(专题精选)初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编含答案解析

（专题精选）初中数学方程与不等式之无理方程全集汇编含答案解析
一、选择题
1．请将方程(x-3)x7
-=0的解写在后面的横线上：______
【答案】x=7
【解析】
【分析】
先根据已知方程得出x-3=0或x-7=0，求出x的值，再进行检验即可．
【详解】
解：(x-3)7
x-=0，
x-3=0或x-7=0，
x=3或x=7，
检验：当x=3时，7
x-无意义，所以x=3不是原方程的解；
x=7是原方程的解，
故答案为：x=7．
【点睛】
本题考查了解无理方程，能把无理方程变成有理方程是解此题的关键，注意解无理方程一定要进行检验．
2．方程6x
x+=-的根是______．
【答案】x=﹣2
【解析】
先把方程两边平方去根号后求解，再根据x＜0，即可得出答案．
解：由题意得：x＜0，
两边平方得：x+6=x2，
解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2；
故答案为：x=﹣2．
3．方程-x=1的根是______
【答案】x=3
【解析】
【分析】
先将-x移到方程右边，再把方程两边平方，使原方程化为整式方程x2=9，求出x的值，把不合题意的解舍去，即可得出原方程的解.
【详解】
解：整理得：=x+1，
方程两边平方，得：2x+10=x2+2x+1，
移项合并同类项，得：x2=9，
解得：x1=3，x2=-3，
经检验，x 2=-3不是原方程的解，
则原方程的根为：x=3.
故答案为：x=3.
【点睛】
本题考查了解无理方程，无理方程在有些地方初中教材中不再出现，比如湘教版.
4．1
4
+⋅⋅⋅=的解是______． 【答案】9
【解析】
【分析】
设()11111
y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】
设
()()()()()111
1112894
y y y y y y ++=+++++L ， ∴1111111112894
y y y y y y -+-++-=+++++L ， 即11194
y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，
即y 2+9y-36=0，
∴y=-12或y=3，
，
，
∴x=9，
故答案为：9.
【点睛】
本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用.
5．0=的解是_______________
【答案】x=2
【解析】
【分析】
由题意可知3-x=0或2-x=0，再结合二次根式有意义的条件即可求得答案.
【详解】
0=，
0=，
∴x=3或x=2，
检验：当x=3时，2-x<0x=3舍去，
∴x=2，
故答案为x=2.
【点睛】
本题考查了解无理方程，熟练掌握解方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
6．若等式=成立，则x 的值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
将方程变形后两边同时平方即可求出x 的值.
【详解】
∵=
∴=
∴=
=两边同时平方得，2x-5=27，
解得，x=16.
经检验，x=16是原方程的根.
故答案为：16.
【点睛】
此题主要考查了解无理方程，注意：解无理方程一定要验根.
7．方程21x +
=___________。

【答案】x=1
【解析】
【分析】
将原式移项合并同类型后得210x -=,再对一元二次方程求解即可.
【详解】
因为该方程变形为210x -=，所以121,1x x ==-，检验知x=1为该方程的实数根.
【点睛】
本题考查了无理方程,利用移项、合并同类项的方法把无理方程转化成一元二次方程，在解题过程中要注意检验.
8．20x =化为有理方程_______
【答案】3x²+1=0
【解析】
【分析】
先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程．
【详解】
2x =
两边平方得：x²-1=4x²,即3x²+1=0．
故答案是：3x²+1=0．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法．
9．2=的解是_______________．
【答案】2x =
【解析】
试题分析：方程两边平方，得324x -=，解得2x =．代入验根可得方程的根为2x =． 考点：解无理方程．
10．若关于x 的方程存在整数解，则正整数m 的所有取值的和为___________.
【答案】18
【解析】
【分析】
将原方程变形为，由m 为正整数、被开方数非负，可得出2010≤x≤2018，依此代入各值求出m 的值，再将是正整数的m 的值相加即可得出结论．
【详解】
原题可得：，
∵m 为正整数，
∴，
∴2x-4020≥0，
∴x ≥2010．
∵2018-x ≥0，
∴x ≤2018，
∴2010≤x ≤2018．
当x=2010时，m=0，m=0，不符合题意；
，不符合题意；
当x=2011，m=
7
当x=2012m=4，m=
，不符合题意；
3
，不符合题意；
当x=2013，m=
5
当x=2014时，2m=8，m=4；
当x=2015，，不符合题意；
当x=2016m=12，，不符合题意；
当x=2017时，m=14；
当x=2018时，0=16，不成立．
∴正整数m的所有取值的和为4+14=18．
故答案为18．
【点睛】
本题考查了无理方程，由被开方数非负及m为正整数，找出x的取值范围是解题的关键．
11．3
=的解是______．
x=
【答案】4
【解析】
【分析】
把两边平方，化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】
=，
3
∴2x+1=9，
∴2x=8，
∴x=4，
经检验x=4是原方程的解．
故答案为：x=4．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，解含未知数的二次根式只有一个的无理方程时，一般步骤是：①移项，使方程左边只保留含有根号的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．
12．x
=的解为_____．
【答案】3
【解析】
根据无理方程的解法，首先，两边平方解出x 的值，然后验根，解答即可．
【详解】
解：两边平方得：2x +3＝x 2
∴x 2﹣2x ﹣3＝0，
解方程得：x 1＝3，x 2＝﹣1，
检验：当x 1＝3时，方程的左边＝右边，所以x 1＝3为原方程的解，
当x 2＝﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x 2＝﹣1不是原方程的解．
故答案为3．
【点睛】
此题考查无理方程的解，解题关键在于掌握运算法则
13．3=的解的是x =__________________．
【答案】8x =
【解析】
【分析】
把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求出x 的值，然后进行检验.
