=
11212121221-=+-+=--()
()()
4. 原式=+-
++-=---=-()()()211
21
11211120
3 5. m 、n 互为相反数，∴+=m n 0 ||||||m n m n -+=+-=-=5555 6. 8601048108
10
⨯⨯=⨯. 7. 长沙、南京、北京、哈尔滨 8. < 9. 1.5
10. 4，8，5，0
11. 300
108
.⨯ 12.
14，1，5，54
13.
1
2123212331+--=--+=-() 14. ±8 15. ()
()()()15
5515151101
025--+--=-+--=
16. 8229
39
27
==()，∴最后一位数字是8 17. B 18. a
a a a 2
0==-∴≤||，，选D
19. x>2时，20-<x ，22222
-+=-+=x x x ||，选A 20. 由21x -与12-x 有意义，易知21120x x -=-=
x =1
2
且y =4 ∴=xy 2
选C 21. D
22. C
23. 2422222m
n
m
n
m n ==+，选D
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