2020-2021学年北京市东城区汇文中学高三(下)开学数学试卷(附解析)

h
t
2；
2
h意 t
；
2
t 2； 䇅 t 2．
请证明使得 意 存在的这三个条件仅有一组，写出这组条件并求出 b 的值．
17. 如图，在四面体 ABCD 中，E，F，M 分别是线段 AD，BD，
AC 的中点， t 意 t ， 意 t 2， t t 2．
Ⅰ 证明： thh平面 BCD；
Ⅱ 证明： h 平面 BCD；
7 7t
7t 8
m
利润 元 4t
9t
8 8t
8t
4t
2t
1ሻ t൏
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定 t 为何值时，每 件产品的平均利润达到最大 参考数值：了h2 .7，了ht 1. ．
第 页，共 21页
1 . 已知函数
t
1 2
2
了h
1 2
．
Ⅰ 当 t 2 时，求曲线 t 在点 1 1 处的切线方程；
Ⅲ 若直线 EC 与平面 ABC 所成的角等于 ，求二面角
意
的余弦值．
第 页，共 21页
18. 某企业发明了一种新产品，其质量指标值为 表：
7 1 ሻ ，其质量指标等级如
质量指标
7 7t
7t 8
值m
8 8t
8t
1ሻ
质量指标 等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试产生.现从试生产的 产品中随机抽取了 1000 件，将其质量指标值 m 的数据作为样本，绘制如下频率分 布直方图：
Ⅰ 若将频率作为概率，从该产品中随机抽取 2 件产品，求抽出的产品中至少有 1 件不是废品的概率；
Ⅱ 若从质量指标值 8t 的样本中利用分层抽样的方法抽取 7 件产品中任取 3
件产品，求
t 的件数 X 的分布列及数学期望；
Ⅲ 若每件产品的质量指标值 m 与利润 单位：元 的关系如表 1 ൏ ：
质量指标值
A.
1t 1
B.
1t 1
C. 1
D. 1
. 已知平面向量 t
1 ， t ，且 2
，则
t
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
t. 如图，AB 是 的直径，PA 垂直于 所在平面，
C 是圆周上不同于 A，B 两点的任意一点，且 t 2，
t 意 t ，则二面角
意 的大小为
A.
B. t
C.
D.
. 已知
A. 若
t2 h
Ⅱ 求函数 的单调区间；
Ⅲ 若对任意的 1 t ，都有
成立，求 a 的取值范围．
2
2
2 . 已知椭圆 C： 2 t 2 t 1
Ⅰ 求椭圆 C 的方程；
的离心率为 ，且经过点
2
1
2
．
Ⅱ 已知 O 为坐标原点，A，B 为椭圆 C 上两点，若 的面积．
t ，且
t
，求
2
21. 已知项数为
2 ，共 21页
“我身边的榜样”评选选票
候选人 符号 注：
甲 1.同意画“〇”，不同意画“ ”．
乙 2.每张选票“〇”的个数不超过 2 时才为有效票．
丙
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85.0 分）
1 . 已知 意 中， 䇅
䇅．
Ⅰ
意 中是否必有一个内角为钝角，说明理由．
Ⅱ 若 意 同时满足下列四个条件中的三个：
2020-2021 学年北京市东城区汇文中学高三（下）开学数 学试卷
一、单选题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 t h
1
t， t h
个数为
2 t，则集合
中元素的
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若 1 t 2 ，则 的虚部为
A. 1
B. 1
C. i
D.
.
在
2
1 的二项展开式中， 2的系数为
t sin2 2
1 2
在 内单调，则
，则下列说法错误的是
2
B. 若 在 内无零点，则
1
C. 若 t
的最小正周期为 ，则 t 2
D. 若 t 2 时，直线 t 2 是函数 图象的一条对称轴
7. 数列h ht的前 n 项和记为 h，则“数列h ht为等差数列”是“数列h ht为常数列” 的
A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件
，若 h t
1t 2t t 1
h ，则h ht为h ht的“关联数列”．
Ⅰ 数列 1，4，7，10 是否存在“关联数列”？若存在，求其“关联数列”；若不
存在，请说明理由．
Ⅱ 若h ht为h ht的“关联数列”，h ht是否一定具有单调性？请说明理由．
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Ⅲ 已知数列h ht存在“关联数列”h ht，且 1 t 1， t 2 21，求 m 的最大值．
A.
B.
C.
D.
二、单空题（本大题共 5 小题，共 25.0 分）
11. 某单位有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍，老、中、青职工
共有 430 人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行抽查，在抽取的样本
中有青年职工 64 人，则该样本中的老年职工人数为______ ．
12. 在各项均为正数的等比数列h ht中，已知 2 t 1 ， t 2，记 h t h t ht1，
则数列h ht的前六项和 为______ ．
1 . 已知 F 是双曲线 C： 2
2
t 1 的右焦点，P 是双曲线 C 上的点，
8
2．
若点 P 在双曲线右支上，则 t h 的最小值为______ ；
若点 P 在双曲线左支上，则 t h 的最小值为______ ．
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
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8. 设抛物线 C： 2 t 2䁜 䁜
的焦点为 F，点 P 在 C 上， h t 17，若以线段 PF
为直径的圆过点 1 ，则 C 的方程为
A. 2 t 或 2 t 8 C. 2 t 或 2 t 1
B. 2 t 2 或 2 t 8 D. 2 t 2 或 2 t 1
. 在 意 中， t 2 ， 7 䇅 t h ，则 意 面积的最大值是
A. 7
B. 7
C. 7
D. 18 7
1 . 已知函数 t sin 䇅 ሻ t cos h ሻ，其中 ሻ表示不超过实数 x 的最大整数，关
于 有下述四个结论：
的一个周期是 2 ；
是偶函数；
的最大值大于 2； 在 单调递减．
其中所有正确结论编号是
1 . 已知函数
t 1tt 1 了h t t 2
范围为______ ．
，若 恰有 4 个零点，则实数 k 的取值
1t. 某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，
投票要求见选票，如图所示.这 3 名候选人的得票数 不考虑是否有效 分别为总票数
的 8 h，7th， h，则本次投票的有效率 有效票数与总票数的比值 最高可能为