安徽省阜阳市太和县实验中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析

安徽省阜阳市太和县实验中学2020-2021学年高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 是的什么条件( )
A. 充分必要条件
B. 必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分与不必要参考答案：
A
2. 设均为单位向量，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
C
分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.
详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是
“”充分必要条件.选C.
点睛：充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．
2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．
3. 若,则事件A,B的关系是
A．互斥不对立B．对立不互斥C．互斥且对立D．以上答案都不对
参考答案：
D
略
4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csinC=acosB+bcosA，则△ABC的形状为
（）
A．锐角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形
参考答案：
C
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：已知等式利用正弦定理化简，
解答：解：已知等式csinC=acosB+bcosA，利用正弦定理化简得：sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin （A+B）=sinC，
∵sinC≠0，∴sinC=1，
∴C=90°，
则△ABC为直角三角形，
故选：C．
点评：此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5. 若，则P、Q的大小关系是
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定
参考答案：
C
6. 已知某离散型随机变量服从的分布列如，则随机变量的方差等于( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
7. 不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为( )
A．{x|﹣1＜x＜3} B．? C．R D．{x|﹣3＜x＜1}
参考答案：
A
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】计算题；方程思想；不等式的解法及应用．
【分析】利用二次不等式的解法，求解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣3=0，可得方程的解为：x=﹣1，x=3．
不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：{x|﹣1＜x＜3}．
故选：A．
【点评】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力．
8. 不等式3x+2y﹣6≤0表示的区域是（）
A．B．C．D．参考答案：
D
【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】作出3x+2y﹣6=0，找点判断可得．
【解答】解：可判原点适合不等式3x+2y﹣6≤0，
故不等式3x+2y﹣6≤0所表示的平面区域为直线3x+2y﹣6=0的左下方，故选：D．
9. 在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
【考点】余弦定理的应用．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC?BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
10. 把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是
A. 27
B. 28
C. 29
D. 30
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数在区间上为增函数，则的取值范围是______．
参考答案：
【分析】
根据函数在区间上为增函数，可得，从而可得.
【详解】函数在区间上为增函数，
由于函数图象(抛物线)开口向上，
所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，
即应有，解得，
所以，
即的取值范围是，故答案为.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，重点考查二次函数的对称轴的位置与单调性，意在考查数形结合思想的应用以及灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题
.
12. 已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为12，Q是MF2的中点，O为坐标原点，则等于。

参考答案：
2
13. 已知为正实数，且，则的最大值是__________.
参考答案：
14. 复数的虚部是________.
参考答案：
【分析】
由复数的运算法则化简，再由虚部的定义即可得到答案。

【详解】复数；
所以复数的虚部是。

【点睛】本题考查复数的运算法则以及虚部的定义，解题的关键是利用复数四则运算法则化简复数，属于基础题。

15. 已知，，且对任意的恒成立，则的最小值为__________．参考答案：
3
【分析】
先令，用导数的方法求出其最大值，结合题中条件，得到
，进而有，用导数方法求出的最大值，即可得出结果.
【详解】因为，，且，
令，则，
令得，显然，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此；
因为对任意的恒成立，所以；
即，所以，
因此，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
故最小值为3，
所以
故答案为3
【点睛】本题主要考查导数的应用，掌握导数的方法判断函数单调性，求函数最值即可，属于常考题型.
16. “x>1”是“”的____________条件(填充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要).
参考答案：
充分不必要
略
17. 三角形两条边长分别为3c m，5c m，其夹角的余弦值是方程5x2-7x-6=0的根，则此三角形的面积是__________
参考答案：
6cm2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，，是等边三角形，BP=3，
．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
参考答案：
解：（Ⅰ）取中点，连，
是等边三角形，,
又平面，平面，,
∴
（Ⅱ）平面，平面
∴平面⊥平面．
作交于，
则平面，交于，直线与平面所成的角．
由题意得, 又
，
，
．
19. （本小题满分12分）如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC=3，BC=4，AB=5, ,点D是AB的中点. (Ⅰ) 求证:AC⊥BC1;
(Ⅱ) 求证: AC1∥平面CDB1；
(Ⅲ) 若BB1=4，求 CB1与平面AA1B1B所成角的正切值.
参考答案：
证明: (1) ∵ 三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴C1C ⊥平面ABC, ∴C1C ⊥AC，
∵, , ，∴
∴ AC⊥BC，又C1C ∩BC=C,∴ AC⊥平面CC1B1B,
(2) 令BC1与CB1的交点为E，, 连结DE，. ∵D是AB的中点, 为BC1的中点,
∴ DE∥AC1又∵平面CDB1, DE 平面CDB1,∴AC1∥平面CDB1
（3）作CD⊥AB于D，连B1D，易证CD平面A1B，所以∠CB1D即为所求
计算得:=
20. 地统计局就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分
布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）.
（1）求居民月收入在的频率；
（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？
参考答案：
解：（1）月收入在的频率为。

（2），，
，
所以，样本数据的中位数为（元）；
（3）居民月收入在的频率为，
所以人中月收入在的人数为（人），
再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的应该抽取
人。

略
21. （本小题满分12分）已知函数.
（1）求函数在区间[1，e]上的最小值；
（2）设，其中，判断方程在区间[1，e]上的解的个数.
（其中为无理数，约等于且有）
参考答案：
（1）由=0，得，
①当时，，所以故在上是增函数，所以；
②当时，时，；时，，
所以，在上是减函数，在上是增函数，故；
③当时，，所以在上是减函数，故．
综上所述：时，；
时，；
时，．
（2）令．
由=0，解得;，
由，知．
故当时，，则在上是增函数．
又；，
由已知>0得：，所以，所以
故函数在上有唯一的零点，即方程在区间上存在唯一解.
22. 某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．
【分析】（Ⅰ）先由频率分布直方图求出[50，60）的频率，结合茎叶图中得分在[50，60）的人数即可求得本次考试的总人数；
（Ⅱ）根据茎叶图的数据，利用（Ⅰ）中的总人数减去[50，80）外的人数，即可得到[50，80）内的人数，从而可计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）用列举法列举出所有的基本事件，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率计算公式即可求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．。