高考数学二轮复习 第二部分 专题三 数列 专题强化练九 数列的求和及综合应用 文

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
专题强化练九 数列的求和及综合应用
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＝a 5.令b n ＝(－1)n －1
a n ，则数列{
b n }
的前2n 项和T 2n 为( )
A ．－n
B ．－2n
C ．n
D ．2n 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 3＝a 5得3a 2＝a 5，
即3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2， 所以a n ＝2n －1，所以b n ＝(－1)
n －1
(2n －1)，
所以T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1)＝－2n . 答案：B
2．已知T n 为数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
2n
＋12n 的前
n 项和，若m ＞T 10＋1 013恒成立，则整数m 的最小值为
( )
A ．1 026
B ．1 025
C ．10 24
D ．1 023 解析：因为2n
＋12n ＝1＋1
2n ，
所以T n ＝n ＋12⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n 1－
12
＝n ＋1－1
2n ，
所以T 10＋1 013＝11－1210＋1 013＝1 024－1
210，
又m ＞T 10＋1 013恒成立， 所以整数m 的最小值为1 024. 答案：C
3．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．30
解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列． 所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.
令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥7
2
.
所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案：C
4．(2018·衡水中学月考)数列a n ＝
1n （n ＋1），其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐标
系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9 解析：由于a n ＝
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
.
所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1
＝1－
1n ＋1
. 因此1－
1n ＋1＝9
10
，所以n ＝9. 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.
令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B
5．(2018·河南商丘第二次模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *
)，且S n
为{a n }的前n 项和，则( )
A ．a n ≥2n ＋1
B ．S n ≥n 2
C ．a n ≥2
n －1
D ．S n ≥2
n －1
解析：因为a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，…，a n －a n －1≥2，且a 1＝1. 各式相加，得a n －a 1≥2(n －1)，则a n ≥2n －1(n ≥2)． 则S n ＝a 1＋a 1＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2
. 答案：B 二、填空题
6．(2018·江西名校联考)若{a n }，{b n }满足a n b n ＝1，a n ＝n 2
＋3n ＋2，则{b n }的前2 018项和为________．
解析：因为a n b n ＝1，且a n ＝n 2
＋3n ＋2， 所以b n ＝
1n 2
＋3n ＋2＝1n ＋1－1
n ＋2
，
故b 1＋b 2＋…＋b 2 018＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫12 019－12 020＝12－12 020＝1 0092 020
.
答案：1 0092 020
7．(2018·衡水中学质检)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{a n }中，a n ＝[lg n ]，n ∈N *
，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________．
解析：当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0， 当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1， 当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2， 当1 000≤n ≤2 018时，a n ＝[lg n ]＝3.
故S 2 018＝9×0＋90×1＋900×2＋1 019×3＝4 947. 答案：4 947
8．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n
＝2n
＋1，且S n ＋T n ＝2
n ＋1
＋n 2
－2，则2T n ＝________．
解析：因为T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝2＋22
＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1
＋n －2.
又S n ＋T n ＝2
n ＋1
＋n 2
－2.
相加，得2T n ＝2n ＋2
＋n 2＋n －4＝2
n ＋2
＋n (n ＋1)－4.
答案：2
n ＋2
＋n (n ＋1)－4
三、解答题
9．记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S n ＝2n 2
＋n ，n ∈N *
. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由S n ＝2n 2
＋n ，得 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2
＋n －[2(n －1)2
＋(n －1)]＝4n －1. 又a 1＝3满足上式， 所以a n ＝4n －1(n ∈N *
)． (2)b n ＝
1
a n a n ＋1
＝
1（4n －1）（4n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
4n －1－14n ＋3
所以T n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋(17－111)＋…＋(14n －1－14n ＋3)]＝14(13－14n ＋3)＝n
12n ＋9.
10．(2018·日照调研)已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＝12，a 1·a 4＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝(n ＋1)a n ，求{b n }的前n 项和S n .
解：(1)因为数列{a n }是等比数列，且a 2·a 3＝a 1·a 4＝27，
由⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋a 3＝12，a 2·a 3＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 3＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 3＝3，(舍去) 所以q ＝3，a n ＝a 2·3n －2
＝3
n －1
.
(2)b n ＝(n ＋1)3
n －1
，
所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×30
＋3×31
＋4×32
＋…＋(n ＋1)×3n －1
，①
所以3S n ＝2×31
＋3×32
＋4×33
＋…＋(n ＋1)×3n
，② 由①－②得－2S n ＝2＋31
＋32
＋33
＋…＋3n －1
－(n ＋1)×3n
＝2＋3（1－3n －1
）
1－3
－(n ＋1)×
3n ＝12－12
(2n ＋1)·3n
.
故S n ＝（2n ＋1）·3n
4－14
.
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )＝3x 2
－2x 的图象上．
(1)求数列{a n }的通项公式． (2) 设b n ＝
3
a n a n ＋1
，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *
都成
立的实数λ的取值范围．
解：(1)因为点(n ，S n )均在函数f (x )＝3x 2
－2x 的图象上，所以S n ＝3n 2
－2n . 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3－2＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2
－2n )－[3(n －1)2
－2(n －1)]＝6n －5. 又a 1＝1也满足a n ＝6n －5， 所以a n ＝6n －5(n ∈N *
)． (2)因为b n ＝
3
a n a n ＋1
＝
3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫16n －5－16n ＋1，
所以T n ＝12[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)＝3n
6n ＋1，
所以2T n ＝6n 6n ＋1＝1－1
6n ＋1＜1.
又2T n ≤λ－2 018对任意n ∈N *
都成立， 所以1≤λ－2 018，即λ≥2 019. 故实数λ的取值范围是[2 019，＋∞)．。