【详解】
两边平方得：x+1=9，
解得：x=8．
检验：x=8是方程的解．
故答案为x=8．
【点睛】
本题考查的知识点是平方根的定义，解题的关键是熟练的掌握平方根.
14．0=的解是________；
【答案】4x =
【解析】
【分析】
0=得30x -=或40x -=，解出x 的值并检验即可．
【详解】
0=
∴30x -=或40x -=
123,4x x ==
经检验，3x =为原方程的增根，应舍去
所以，原方程的根是4x =．
故答案为：4x =．
本题考查了无理方程，解题的关键是掌握解法，并注意检验．
15．如果30x +的值与-x 的值相等，那么x=__________．
【答案】-5
【解析】
【分析】
两边平方得到2
30()x x +=-，求出方程的解，把此方程的解代入原方程检验即可得出答案．
【详解】
解：根据题意得：30x x +=-，
两边平方得：230()x x +=-，
即2300x x --=， (6)(5)0x x -+=，
(6)0x -=或(5)0x +=，
解得125,6x x =-= ，
检验：当5x =-时，305x x +==-，
当6x =时，306x x +=≠-，
所以x =-5，
故答案为：-5．
【点睛】
本题考查无理方程，解一元二次方程．能将无理方程转化成一元二次方程是解决此题的关键．需注意：因为一个数的算术平方根是非负的，所以一元二次方程的解中可能有不符合无理方程的解，结果一定要检验．
16．如图，ABC ∆中，AB AC =, 点D 在线段BC 的延长线上， 连接AD ，CD=1，BC=12，∠DAB=30°， 则 AC =__________．
【答案】39
【分析】
过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．根据AE+DE=AD ，分别利用勾股定理求出AE ，DE ，AD ，构建方程即可解决问题．
【详解】
解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，AH ⊥BC 于H ．设AB=AC=x ．
在Rt △ABE 中，
∵∠BAE=30°，AB=x ，
∴BE=12AB=12x ，33， ∵AB=AC ，AH ⊥BC ，
∴CH=BH=6，
在Rt △AHB 中，AH 2=x 2-62，
在Rt △DBE 中，22221134BD BE x -=-
， 在Rt △ADH 中，2222267AH DH x +-+ ∵AE+DE=AD ， 222223113674
x x x +-=-+ 整理得：x 4-13×51x-(12×13)2=0，
解得x 2=13×48或13×3（舍去），
∵x ＞0，
∴39，
经检验：39是无理方程的解，
∴39
故答案为39．
【点睛】
本题考查勾股定理，解直角三角形，无理方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17
．能使（x －50成立的x 是____________．
【答案】7
【解析】
【分析】
由无理方程中两个因式的积为0，则至少一个为0，并检验求得的未知数的值，从而得到答案，
【详解】
解：因为：(0x -=
所以：50x -==
解得；5,7x x ==
经检验：5x =不合题意舍去，所以方程的解是：7x =．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查无理方程的解法，熟知解法是解题关键，注意检验．
18．如果关于x x =的一个根为3，那么a =_______
【答案】3
【解析】
【分析】
把3x =代入原方程即可得到答案．
【详解】
解：把3x =3=，
两边平方得：69a +=，
所以：3a =，经检验：3a =符合题意，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查方程的解的含义以及解无理方程，掌握方程的解及解无理方程的方法是关键．
19．0=的根是__________________． 【答案】x=2
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出x 的取值范围，再根据乘法法则转化为一元一次方程求解即可．
【详解】
∵x+1≥0，x-2≥0，
∴x≥2．
=，
∴x+1=0或x-2=0，
∴x1=-1（舍去），x2=2．
故答案为：x=2．
【点睛】
本题考查了无理方程的解法，根据代数式有意义的条件求出未知数的取值范围是本题的易错点．
20．解方程286
x x
-=时，设y=换元后，整理得关于y的整式方程是___________________．
【答案】y²+y-6=0
【解析】
【分析】
设y=则原方程可化为关于y的一元二次方程即可.
【详解】
解:设y=
则原方程可化为y²+y-6=0,故答案为：y²+y-6=0.
【点睛】
本题考查了无理方程，解无理方程最常用的方法是换元法,一般是通过观察确定用来换元的式子是解题的关键.。